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99高雄市聯招

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99高雄市聯招

剛打完,請各位慢慢欣賞
考古題超多的....

(感謝bugmens大提供PTT網友的指正!990712)

附件

99高雄市聯招.rar (47.63 KB)

2010-7-12 23:12, 下載次數: 7499

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感謝八神庵提供題目
其他的討論請見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3902


1.求值\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3} \)

\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農,http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421)


9.在直徑12公分的半球形容器內裝滿水,將此容器傾斜\( 30^o \),求流出去的水量為多少立方公分?

將半徑為a的半球體容器裝滿了水,今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \),則流出水量之體積=?
(93國立大里高中)

在半徑為6的半球容器內裝滿水,若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \),求流出的水量。
(98清水高中,https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

10.設a,b,c為△ABC之三邊長,試證\( \displaystyle \frac{1}{b+c-1}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c} \ge \frac{9}{a+b+c} \)

96新竹女中,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1254


12.試解聯立方程式\( \cases{x+y=5 \cr x^4+y^4=97} \)

95中壢高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=555
連結有解答

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首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手

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引用:
原帖由 Duncan 於 2010-6-23 11:36 PM 發表
首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手
第 14 題:
有七個火柴盒,圍成一圓圈,如圖(請見首篇的附加檔案)所示,長方形框框表示火柴盒,框框內的數字表示該火柴盒內所裝火柴數,現在想搬動各盒中的一些火柴至相鄰的火柴盒中,每次搬一根,最後使每一盒火柴盒內的火柴數相等,則搬動次數最少為幾次?



把各位置都扣掉平均數之後,

我的移動方式如下(取最短移動路徑,且不出現同一線段有互逆的箭頭。)



移動次數為 \(\left(4+3+1+7\right)\times1+\left(1+2\right)\times3=24\) 次。

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第14題

絕對值函數
h ttp://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc

102.5.23補充
連結已經失效,將檔案重新上傳到math pro。

附件

ex001.zip (10.82 KB)

2013-5-23 05:29, 下載次數: 7102

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引用:
原帖由 kuen 於 2010-6-24 12:41 PM 發表
絕對值函數
http://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc
原來如此,感謝! ^_^

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19.已知複數\( z_1 \),\( z_2 \)滿足以下條件:\( |\ z_1+z_2 |\ =\sqrt{3} |\ z_1 |\ \),且
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})=Arg(\frac{z_2}{z_1+z_2})<\frac{\pi}{2} \),求\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}= \)?
[補充]
PTT有代數的解法,這裡補充幾何的解法

令\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=Z \) , \( \displaystyle \frac{z_1+z_2}{z_1}=1+Z \) , \( \displaystyle \frac{z_2}{z_1+z_2}=\frac{Z}{1+Z} \)
\( \displaystyle |\ 1+\frac{z_2}{z_1} |\ =\sqrt{3} \) , \( 1+Z \)的絕對值為\( \sqrt{3} \)
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})<\frac{\pi}{2} \) , 設\( 1+Z \)的主幅角為\( \theta \)

在複數平面上以A點代表1+Z,\( \overline{OA}=\sqrt{3} \),向左平移1的B點代表Z,C點代表\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)

根據極式的相除運算,\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)的主幅角為Z和1+Z的主幅角相減
\( ∠COX=∠BOX-∠AOX \) , \( \theta=∠BOX-\theta \) , \( ∠BOX=2 \theta \) , \( ∠BOA=\theta \)

故△AOB為等腰三角形 , \( \overline{AB}=\overline{BO}=1 \) , \( \overline{AO}=\sqrt{3} \),得\( \theta=30^o \)
\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1(cos60^o+i sin60^o)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \)

103.02.20補充
當初的PTT文章可以到https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7411
下載 PTT歷屆教甄試題.rar (204.46 KB),其中 99高雄市聯招.html 就是代數解法

附件

99高雄市聯招第19題.gif (16.83 KB)

2010-7-1 00:46

99高雄市聯招第19題.gif

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請問期望值問題

一袋中有6顆黑球,2顆白球,從袋中一次取一球,每一球被取出的機會均等,取後不放回,一直取到出現白球為止,則取出黑球個數的期望值為何?

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第 18 題:一袋中有 \(6\) 顆黑球,\(2\) 顆白球,從袋中一次取一球,每一球被取出的機會均等,取後不放回,一直取到出現白球為止,則取出黑球個數的期望值為何?

解一:

取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)(其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)),


所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)


(數字不大,直接算也還算快!:P)


解二:

先把 \(2\) 顆白球排一直線,再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙,

由左至右一路取球,至首次取到白球時,取出黑球的個數為 \(2\),此即為答案。

(解二的想法請參考 https://math.pro/db/thread-976-1-1.html 的第八題。)




註:原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」,感謝 waitpub 於後方回覆的提醒,本文已修改成正確的答案!

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謝謝!

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