在一單位圓上給定一點\(P\)，且\(A_1,A_2,\ldots,A_n\)是其內接正\(n\)邊形的頂點，試證\(\overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+\ldots+\overline{PA_n}^2\)是一常數。
這是雙週一題的考題
我的解答（是用向量的解法）：
https://math.pro/temp/qq61.pdf
或是可以參考雙週一題公佈的答案（是用複數），
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/8ans.pdf
設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，其外接圓的半徑等於1，點P為其外接圓上的任一點。
求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為一常數(即與P點在外接圓上的位置無關)
(高中數學競賽教程P90)
已知兩個同心圓，n邊形\( A_1,A_2,...,A_n \)為內圓的內接正n邊形，點P為外圓上任意一點，求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為定值
(99中正高中，
https://math.pro/db/thread-981-1-1.html)
114.6.17補充
已知\(ABCDEFG\)為單位圓上的內接正七邊形，\(P\)為此單位圓上的任一點，求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2+\overline{PE}^2+\overline{PF}^2+\overline{PG}^2=\)
。
(114中崙高中，
https://math.pro/db/thread-4022-1-1.html)
類似問題
設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，它的外接圓的中心為O，半徑為r，點P在\( \overline{OA_1} \)的延長線上。
求證：\( \overline{PA_1} \cdot \overline{PA_2} \cdot ... \cdot \overline{PA_n}=\overline{OP}^n-r^n \)。
(96基隆女中，高中數學競賽教程 P90)
這兩題都是用複數解題，請一併準備
