題目和答案如附件

選擇題
2.已知\( x_1,x_2 \)是方程式\( x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 \)的兩個實數根，則\( x_1^2+x_2^2 \)的最大值是多少？
(1)19　(2)18　(3)\( \displaystyle 5 \frac{5}{9} \)　(4)\( -31 \)　(5)不存在。

Suppose \( k \in R \) and \( \alpha,\beta \) are two real roots of the equation \( x^2-(k-2)x+(x^2+3x+5)=0 \),
then find the maximum value of \( \alpha^2+\beta^2 \).
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=251904

95忠明高中，95文華高中，97大安高工，97全國高中聯招都考過這題
下次再看到這題時請把答案18直接填上去

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102.3.25補充
已知\( x_1、x_2 \)是方程\( x^2-(k-2)x+(k^2+3x+5)=0 \)(k為實數)的兩個實數根，\( x_1^2+x_2^2 \)的最大值是(A)19，(B)18，(C)\( \displaystyle 5 \frac{5}{9} \)，(D)不存在。請選擇一正確答案。
錯解
由根與係數之關係可知\( x_1+x_2=k-2 \)，\( x_1 \times x_2=k^2+3k+5 \)，
\( x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-2k^2-6k-10=-k^2-10k-6=-(k+5)^2+19 \)。
由此可以得出當\( k=-5 \)時，\( x_1^2+x_2^2 \)的最大值是19，∴此題應該選擇(A)

剖析
本題主要考查學生一元二次方程部分的基本知識、根的判別式。根與係數之關係及函數的極值，從以上解法來看，解題過程和計算沒有錯誤，此題的錯誤在於忽視了題目中給出的一個條件，即\( x_1、x_2 \)是方程的兩個實數根，由於忽視了這個條件，因而無法確定k的取值範圍，造成了此題選擇的錯誤。

正確解法
∵　\( x_1、x_2 \)是方程的兩個實數根，∴\( \Delta \ge 0 \)，即\( [-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)\ge 0 \)，
又∵　\( [-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-4k^2-12k-20=-3k^2-16k-16 \)，
∴　\( -3k^2-16k-16 \ge 0 \)，即　\( 3k^2+16k+16 \le 0 \)，
∴　\( \displaystyle -4 \le k \le -\frac{4}{3} \)。
由根與係數之關係可知\( x_1+x_2=k-2 \)，\( x_1 \times x_2=k^2+3k+5 \)，
∴　\( x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-2k^2-6k-10=-k^2-10k-6=-(k+5)^2+19 \)。
由於\( x_1^2+x_2^2=-(k+5)^2+19 \)是k的一個二次函數，而且在\( \displaystyle -4 \le k \le -\frac{4}{3} \)範圍內是減函數，因此在\( k=-4 \)處取得最大值。
∴　\( x_1^2+x_2^2 \)的最大值是18，∴　此題應該選擇(B)
(錯在哪裡？中學生解數學題常犯的錯誤分析P17，九章出版社)

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5.設\( x_1,x_2,x_3,...,x_n \)均為整數且滿足：
(a)\( -1 \le x_i \le 2 \)，\( i=1,2,3,...,n \)，
(b)\( x_1+x_2+x_3+...+x_n=19 \)，
(c)\( x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=19 \)
令\( S=x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 \)，S的最大值和最小值分別為M,m，試問下列敘述哪些是正確的？
(1)m為質數　(2)M為7的倍數　(3)\( \displaystyle \frac{M}{m} \)為整數
(4)當S有最小值時，此級數中有30項為\( -1 \)　(5)當S有最大值時，此級數中非0的項有42項
(2010年台灣區數甲第5次模擬考03.02　RA566.swf)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1582

99.8.21補充
設\( x_1,x_2,x_3,...,x_n \in \{\; -1,0,1,2 \}\; \)滿足
\( \displaystyle \cases{x_1+x_2+x_3+...x_n=19 \cr x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=99} \)，
求\( x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 \)之最大值M與最小值m。
(中一中合作盃第25期)

99.10.20補充
設\( x_1,x_2,...,x_{2010} \)是整數，且滿足下列條件
(1)\( -1 \le x_n \le 2 \)　( \( n=1,2,...,2010 \) )
(2)\( x_1+x_2+...+x_{2010}=204 \)
(3)\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2010}^2=2010 \)
試求\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2010}^3 \)之最小值及最大值
(建中通訊解題第82期)

