想請問下面這幾題.....如果我題目有記錯還請其他老師幫忙更正，謝謝

第一題
1,3,5,7,9五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求s1＋s2＋s3＋s4＋s5。


第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

第三題
已知A、B兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓（X－1）^2＋（Y－1）^2＋（Z－1）^2＝1相切之平面的方程式。
第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求
(1)g(α) g(β) g(γ)
(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)


第五題
α、β為實數，w 為(x－1)（x2＋x＋1）＝0之虛根，已知  3/(3-w) ＝α＋βw ，求α、β。

第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

1.
1,3,5,7,9五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求s1+s2+s3+s4+s5。
[提示]
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)=x5+(五個數字的和)x4+(任兩數乘積之和)x3+(任三數乘積之和)x2+(任四數乘積之和)x+(五數之乘積)

第一題
13579 五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求 s1＋s2＋s3＋s4＋s5 之值。

解答：

s1＋s2＋s3＋s4＋s5=1+11+31+51+71+9−1=3839 





第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

解答：

把題目坐標化，設 A(00)B(10)D(01)，則 C(11)

\displaystyle \Rightarrow \overleftrightarrow{EC}:\; 5x-2y=3 且 \displaystyle \overleftrightarrow{DF}:\; 2x+3y=3

解得交點 \displaystyle P\left(\frac{15}{19},\frac{9}{19}\right).

故，題目所求之 \displaystyle a=\frac{15}{19}, b=\frac{9}{19}.






第三題
已知 A, B 兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓 \displaystyle \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=1相切之平面的方程式。

解答：

寫出 \displaystyle \overleftrightarrow{AB} 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族

利用“球心到直線的距離＝球半徑”，求出此平面的方程式。






第五題
\alpha, \beta 為實數， \omega 為\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0 之虛根，已知 \displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega，求 \alpha,\beta 。

解答：

\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega
\displaystyle \Rightarrow 3=\left(3-\omega\right)\left(\alpha+\beta\omega\right)
\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\omega^2
\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\left(-\omega-1\right)
\displaystyle\qquad =\left(3\alpha+\beta\right)+\left( -\alpha+4\beta\right)\omega

所以，\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3\alpha  + \beta }\\{0 =  - \alpha+4\beta }\\ \end{array}} \right. \displaystyle \Rightarrow \alpha=\frac{12}{13}, \beta=\frac{3}{13}.



第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

題目是否應該加上 A,B,C 是三角形的三內角？

否則顯然當 \displaystyle A=B=C=\frac{\pi}{2} 時，顯然題目有矛盾。

解答：

(1) 利用 https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

可得，
\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

ok~謝謝~
那第四題勒~~~雖然我忘了題目的式子

第四題，

假設題目的 f(x),\; g(x) 如下方 bugmens 所述，則

題目給的四次式 g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 被三次式 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 除，所得之商式為 Q(x)，餘式為 -x+3，

則 g(x)=f(x)Q(x)+(-x+3) 且

\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)Q(\alpha)+(-\alpha+3)=3-\alpha,\;g(\beta)=f(\beta)Q(\beta)+(-\beta+3)=3-\beta,\;g(\gamma)=f(\gamma)Q(\gamma)+(-\gamma+3)=3-\gamma.

因此，

\displaystyle g(\alpha)\,g(\beta)\,g(\gamma)=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=f(3)=35,

且

\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{1}{3-\alpha}+\frac{1}{3-\beta}+\frac{1}{3-\gamma}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{(3-\alpha)(3-\beta)+(3-\beta)(3-\gamma)+(3-\gamma)(3-\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(-2)+(-3)}{35}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{36}{35}.

第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求(1)g(α) g(β) g(γ)　(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)

我猜猜看 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 ， g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 ，是嗎？

補上出處
設 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 ， g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 ，且α、β、γ為 f(x)=0 之三根。
(1)試求 g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) 之值。
(2)試求 \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} 之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中)
[提示]
(1) y=-x+3 ，用 x=3-y 代入得 y^3-11y^2+36y-35=0
三根之積 g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma)=35

(2) \displaystyle z=\frac{1}{y}=\frac{1}{-x+3}
取倒數得 \displaystyle 1-11 \frac{1}{y}+36 \frac{1}{y^2}-35 \frac{1}{y^3}=0
1-11z+36z^2-35z^3=0
三根之和 \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{36}{35}

設f(x)=x^3+2x^2-3x-1，g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之三根，試求g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)之值　　　。
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

108.5.11補充
設f(x)=x^3-2x^2+3x-4，g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之三根，試求g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)之值　　　。
(108全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)

109.6.2補充
設f(x)=x^3+2x^2-3x-1，g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之3根。試求：\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}之值為　　　。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

111.5.14補充
設f(x)=x^3+3x^2-4x-2，g(x)=x^4+6x^3+5x^2-16x-2，且\alpha,\beta,\gamma為f(x)=0的三個根，則\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=　　　。
(111全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3643-1-1.html)

想請問各位老師,本篇第六題的第二小題,我查過早期"徐氏數學",也找不到這題三角函數的証明,麻煩各位老師能否告知,謝謝

我用google找到的
http://iask.sina.com.cn/b/11811367.html

十分感謝bugmens老師.