部分題目僅憑印象重新敘述，

故與原始題目僅題意相同、但敘述不同。

如有記錯或疏漏，還請不吝告知。

5/10, 00:43 AM 新增計算題一題。

感謝 Kapa 老師提醒數據的錯誤，已修正！^__^

感謝 oscar 提醒數據錯誤，已修正！ ^__^

感謝 ptt 網友 moun9 提醒填充第一題敘述有漏，已修正！感謝。 ^__^

感謝 八神庵 提醒打字疏漏的地方！！ ^__^

填充題
110.3.19補充
2.
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)為純虛數，求\(|\;z-i|\;\)之最大值。
(108新港藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656)

設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

8.
設\(a,b,c\)為三相異實數，已知\(a,b,c\)成等比數列，且\( log_a b \),\( log_b c \),\( log_c a \)成等差數列，試求上述等差數列的公差為何？
(高中數學101　P95，修訂版　P96)
(98松山高中，https://math.pro/db/thread-827-1-1.html)
(98政大附中，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=555)

計算題
2.已知H為△ABC的垂心，且\( \overline{AH}=l \)，\( \overline{BH}=m \)，\( \overline{CH}=n \)，三角形的三邊長\( \overline{BC}=a \)，\( \overline{AC}=b \)，\( \overline{AB}=c \)，試證\( \displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} \)。
(初中數學競賽教程P258)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
\( \displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} \)，R為外接圓半徑

2010.5.11
原本要請各位自行去查書找資料，想不到thepiano都幫各位準備好了
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3302

計算1...二次方程式的兩根x1,x2,且-1<=x1<=1 , 1<=x2<=2 ....
(還是需請各位前輩高手解題指導,謝謝!)

計算題，第 1 題

題目：

設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
　　（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出 \(I\) 的圖形.
　　（ｂ）設 \(u=x-3y\)，其中 \(x,y\in I\)，求 \(u\) 之最大值與最小值.


解答：

（ａ）

依題意，可得

　　\(\left\{\begin{array}{ccc}\mbox{判別式}=a^2-4b\geq0\\ 0\leq a=x_1+x_2\leq3\\ -2\leq b=x_1x_2\leq 2\end{array}\right.\)

且若令 \(f(x)=x^2-ax+b\) ，則 \(y=f(x)\) 為開口向上拋物線

且 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸的兩交點分別落在 \(x\) 軸上的 \([-1,1]\) 與 \([1,2]\) 兩區間內各有一個，

\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}f(-1)&=&1+a+b\geq0\\ f(1)&=&1-a+b\leq0\\ f(2)&=&4-2a+b\geq0\end{array}\right.\)

以 \(a\) 為橫軸、\(b\) 為縱軸，畫出圖形所圍區域 \(\triangle ABC\) 即為 \(I.\)

qq.png (30.56 KB)

2012-5-16 21:23

（ｂ）線性規劃，用頂點法將 \(\triangle ABC\) 的三頂點帶入，可得 \(u\) 的最大值與最小值。


註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！

填充第三題的題目似乎是
\(
z_1 + z_2 = - \cos \theta
\)

填充4. 我的做法
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0
由遞迴關係可以看出其他整數點不為0與其他非正數點不為0否則f為0函數
故f(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
因f(7)=2*7! 故 a=2.  

填充6
排女生7!
選男生 $$H^8_9$$
排男生 25!
通通乘一起就是答案囉

計算5 算轉移矩陣吧

請問填充 5,6 如何做 ?

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-10 11:25 AM 發表
計算題，第 1 題

題目：

設 \(a,b\) 為實數，且 \(x^2-ax+b=0\) 之兩根為 \(x_1,x_2\)，且 \(-1 \leq x_1 \leq 1 , 1 \leq x_2\leq 2.\)
　　（ａ） 設滿足上述條件之 \(\left(a,b\right)\) 所在之區域為 \(I\)，在坐標平面上畫出  ...

不好意思,請問AB直線是否有畫錯?

第五題

過 \(\left(0,0\right)\) 恰有三相異直線與 \(y=x^3+ax^2+1\) 相切，則 \(a\) 之範圍為？



解答：

令 \(f(x)=x^3+ax^2+1\)，則

\(f'(x)=3x^2+2ax\) 且 \(f''(x)=6x+2a\)

\(y=f(x)\) 有水平切線的兩個點為 \((0,1)\) 及 \(\displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)\)

反曲點為 \(\displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)\)

case i: 當 \(a\leq0\) 時，

　　　至多只有一條 \(y=f(x)\) 的切線會通過原點.

case ii: 當 \(a>0\) 時，

　　　通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 \(y=f(x)\) 有三條切線通過原點.

　　　所以，\(\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right)\) 在原點的下方，

　　　\(\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)\)

　　　\(\Rightarrow a>3.\)

由上二者，可得 \(a>3.\)



以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

請教填充題第三題
只有看出兩複數乘積為(cot  )^2
接下來怎麼做呢，謝謝~