設\( a_1,a_2,...,a_{50} \)是從\( -1 \)，0，1這三個整數中取值的數列。若\( a_1+a_2+...+a_{50}=9 \)且
\( (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+...+(a_{50}+1)^2=107 \)，則\( a_1，a_2，...，a_{50} \)當中有幾項是0？
(92學測)


從\( \{\; -1,3,11 \}\; \)中重複取出15個數\( a_1，a_2，...，a_{15} \)。已知\( a_1+a_2+...+a_{15}=41 \)且
\( (a_1+5)(a_2+5)...(a_{15}+5)=2^{42} \)，則\( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{15}^2= \)？
(2009TRML個人賽)

101.4.30補充
\( x_i \)為整數且\( -1 \le x_i \le 2 \)，\( x_1+x_2+...+x_{2012}=19 \)，\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 \)，若\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 \)最大值為M，最小值為m，則數對\( (M,m) \)為何？
(101臺南二中，https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)

\( X_1 \)、\( X_2 \)、\( X_3 \)…、\( X_{n-1} \)、\( X_n \)均為\( -1 \)或0或1或2，n為正整數，且滿足下列兩個等式：
\( X_1+X_2+X_3+...+X_{n-2}+X_{n-1}+X_n=91 \)
\( X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_{n-2}^2+X_{n-1}^2+X_n^2=2002 \)
求\( X_1^3+X_2^3+...+X_{n-1}^3+X_n^3 \)之最大值、最小值
(建中通訊解題第22期)

101.6.19補充
設\( a_1 \)，\( a_2 \)，…，\( a_{50} \)是從-1，0，1，這三個整數中取値的數列。若\( a_1+a_2+…+a_{50}=9 \)，且\( (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+…+(a_{50}+1)^2=107 \)，則\( a_1 \)，\( a_2 \)，…，\( a_{50} \)當中有幾項是0？
(101瑞芳高工，https://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)


填充題
18.已知\( x \ge 0 \)，\( y \ge 0 \)，\( z \ge 0 \)且\( 2x+y+z=4 \)，若\( x+3y \le 5 \)，則\( x+y \)的最大值為。
[提示]
\( z=4-2x-y \ge 0 \)，當作\( x,y \)的線性規劃


計算題
20.已知圓內接四邊形ABCD中，\( \overline{AB}=3 \)，\( \overline{BC}=5 \)，\( \overline{CD}=8 \)，\( \overline{DA}=5 \)，而點P為四邊形ABCD內一點，
今設點P至\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CD} \)、\( \overline{DA} \)的距離分別為a、b、c、d，試求：
(1)四邊形ABCD的面積？
(2)\( a^2+b^2+c^2+d^2 \)的最小值為？
[提示]
(1)google 四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... 1&aql=&oq=&gs_rfai=
(2)柯西不等式

凸四邊形之四邊長為\( a,b,c,d \)，令\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)，A為一組對角和，試證該四邊形之面積為
\( \displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2 \frac{A}{2}} \)由此或用其他方法解下面問題：求周長為\( 2s \)的四邊形之中，面積最大的四邊形。
(94高中數學能力競賽　嘉義區筆試一試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_ChiaYi_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_01.pdf

想請教12.13題!
感謝!

第 12 題：已知兩複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 滿足 \(\left| z_1-(3+3i) \right|=2\)，\(\left| i\cdot z_2-1 \right|=1\)，則 \(\left| z_1-z_2 \right|\) 的最大值為__________。

解答：

\(\left| z_1-(3+3i) \right|=2\)

\(\Rightarrow z_1\) 在複數平面上表示「以 \(3+3i\) 為圓心、\(2\)為半徑的圓周上之點」

\(\displaystyle\left| i\cdot z_2-1 \right|=1\Rightarrow \frac{\left| i\cdot z_2-1 \right|}{\left|i\right|}=1\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow \left|\frac{z_2-1}{i}\right|=1\Rightarrow\left|  z_2+i\right|=1\)

