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排列的考題,五紅五白五黑排成一列...

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排列的考題,五紅五白五黑排成一列...

引用:
五顆紅球、五顆黑球、五顆白球排成一列,紅球不排前五位,黑球不排中間五位,白球不排後五位,請問排列方法數有幾種?解答就略啦,討論一下就出來了。
        前五顆共計       中間五顆共計       後五顆共計       排成一直線的方法數 
       (不能有紅球)     (不能有黑球)     (不能有白球)          ↓↓

第一種情況: 五顆都是黑色        五顆都是白色      五顆都是紅色      1^3=C(5,0)^3

第二種情況: 四顆黑色,一顆白色    四顆白色,一顆紅色   四顆紅色,一顆黑色    { 5! / (4!×1!) }^3=C(5,1)^3

第三種情況: 三顆黑色,二顆白色    三顆白色,二顆紅色   三顆紅色,二顆黑色    { 5! / (3!×2!) }^3=C(5,2)^3

第四種情況: 二顆黑色,三顆白色    二顆白色,三顆紅色   二顆紅色,三顆黑色    { 5! / (2!×3!) }^3=C(5,3)^3

第五種情況: 一顆黑色,四顆白色    一顆白色,四顆紅色   一顆紅色,四顆黑色    { 5!/(1!×4!) }^3=C(5,4)^3

第六種情況: 五顆都是白色        五顆都是紅色       五顆都是黑色      1^3=C(5,5)^3

所以共計有  1^3+{ 5! / (4!×1!) }^3+{ 5! / (3!×2!) }^3+{ 5! / (2!×3!) }^3+{ 5!/(1!×4!) }^3+1^3 種排法。

(或是寫 C(5,0)^3+C(5,1)^3+C(5,2)^3+C(5,3)^3+C(5,4)^3+C(5,5)^3 種也可以‧)

︿︿~

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How many 15-letter arrangements of 5 A's, 5 B's, and 5 C's have no A's in the first 5 letters, no B's in the next 5 letters, and no C's in the last 5 letters?
(A)\( \displaystyle \sum^{5}_{k=0}[C^5_k]^3 \) (B)\( 3^5 \cdot 2^5 \) (C)\( 2^{15} \) (D)\( \displaystyle \frac{15!}{(5!)^3} \) (E)\( 3^{15} \)
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?p=1042055?ml=1
(2003AMC12,94屏東女中數學競試)
102玉里高中,https://math.pro/db/thread-1730-1-1.html

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=293

將5個A、5個B以及5個C等15個字母排成一列,使得前5個字母沒有A,中間5個字母沒有B,且最後5個字母沒有C,試問共有多少可能的排列?
(99育成高中,https://math.pro/db/thread-1094-1-2.html)

4個A、4個B、4個C排成一列,第1到第4位置稱為Ⅰ區,第5到第8位置稱為Ⅱ區,第9到第12位置稱為Ⅲ區,若A不在Ⅰ區,B不在Ⅱ區,C不在Ⅲ區的排列方法有幾種?
(100中科實中,https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)

101.6.28補充
將6個A,6個B及6個C共18個字母排成一列,使得前6個字母沒有A,中間6個字母沒有B,最後6個字母沒有C,試問共有多少種排列方式?
(101中正高中二招,https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)
(101文華高中代理,https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

109.6.1補充
將5個\(A\)、5個\(B\)和5個\(C\)等15 個字母排成一列,使得前5個字母中沒有\(A\),中間5個字母中沒有\(B\),在最後5個字母中沒有\(C\),試求:有   種排列方式。
(109中壢高中代理,https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

附件

2003AMC12.zip (264.62 KB)

2009-11-13 22:35, 下載次數: 2672

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回復 1# weiye 的帖子

請教老師,為什麼這題若用笛摩根定律配合排容原理來做是錯的?!?!錯在哪個觀念呢?!
以下是我的錯誤想法:
設A集合表示5紅排前5位,B集合表示黑求排中5位,C集合表示白球排後5位
則所求為 n(A'∩B'∩C')=n(任意排列)-n(A∪B∪C)
n(任意排列)=15! / (5! * 5! * 5! )
n(A∪B∪C)= n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
=3* [10! / (5! * 5!)] -3* [5!/5!]+1=754
故所求n(任意排列)-n(A∪B∪C)=756756-754=756000
一個好大的數字......

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回復 3# 艾瑞卡 的帖子

前 5 個球中,連 1 個紅球都不能出現 ......

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回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的提點!!

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