題目和答案如附件

選擇題
2.已知x1x2是方程式x2−(k−2)x+(k2+3k+5)=0的兩個實數根，則x21+x22的最大值是多少？
(1)19　(2)18　(3)595　(4)−31　(5)不存在。

Suppose kR and are two real roots of the equation x2−(k−2)x+(x2+3x+5)=0,
then find the maximum value of 2+2.
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=251904

95忠明高中，95文華高中，97大安高工，97全國高中聯招都考過這題
下次再看到這題時請把答案18直接填上去

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102.3.25補充
已知x1、x2是方程x2−(k−2)x+(k2+3x+5)=0(k為實數)的兩個實數根，x21+x22的最大值是(A)19，(B)18，(C)595，(D)不存在。請選擇一正確答案。
錯解
由根與係數之關係可知x1+x2=k−2，x1x2=k2+3k+5，
x21+x22=x21+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由此可以得出當k=−5時，x21+x22的最大值是19，∴此題應該選擇(A)

剖析
本題主要考查學生一元二次方程部分的基本知識、根的判別式。根與係數之關係及函數的極值，從以上解法來看，解題過程和計算沒有錯誤，此題的錯誤在於忽視了題目中給出的一個條件，即x1、x2是方程的兩個實數根，由於忽視了這個條件，因而無法確定k的取值範圍，造成了此題選擇的錯誤。

正確解法
∵　x1、x2是方程的兩個實數根，∴0，即[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)0，
又∵　[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)=k2−4k+4−4k2−12k−20=−3k2−16k−16，
∴　−3k2−16k−160，即　3k2+16k+160，
∴　−4k−34。
由根與係數之關係可知x1+x2=k−2，x1x2=k2+3k+5，
∴　x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由於x21+x22=−(k+5)2+19是k的一個二次函數，而且在−4k−34範圍內是減函數，因此在k=−4處取得最大值。
∴　 x_1^2+x_2^2 的最大值是18，∴　此題應該選擇(B)
(錯在哪裡？中學生解數學題常犯的錯誤分析P17，九章出版社)

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5.設 x_1,x_2,x_3,...,x_n 均為整數且滿足：
(a) -1 \le x_i \le 2 ， i=1,2,3,...,n ，
(b) x_1+x_2+x_3+...+x_n=19 ，
(c) x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=19
令 S=x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 ，S的最大值和最小值分別為M,m，試問下列敘述哪些是正確的？
(1)m為質數　(2)M為7的倍數　(3) \displaystyle \frac{M}{m} 為整數
(4)當S有最小值時，此級數中有30項為 -1 　(5)當S有最大值時，此級數中非0的項有42項
(2010年台灣區數甲第5次模擬考03.02　RA566.swf)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1582

99.8.21補充
設 x_1,x_2,x_3,...,x_n \in \{\; -1,0,1,2 \}\; 滿足
\displaystyle \cases{x_1+x_2+x_3+...x_n=19 \cr x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=99} ，
求 x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 之最大值M與最小值m。
(中一中合作盃第25期)

99.10.20補充
設 x_1,x_2,...,x_{2010} 是整數，且滿足下列條件
(1) -1 \le x_n \le 2 　( n=1,2,...,2010 )
(2) x_1+x_2+...+x_{2010}=204
(3) x_1^2+x_2^2+...+x_{2010}^2=2010
試求 x_1^3+x_2^3+...+x_{2010}^3 之最小值及最大值
(建中通訊解題第82期)

設 a_1,a_2,...,a_{50} 是從 -1 ，0，1這三個整數中取值的數列。若 a_1+a_2+...+a_{50}=9 且
(a_1+1)^2+(a_2+1)^2+...+(a_{50}+1)^2=107 ，則 a_1，a_2，...，a_{50} 當中有幾項是0？
(92學測)


從 \{\; -1,3,11 \}\; 中重複取出15個數 a_1，a_2，...，a_{15} 。已知 a_1+a_2+...+a_{15}=41 且
(a_1+5)(a_2+5)...(a_{15}+5)=2^{42} ，則 a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{15}^2= ？
(2009TRML個人賽)

101.4.30補充
x_i 為整數且 -1 \le x_i \le 2 ， x_1+x_2+...+x_{2012}=19 ， x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 ，若 x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 最大值為M，最小值為m，則數對 (M,m) 為何？
(101臺南二中，https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)

X_1 、 X_2 、 X_3 …、 X_{n-1} 、 X_n 均為 -1 或0或1或2，n為正整數，且滿足下列兩個等式：
X_1+X_2+X_3+...+X_{n-2}+X_{n-1}+X_n=91
X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_{n-2}^2+X_{n-1}^2+X_n^2=2002
求 X_1^3+X_2^3+...+X_{n-1}^3+X_n^3 之最大值、最小值
(建中通訊解題第22期)

101.6.19補充
設 a_1 ， a_2 ，…， a_{50} 是從-1，0，1，這三個整數中取値的數列。若 a_1+a_2+…+a_{50}=9 ，且 (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+…+(a_{50}+1)^2=107 ，則 a_1 ， a_2 ，…， a_{50} 當中有幾項是0？
(101瑞芳高工，https://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)


