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98國立清水高中

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98國立清水高中

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美夢成真論壇討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1198

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98國立清水高中.rar (828.76 KB)

2009-7-22 22:13, 下載次數: 4110

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計算題5.
半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切,如圖所示。有一個圓落於它們之間,分別與這三個外切,求這個小圓的半徑。
[解答]
將這三個圓的圓心分別放在(0,0),(0,3),(4,0),假設第四個圓半徑為r
\( (x-0)^2+(y-3)^2=(2+r)^2 \)
\( (x-0)^2+(y-0)^2=(1+r)^2 \)
\( (x-4)^2+(y-0)^2=(3+r)^2 \)
得\( \displaystyle (x,y)=( \frac{20}{23},\frac{21}{23} ) \),\( \displaystyle r=\frac{6}{23} \)


補上出處
三個彼此相切的圓其半徑分別是1, 2和3公分,另一個最小圓和此三圓相切(如下圖所示),若最小圓的半徑\( \displaystyle r=\frac{p}{q} \),其中p和q為互質的整數,問\( p+q \)之值為何?
(2006澳洲AMC高級卷)

圖形類似
設半徑為3,5,7的三個圓兩兩外切,若過這三個切點的三條公切線相交於一點P(如圖),則點P到三切點的距離和為。(2007TRML團體賽)
[提示]
看成邊長為8,10,12的三角形內切圓半徑

若圓O與下列三圓都外切,
\( x^2+y^2=1 \)
\( (x-6)^2+y^2=1 \)
\( x^2+(y-8)^2=1 \)
則圓O的圓心坐標為( , )。
(學科能力測驗數學科參考試卷,03-認識學測數學參考試卷_定稿_.pdf)

101.3.5補充
出自"拼圖拼字拼數學"P229,P230如果三個任意大小的圓兩兩相切,那麼一定會有第四個圓與此三圓相切。通常第四個圓有兩種畫法,其中一個較大,包圍住其他三個圓。例如在圖17.3中,虛線的兩個圓就是第四個圓的兩個解。

101.12.23補充
索迪公式(Soddy formula)的證明
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121475

102.4.14補充
空間中,有四個球兩兩相切(外切),半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切,則其半徑=?
(102建國中學,https://math.pro/db/thread-1569-1-1.html)

空間有四個球,他們的半徑分別為2,2,3,3,每個球都與其餘3個球外切,另有一個小球與那四個球都外切,求該小球的半徑?
(1995中國數學奧林匹克)

103.10.23補充
在三角形ABC中,\( \overline{BC}=4cm \),\( \overline{CA}=5cm \)且\( \overline{AB}=3cm \)。圓心分別為點A、B、C的三個圓兩兩互相外切,現有第四個圓將這三個圓包含在內部且與這三個圓都相切,如圖所示。請問第四個圓的半徑是多少cm?
(2013青少年數學國際城市邀請賽個人賽試題,http://cauchy.math.nknu.edu.tw/m ... C_Individual_TC.pdf)
http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/country/test.htm

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-10-23 03:59 PM 編輯 ]

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拼圖拼字拼數學P229.gif (93.51 KB)

2012-3-5 07:36

拼圖拼字拼數學P229.gif

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2012-3-5 07:36

拼圖拼字拼數學P230.gif

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填充題7.

計算題1.
求\(  [\ (2+\sqrt{6})^{100} ]\ \)的個位數。(編按:\( [\ X ]\ \) 表高斯符號)
[提示]
\( (10+4 \sqrt{6})^{50}+(10-4 \sqrt{6})^{50} \)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1198

類似問題
求\(  [\ (\sqrt{27}+\sqrt{23})^{100} ]\ \)除以100的餘數,註:[]表高斯符號
(2008台大資工)

大於\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數為何?
(建中通訊解題第39期,97彰化藝術高中)
[提示]
\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 \)

計算題3.
在半徑為6的半球容器內裝滿水,若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \),求流出的水量。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=386&p=1253

將半徑為a的半球體容器裝滿了水,今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \),則流出水量之體積
(93國立大里高中)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-1-7 06:01 PM 編輯 ]

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想請教填充第7,10,13題,另外
填充第8,9的答案正確嗎?

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回復 4# 阿光 的帖子

填充第7,10,11,13題(甚至其他題)..... 在PO文的第一篇~有美夢成真的連結,

裡面已有 thepiano 老師或其他老師寫的解答了。:)

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回復 4# 阿光 的帖子

這份題目,之前也寫過。

答案基本都沒問題,有問題的是第 10 題的題目漏條件了

漏了 \( x_{0}>x_{1}>x_{2}>x_{3} \)

如果沒有補上這個條件,可舉以下例子

\(x_0 = 4,\, x_1 = 2,\, x_2 = 1,\, x_3 = 2^{-M} \)

則左式 \( =  (2-M)(2-\frac{1}{M}) \to - \infty \) as \(M \to \infty \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-2-11 12:57 AM 編輯 ]
文不成,武不就

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請教各位高手
填充第8:有一個自然數n,把n的第一位數去掉變成新數,舊數是新數的25倍,則n=?
填充第11:已知線段AB=6,角BAC=60度,P在以AB為直徑之半圓上,則三角形ACP的面積最大值?
填充第13:A骰子點數1、2、3、4、5、6,B骰子點數1、1、2、2、3、3,C骰子點數1、2、2、3、3、3,
         投擲ABC骰子各一次,請問點數和幾點時出現的機率最高?
計算第四題的答案是(1/14)嗎?

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引用:
原帖由 wooden 於 2012-6-1 09:57 PM 發表
請教各位高手
填充第8:有一個自然數n,把n的第一位數去掉變成新數,舊數是新數的25倍,則n=?
填充第11:已知線段AB=6,角BAC=60度,P在以AB為直徑之半圓上,則三角形ACP的面積最大值?
填充第13:A骰子點數1、2、3、4、5、6,B骰子點 ...
填充題第八題為你解答,請稍等......看不懂在問吧~~

令\( n=a \times 10^k+b \) \( a \)可能為\( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \) \( k \)為非負整數
按照題意\( a \times 10^k+b=25b \) , \( a \times 10^k=24b \)
(1)當\( a=1 \)時候
 \( (2 \times 5)^k=10^k=(4 \times 6)(b) \) 這樣的\( b \)找不到,因為6無法合併成10的倍數
(2)\( a=2 \)也找不到
(3)\( a=3 \)
 \( 3 \times 10^k=(4 \times 6)(b) \) 這個情況下,可以找到\( b=5 \times 5 \times 5 \times 5=125 \)可以符合所求
 所以\( n=3125 \times 10^k \) \( k \)為非負整數
(4)以此類推 當\( a=6,9 \)也可以找到
剩下自己推了

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回復 8# shingjay176 的帖子

太感謝你了,原來是如此,
還得一個一個判斷,
茅塞頓開
感謝

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