想請問下面這幾題.....如果我題目有記錯還請其他老師幫忙更正，謝謝

第一題
1,3,5,7,9五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求s1＋s2＋s3＋s4＋s5。


第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

第三題
已知A、B兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓（X－1）^2＋（Y－1）^2＋（Z－1）^2＝1相切之平面的方程式。
第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求
(1)g(α) g(β) g(γ)
(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)


第五題
α、β為實數，w 為(x－1)（x2＋x＋1）＝0之虛根，已知  3/(3-w) ＝α＋βw ，求α、β。

第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

1.
1,3,5,7,9五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求s1+s2+s3+s4+s5。
[提示]
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)=x5+(五個數字的和)x4+(任兩數乘積之和)x3+(任三數乘積之和)x2+(任四數乘積之和)x+(五數之乘積)

第一題
13579 五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求 s1＋s2＋s3＋s4＋s5 之值。

解答：

s1＋s2＋s3＋s4＋s5=1+11+31+51+71+9−1=3839 





第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

解答：

把題目坐標化，設 A(00)B(10)D(01)，則 C(11)

EC:5x−2y=3 且 DF:2x+3y=3

解得交點 P1915919 

故，題目所求之 a=1915b=919






第三題
已知 AB 兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓 x−12+y−12+z−12=1 相切之平面的方程式。

解答：

寫出 AB 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族

利用“球心到直線的距離＝球半徑”，求出此平面的方程式。






第五題
為實數， 為x−1x2+x+1=0  之虛根，已知 33−=+，求 。

解答：

33−=+
3=3−+ 
=3−+3−2
=3−+3−−−1 
=3++−+4 

所以，3=3  +0=  −+4  =1312=313



第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

題目是否應該加上 ABC 是三角形的三內角？

否則顯然當 A=B=C=2 時，顯然題目有矛盾。

解答：

(1) 利用 https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

可得，
sinA+sinB+sinC3sin3A+B+C=233 

ok~謝謝~
那第四題勒~~~雖然我忘了題目的式子

第四題，

假設題目的 f(x)g(x) 如下方 bugmens 所述，則

題目給的四次式 g(x)=x4+3x3−x2−5x+2 被三次式 f(x)=x3+2x2−3x−1 除，所得之商式為 Q(x)，餘式為 −x+3，

則 g(x)=f(x)Q(x)+(−x+3) 且

g()=f()Q()+(−+3)=3−g()=f()Q()+(−+3)=3−g()=f()Q()+(−+3)=3−

因此，

g()g()g()=(3−)(3−)(3−)=f(3)=35

且

1g()+1g()+1g()=13−+13−+13−

=(3−)(3−)(3−)(3−)(3−)+(3−)(3−)+(3−)(3−)

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(-2)+(-3)}{35}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{36}{35}.

第四題
f(x)為三次式，g(x)為四次式（題目都有給式子但是我忘記了），已知f(x)之三根為α、β、γ，求(1)g(α) g(β) g(γ)　(2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)

我猜猜看 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 ， g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 ，是嗎？

補上出處
設 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 ， g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 ，且α、β、γ為 f(x)=0 之三根。
(1)試求 g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) 之值。
(2)試求 \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} 之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中)
[提示]
(1) y=-x+3 ，用 x=3-y 代入得 y^3-11y^2+36y-35=0
三根之積 g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma)=35

(2) \displaystyle z=\frac{1}{y}=\frac{1}{-x+3}
取倒數得 \displaystyle 1-11 \frac{1}{y}+36 \frac{1}{y^2}-35 \frac{1}{y^3}=0
1-11z+36z^2-35z^3=0
三根之和 \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{36}{35}

設f(x)=x^3+2x^2-3x-1，g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之三根，試求g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)之值　　　。
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

108.5.11補充
設f(x)=x^3-2x^2+3x-4，g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之三根，試求g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)之值　　　。
(108全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)

109.6.2補充
設f(x)=x^3+2x^2-3x-1，g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1，且\alpha、\beta、\gamma為f(x)=0之3根。試求：\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}之值為　　　。
(109中壢高中代理，https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

111.5.14補充
設f(x)=x^3+3x^2-4x-2，g(x)=x^4+6x^3+5x^2-16x-2，且\alpha,\beta,\gamma為f(x)=0的三個根，則\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=　　　。
(111全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3643-1-1.html)

想請問各位老師,本篇第六題的第二小題,我查過早期"徐氏數學",也找不到這題三角函數的証明,麻煩各位老師能否告知,謝謝

我用google找到的
http://iask.sina.com.cn/b/11811367.html

十分感謝bugmens老師.