填充11.
設函數
f(x)滿足:
(1)對於
0
x1
x2
1,有
f(x1)
f(x2)
(2)
f(0)=0
(3)
f(x3)=2f(x)
(4)
f(1−x)=1−f(x)
則
f(1092020)= 。
[解答]
由題意中的條件可知
f(1)=f(1−0)=1−f(0)=1
f(31)=21
f(1)=21
f(21)=f(1−21)=1−f(21)
f(21)=21
再由遞增得”若
31
x
21,則
f(x)=21"
f(1092020)=21f(3272020)=41f(9812020)=41
21=81
類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充,今天再看,突然想起來了,這好像是 Cantor function。Google 一下,果然真的是啊!)
已知函數
f(x) 滿足下列性質
(a) 若
x1
x2,則
f(x1)
f(x2)
(b)
f(1−x)=1−f(x)
(c)
f(5x)=2f(x),
則 (1) 求
f(0),
f(1),
f(51),
f(54) 的值。
(2) 求
f(x)=21 的解集合。
(3) 求
f(11
15) 及
f(12016) 的值。
其中最有意思的應該是第(2) 解集合,從(1)的結果,不難猜到是
[51
54]
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證
[
本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]