計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中的第二題即是。
計算題第 5 題：
我的轉移矩陣是 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)
其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，
轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。
而初始矩陣 \(\displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\)
因為 \(\displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]\)
所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 \(\displaystyle \frac{127}{216}.\)
第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.\)
第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.\)
長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\)，
由 \(AP=P\)，可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\)，
所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.\)
計算題第 6 題. (c) 區間長度＝\(\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}\)，
所以只要取 \(\displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}\)，即可保證區間長度絕對不會超過 \(e\).