填充題
18.已知 x \ge 0 ， y \ge 0 ， z \ge 0 且 2x+y+z=4 ，若 x+3y \le 5 ，則 x+y 的最大值為。
[提示]
z=4-2x-y \ge 0 ，當作 x,y 的線性規劃


計算題
20.已知圓內接四邊形ABCD中， \overline{AB}=3 ， \overline{BC}=5 ， \overline{CD}=8 ， \overline{DA}=5 ，而點P為四邊形ABCD內一點，
今設點P至 \overline{AB} 、 \overline{BC} 、 \overline{CD} 、 \overline{DA} 的距離分別為a、b、c、d，試求：
(1)四邊形ABCD的面積？
(2) a^2+b^2+c^2+d^2 的最小值為？
[提示]
(1)google 四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... 1&aql=&oq=&gs_rfai=
(2)柯西不等式

凸四邊形之四邊長為 a,b,c,d ，令 \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} ，A為一組對角和，試證該四邊形之面積為
\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2 \frac{A}{2}} 由此或用其他方法解下面問題：求周長為 2s 的四邊形之中，面積最大的四邊形。
(94高中數學能力競賽　嘉義區筆試一試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_ChiaYi_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_01.pdf

想請教12.13題!
感謝!

第 12 題：已知兩複數 z_1 與 z_2 滿足 \left| z_1-(3+3i) \right|=2，\left| i\cdot z_2-1 \right|=1，則 \left| z_1-z_2 \right| 的最大值為__________。

解答：

\left| z_1-(3+3i) \right|=2

\Rightarrow z_1 在複數平面上表示「以 3+3i 為圓心、2為半徑的圓周上之點」

\displaystyle\left| i\cdot z_2-1 \right|=1\Rightarrow \frac{\left| i\cdot z_2-1 \right|}{\left|i\right|}=1

　　\displaystyle\Rightarrow \left|\frac{z_2-1}{i}\right|=1\Rightarrow\left|  z_2+i\right|=1

\Rightarrow z_2 在複數平面上表示「以 0-i 為圓心、1為半徑的圓周上之點」

所以，\left| z_1-z_2 \right| 的最大值為 1+\left|(3+3i)-(0-i)\right|+2=8。

第 13 題：設 \theta \in \mathbb{R}，則函數 \displaystyle f(\theta )=\left| \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} \right| 之最大值為__________。

解答：

令 \displaystyle k=\frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5}，則 5\sin\theta-4k\cos\theta=5k。

因為 \displaystyle \left|5\sin\theta-4k\cos\theta\right|\leq\sqrt{5^2+(-4k)^2}，（註：如果有人想要慢慢疊合也可以啦～＝＝）

所以 \displaystyle \left|5k\right|\leq\sqrt{5^2+(-4k)^2}\Rightarrow k^2\leq\frac{25}{9} \Rightarrow \left|k\right|\leq\frac{5}{3}

可得所求之最大值為 \displaystyle \displaystyle\frac{5}{3}。








另解，

\displaystyle \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} =\frac{5}{4}\cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}

其中 \displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})} 表示「以原點為圓心的單位圓上的動點 (\cos\theta,\sin\theta)與定點 \displaystyle (-\frac{5}{4},0) 所連直線之斜率」，

　　　

畫圖可得此斜率範圍： \displaystyle -\frac{4}{3}\leq\frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\leq\frac{4}{3}，

所以 \displaystyle \left| \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} \right|=\frac{5}{4}\cdot\left|\frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\right|\leq\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{5}{3}，

亦即，所求函數之最大值為 \displaystyle \frac{5}{3}。

請教選擇1, 選擇6的選項(5), 選擇8, 填充18, 還有想問填充14的答案為什麼150度不行?
謝謝

選擇第 1 題：
已知空間中三直線L_1：\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}，L_2：\displaystyle \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{1}，L_3：\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}，下列何者可能為此三直線投影到xy平面的圖形？

分析：空間中，一點 P(x_0,y_0,z_0) 滿足關係式 \displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}=\frac{z_0-z_1}{c}

　　　則 P 投影到 xy 平面之後，投影點為 Q(x_0,y_0,0)，

　　　　　當然 x_0, y_0 還是滿足關係式 \displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}

解答：

畫出 xy 平面上的三條直線 \displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}, \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3},\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1} 即可得所求圖形。

前兩條互相平行，第三條不與前兩條平行。



選擇第 6 題的第五個選項：
三次函數\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x之圖形為曲線\Gamma，由點\displaystyle A(2,-\frac{2}{3})作曲線\Gamma的切線，則下列敘述何者為真？
(1)其中有一切線的切點其x座標為1
(2)由點A可作三相異切線
(3)其中有一切線的斜率是0
(4)所有切線的斜率和為6
(5)其中有一切線與曲線\Gamma有2個相異交點