\(\Rightarrow z_2\) 在複數平面上表示「以 \(0-i\) 為圓心、\(1\)為半徑的圓周上之點」

所以，\(\left| z_1-z_2 \right|\) 的最大值為 \(1+\left|(3+3i)-(0-i)\right|+2=8\)。

第 13 題：設 \(\theta \in \mathbb{R}\)，則函數 \(\displaystyle f(\theta )=\left| \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} \right|\) 之最大值為__________。

解答：

令 \(\displaystyle k=\frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5}\)，則 \(5\sin\theta-4k\cos\theta=5k\)。

因為 \(\displaystyle \left|5\sin\theta-4k\cos\theta\right|\leq\sqrt{5^2+(-4k)^2}\)，（註：如果有人想要慢慢疊合也可以啦～＝＝）

所以 \(\displaystyle \left|5k\right|\leq\sqrt{5^2+(-4k)^2}\Rightarrow k^2\leq\frac{25}{9} \Rightarrow \left|k\right|\leq\frac{5}{3}\)

可得所求之最大值為 \(\displaystyle \displaystyle\frac{5}{3}\)。








另解，

\(\displaystyle \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} =\frac{5}{4}\cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\)

其中 \(\displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\) 表示「以原點為圓心的單位圓上的動點 \((\cos\theta,\sin\theta)\)與定點 \(\displaystyle (-\frac{5}{4},0)\) 所連直線之斜率」，

　　　

畫圖可得此斜率範圍： \(\displaystyle -\frac{4}{3}\leq\frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\leq\frac{4}{3}\)，

所以 \(\displaystyle \left| \frac{5\sin \theta }{4\cos \theta +5} \right|=\frac{5}{4}\cdot\left|\frac{\sin\theta}{\cos\theta-(-\frac{5}{4})}\right|\leq\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{5}{3}\)，

亦即，所求函數之最大值為 \(\displaystyle \frac{5}{3}\)。

請教選擇1, 選擇6的選項(5), 選擇8, 填充18, 還有想問填充14的答案為什麼150度不行?
謝謝

選擇第 1 題：
已知空間中三直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{1}\)，\(L_3\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}\)，下列何者可能為此三直線投影到\(xy\)平面的圖形？

分析：空間中，一點 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 滿足關係式 \(\displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}=\frac{z_0-z_1}{c}\)

　　　則 \(P\) 投影到 \(xy\) 平面之後，投影點為 \(Q(x_0,y_0,0)\)，

　　　　　當然 \(x_0, y_0\) 還是滿足關係式 \(\displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}\)

解答：

畫出 \(xy\) 平面上的三條直線 \(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}, \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3},\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}\) 即可得所求圖形。

前兩條互相平行，第三條不與前兩條平行。



選擇第 6 題的第五個選項：
三次函數\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x\)之圖形為曲線\(\Gamma\)，由點\(\displaystyle A(2,-\frac{2}{3})\)作曲線\(\Gamma\)的切線，則下列敘述何者為真？
(1)其中有一切線的切點其\(x\)座標為1
(2)由點\(A\)可作三相異切線
(3)其中有一切線的斜率是0
(4)所有切線的斜率和為6
(5)其中有一切線與曲線\(\Gamma\)有2個相異交點

圖形如下圖，

　　　　

qq.png (29.31 KB)

2012-2-4 10:18

畫的清楚的話應該就可以看出答案了，

也可以麻煩一點～解切點、切線、再與 \(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^3-x\) 解交點。＝＝



選擇第 8 題：
已知方程組\((A)\)：\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}\)及方程組\((B)\)：\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=0\cr a_2x+b_2y+c_2z=0\cr a_3x+b_3y+c_3z=0}\)，
設\((1,2,3)\)及\((10,-1,9)\)均為方程組\((A)\)的解，則下列敘述何者為真？
(1)方程組\((A)\)的幾何意義為三平面交於一直線
(2)方程組\((B)\)恰有一組解\((0,0,0)\)
(3)方程組\((B)\)有無限多組解
(4)\((300,-100,200)\)為方程組\((B)\)的一組解
(5)\((1,2,3)\)為方程組\((B)\)的一組解
[解答]
令 \(P(1,2,3), Q(10,-1,9)\)，則

