俞老師你的測量師公式是不是寫到順時針方向去了
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11.有一隻青蛙從點\((1,2)\)開始一連串的跳躍，它每次跳躍都是沿著平行一個坐標軸的方向跳一單位長，它每次跳的方向(上、下、左、右)是獨立隨意的，當它跳到以\((0,0)\)、\((0,4)\)、\((4,4)\)、\((4,0)\)為頂點正方形的邊上時就停止。試問它停止時是落在正方形的鉛垂邊之機率為何？
向左會直接結束，向上跑到\((1,3)\)，由對稱性可知此點到水平邊和鉛直邊機率相等，同理，\((1,1)\)也是。
\((2,2)\)為正方形中間，機率必為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，故所求為\(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\)
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16.從以\((0,0)\)、\((2020,0)\)、\((2020,2020)\)、\((0,2020)\)為頂點的正方形內隨意地選取一點。若此點與格子點的距離小於\(d\)的機率為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)(當\(x\)與\(y\)都是整數，就稱點\((x,y)\)為格子點)，則以一位小數表示\(d\)時，它最接近下列何者？
觀察一個邊長為1單位的正方形
若\(d\le0.5\)，則所求區間為四個半徑為\(d\)的四分之一圓，\(\displaystyle d^2\pi=\frac{1}{2},d=0.398\cdots\)
觀察\(d=0.5\)的所求區域面積狀況易知機率不可能為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，\(d>0.5\)亦不可能
題目放大\(2020\)倍，格子點間的正方形狀況都一樣
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23.傑生投擲三粒公正的骰子，之後他再選取其中一部分的骰子重新投擲一次(可能完全不選，也可能三粒全選)。投擲完後他獲勝的充要條件是投擲完後三粒骰子朝上的數字和恰等於7。傑生重投時是以獲勝機率最大為主要考量。試問他重投時選兩粒骰子的機率為何？
點數和為7的狀況有\((1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)\)，機率為\(\displaystyle\frac{5}{72}\)
(1)若骰出有一點為1且還沒結束，留下1，將剩餘重骰成功的機率為\(\displaystyle\frac{5}{36}\)
剩下兩點只要有一顆為\(1,2,3,4,5\)這五個數字，將最後一顆重骰成功的機率皆為\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
可知骰出有1的情況下，僅有\((1,6,6)\)才需要重骰兩顆
(2)若皆沒有1，骰出有一點為2且還沒結束，留下2，將剩餘重骰成功的機率為\(\displaystyle\frac{1}{9}\)
若有\((2,2,X),(2,3,X),(2,4,X)\)，則將最後一顆重骰成功的機率皆為\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
可知若沒有1，骰出有一點為2，\((2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)\)需要重骰兩顆
(3)若皆沒有\(1,2\)，骰出有一點為3且還沒結束，留下3，將剩餘重骰成功的機率為\(\displaystyle\frac{1}{12}\)
若有\((3,3,X)\)，則將最後一顆重骰成功的機率皆為\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
可知若沒有\((1,2)\)，骰出有一點為3，\((3,4,4),(3,4,5),\cdots,(3,6,6)\)需要重骰兩顆
(4)若皆沒有\(1,2,3\)，直接三顆重骰
所求為\(\displaystyle\frac{3+3+6+3+3+6+6+3+6+3}{216}=\frac{7}{36}\)
(覺得我的方法複雜許多...)
[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-2-2 16:22 編輯 ]