圖形如下圖，

　　　　

qq.png (29.31 KB)

2012-2-4 10:18

畫的清楚的話應該就可以看出答案了，

也可以麻煩一點～解切點、切線、再與 \displaystyle y=\frac{1}{3}x^3-x 解交點。＝＝



選擇第 8 題：
已知方程組(A)：\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}及方程組(B)：\cases{a_1x+b_1y+c_1z=0\cr a_2x+b_2y+c_2z=0\cr a_3x+b_3y+c_3z=0}，
設(1,2,3)及(10,-1,9)均為方程組(A)的解，則下列敘述何者為真？
(1)方程組(A)的幾何意義為三平面交於一直線
(2)方程組(B)恰有一組解(0,0,0)
(3)方程組(B)有無限多組解
(4)(300,-100,200)為方程組(B)的一組解
(5)(1,2,3)為方程組(B)的一組解
[解答]
令 P(1,2,3), Q(10,-1,9)，則

選項（1）：方程組（A）可能為直線 PQ 或包含直線 PQ 的某一個平面。

選項（2）：方程組（B）可能為通過原點且平行於直線 PQ的直線，

　　　　　　　　　　　或通過原點且平行於直線PQ的平面。

　　　　　　　　　　　亦即，方程組（B）有無限多組解且通過 (0,0,0)。

選項（3）：承選項（2），正確。

選項（4）：承選項（2），方程組（B）的圖形至少包含直線 \displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}

　　　　　　且點 (300,-100,200) 在上述直線上，故 (300,-100,200) 為方程組（B）的一組解。

選項（5）：承選項（3），直線 \displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6} 並不包含點 (1,2,3)

　　　　　　因此無法保證方程組（B）（其圖形可能為直線或平面）有解 (1,2,3)。



填充第 18 題：
已知x\ge 0，y\ge 0，z\ge 0且2x+y+z=4，若x+3y\le5，則x+y的最大值為　　　。
[解答]
z=4-2x-y\geq 0

線性規劃，先畫出可行解區域 \displaystyle \left\{\begin{array}{c}x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+3y\leq 5, \\ 4-2x-y\geq0\end{array}\right.

　　

qq2.png (29.54 KB)

2012-2-4 10:45

再找出可行解區域的頂點，然後帶入限制條件 x+y，然後找出最大值。



填充第 14 題：
在\Delta ABC中三內角為∠A、∠B、∠C，已知4sinB+3cosC=1、3sinC+4cosB=6，則∠A的度數為　　　。
[解答]
4\sin B+3\cos C=1、3\sin C+4\cos B=6 兩式平方後相加，

可得 \displaystyle \sin(B+C)=\frac{1}{2}\Rightarrow B+C=30^\circ 或 150^\circ


若 B+C=30^\circ，則 0^\circ<B<30^\circ 且 0^\circ<C<30^\circ

　　\displaystyle \Rightarrow 0<\sin B< \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}< \cos C< 1

　　\displaystyle \Rightarrow 4\sin B+3\cos C>4\times 0 + 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}

　　此與 4\sin B+3\cos C=1 相矛盾，不合。

B+C=150^\circ\Rightarrow A=30^\circ

想請問 15.
如果根據官方的答案, 是把房間當相同來算。可是題目是否該先告知, 不然我覺得好像該用相異來算呢？

第 15 題：
有甲、乙、丙等14人出遊，欲住進兩間4人房、兩間3人房，問甲乙丙三人同房的機率為　　　。
[解答]
房間是相異沒錯。

分母＝\displaystyle \frac{14!}{4!4!3!3!}

分子＝\displaystyle 2\cdot\frac{11!}{1!4!3!3!}+2\cdot\frac{11!}{4!4!3!}

所求機率＝上面兩者相除＝\displaystyle \frac{5}{182}.

ps.  此題相同人數的房間算相同房或相異房，都不會影響機率，

　　因為如果以先分堆再入住來算，

　　房間相異只是讓分子與分母都同時多乘上＂分堆完之後，各堆對應到四個相異房＂（×4）的情況，

　　分子與分母同時約分約掉（÷4）之後，答案不變。

15題來一個另解.
考慮任意固定三人同房的機率皆相同，令其為 p 。設隨機變數 X 為三人是否同房的指示函數 (indicator fucntion)，即三人同房時 X=1； 三人不全同房時 X=0。

任意選三人，皆有相對之 X，這此 X 之總和為 2C_{3}^{4}+2C_{3}^{3}=10 。
(更正筆誤 3C(3,3)→2C(3,3)，感謝 weiye 老師提醒)

總和之期望值為 C_{3}^{14}p ，所以 p=\frac{10}{C_{3}^{14}}=\frac{5}{182} 。

回復 8# martinofncku 的帖子
機率的問題陳述其實沒必要有同或異，就像丟兩枚公正的硬幣這個簡單的問題。

古典機率的觀點在於樣本空間的公平性。同與異，是在我們選擇了樣本空間之後，為了方便用排組計算樣本空間和事件的樣本數而產生的。