選項（1）：方程組（A）可能為直線 \(PQ\) 或包含直線 \(PQ\) 的某一個平面。

選項（2）：方程組（B）可能為通過原點且平行於直線 \(PQ\)的直線，

　　　　　　　　　　　或通過原點且平行於直線\(PQ\)的平面。

　　　　　　　　　　　亦即，方程組（B）有無限多組解且通過 \((0,0,0)\)。

選項（3）：承選項（2），正確。

選項（4）：承選項（2），方程組（B）的圖形至少包含直線 \(\displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}\)

　　　　　　且點 \((300,-100,200)\) 在上述直線上，故 \((300,-100,200)\) 為方程組（B）的一組解。

選項（5）：承選項（3），直線 \(\displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}\) 並不包含點 \((1,2,3)\)

　　　　　　因此無法保證方程組（B）（其圖形可能為直線或平面）有解 \((1,2,3)\)。



填充第 18 題：
已知\(x\ge 0\)，\(y\ge 0\)，\(z\ge 0\)且\(2x+y+z=4\)，若\(x+3y\le5\)，則\(x+y\)的最大值為　　　。
[解答]
\(z=4-2x-y\geq 0\)

線性規劃，先畫出可行解區域 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+3y\leq 5, \\ 4-2x-y\geq0\end{array}\right.\)

　　

qq2.png (29.54 KB)

2012-2-4 10:45

再找出可行解區域的頂點，然後帶入限制條件 \(x+y\)，然後找出最大值。



填充第 14 題：
在\(\Delta ABC\)中三內角為\(∠A\)、\(∠B\)、\(∠C\)，已知\(4sinB+3cosC=1\)、\(3sinC+4cosB=6\)，則\(∠A\)的度數為　　　。
[解答]
\(4\sin B+3\cos C=1\)、\(3\sin C+4\cos B=6\) 兩式平方後相加，

可得 \(\displaystyle \sin(B+C)=\frac{1}{2}\Rightarrow B+C=30^\circ\) 或 \(150^\circ\)


若 \(B+C=30^\circ\)，則 \(0^\circ<B<30^\circ\) 且 \(0^\circ<C<30^\circ\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 0<\sin B< \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}< \cos C< 1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 4\sin B+3\cos C>4\times 0 + 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

　　此與 \(4\sin B+3\cos C=1\) 相矛盾，不合。

\(B+C=150^\circ\Rightarrow A=30^\circ\)

想請問 15.
如果根據官方的答案, 是把房間當相同來算。可是題目是否該先告知, 不然我覺得好像該用相異來算呢？

第 15 題：
有甲、乙、丙等14人出遊，欲住進兩間4人房、兩間3人房，問甲乙丙三人同房的機率為　　　。
[解答]
房間是相異沒錯。

分母＝\(\displaystyle \frac{14!}{4!4!3!3!}\)

分子＝\(\displaystyle 2\cdot\frac{11!}{1!4!3!3!}+2\cdot\frac{11!}{4!4!3!}\)

所求機率＝上面兩者相除＝\(\displaystyle \frac{5}{182}.\)

ps.  此題相同人數的房間算相同房或相異房，都不會影響機率，

　　因為如果以先分堆再入住來算，

　　房間相異只是讓分子與分母都同時多乘上＂分堆完之後，各堆對應到四個相異房＂（×4）的情況，

　　分子與分母同時約分約掉（÷4）之後，答案不變。

15題來一個另解.
考慮任意固定三人同房的機率皆相同，令其為 \( p \)。設隨機變數 X 為三人是否同房的指示函數 (indicator fucntion)，即三人同房時 \(X=1\)； 三人不全同房時 \(X=0\)。

任意選三人，皆有相對之 \(X\)，這此 \(X\) 之總和為 \( 2C_{3}^{4}+2C_{3}^{3}=10 \)。
(更正筆誤 3C(3,3)→2C(3,3)，感謝 weiye 老師提醒)

總和之期望值為 \( C_{3}^{14}p \)，所以 \( p=\frac{10}{C_{3}^{14}}=\frac{5}{182} \)。

回復 8# martinofncku 的帖子
機率的問題陳述其實沒必要有同或異，就像丟兩枚公正的硬幣這個簡單的問題。

古典機率的觀點在於樣本空間的公平性。同與異，是在我們選擇了樣本空間之後，為了方便用排組計算樣本空間和事件的樣本數而產生的。