老師好 : 不知道能不能提示一下，如何證明 (2) 求 f(x) = 1/2 的解集合是[1/5 , 4/5]，我證到剩下f(1/6) = 1/3 ~ f(1/5) = 1/2 這個區間，但在這區間裡的數就不知道怎麼證了

第5題

終於懂了~非常感謝

105 北一區(花蓮)
其本上就是 Cantor set, Cantor function

首先，易知對任意 \( n\in\mathbb{N}, f(\frac{1}{5^{n}})=\frac{1}{2^{n}} \)

可得 \( f(1-\frac{1}{5^{n}})=1-f(\frac{1}{5^{n}})=1-\frac{1}{2^{n}} \)

因此 \( f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \)

對任意 \( t \) 滿足 \( 0\leq t<\frac{1}{2} \)，存在正整數 \( n \) 使得 \( t<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5^{n}} \)

又 \( f(x) \) 為遞增函數，因此 \( f(t)\leq f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})<\frac{1}{2} \)。

再由 \( f(1-x)=1-f(x) \)，可得對任意 \( t \) 滿足 \( \frac{4}{5}<t\leq1, f(t)>\frac{1}{2} \)

了解~非常感謝