引用:
原帖由 八神庵 於 2010-7-6 08:07 PM 發表
關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)
計算第一題,
題目:有一題目如下:『有一半徑 \(20\) 公尺的半圓形釣蝦場,
想在上面蓋一 T 字型的木橋方便釣客垂釣(如圖 \(\overline{OM}\perp\overline{AB}\) )。
為使木橋總長 \(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大,求此時 \(\overline{OM}\) 的長度是多少?』
試問:該題在高一,高二,高三出現時,請您使用不同的解法來教導學生,請詳細說明您的解法。
解答:
令 \(\overline{AM}=x\),\(\overline{OM}=y\) 且 \(2x+y=k\),
則此題目要求 \(k\) 的最大值,
由 \(\overline{OA}^2=\overline{AM}^2+\overline{OM}^2\),可得 \(x^2+y^2=400\)
\(\Rightarrow x^2+\left(2x-k\right)^2=400\)
\(\Rightarrow 5x^2-4kx+\left(k^2-400\right)=0\).......(*)
因為 \(x\) 為實數,
所以由(*)之判別式\(\geq0\),
可得 \(-20\sqrt{5}\leq k\leq20\sqrt{5}\)
所以 \(k\) 有上界 \(20\sqrt{5}\),
且當 \(k=20\sqrt{5}\) 時,將其帶入 (*)
可得 \(x=8\sqrt{5}, y=4\sqrt{5}\)
故當 \(\overline{OM}\) 長為 \(4\sqrt{5}\) 時,\(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大。