其中23題把 項圈排列 應用在網路連結上，頗有新意!

23.
a,b,c,d,e,f 六人都有網路帳號，他們之中有一些人(但不是全部)彼此是網路上的朋友，且他們除了這群人以外都沒有其他的網路朋友。如果每一個人都有一樣多個網路朋友，則總共有多少不同的組成方式?

假設每人都恰有 k 位朋友的組成方式有 f(k) 種

則
f(1)=3!C26C24C22=15

f(2)=6!62+2!C36C33=60+10=70

f(3)=f(2)=70

f(4)=f(1)=15

所求=15+70+70+15=170

101.2.25版主補充
將題目重新打字，若網友還有剩下題目的照片檔
可以將照片上傳至http://imgur.com/後再發訊息給我
讓這份試題更加完整

101.4.22版主補充
感謝Joy091提供完整題目，我已將題目重新打字
請重新下載2012AMC10.rar

請問附件中的第25題該數何解？？

第25題

先看兩個變數 xy，

滿足 xy 都在 [0n] 區間，且 x−y1 的點 (xy) 所在區域圖形～如附件中上方圖的陰影區域，

此兩個三角形的陰影區域可以拼成一個邊長為 n−1 的正方形。



再來看空間中，滿足 xyz 都在 [0n] 區間，且 x−y1y−z1z−x1 的點 (xyz) 所在區域又是在哪裡呢？

先畫一個邊長為 n，其中一個頂點放在原點、與原點相交的三條稜線緊貼 xyz軸的正立方體，

扣掉 x−y=1x−y=−1 兩平面所圍的區域，

再扣掉 x−z=1x−z=−1 兩平面所圍的區域，

再扣掉 z−y=1z−y=−1 兩平面所圍的區域，

剩下的部分可以拼成一個邊長為 (n−2)3 的正立方體。

（如附件中的右下方的圖）



因此，在已知 xyz 都在 [0n] 區間的條件下，

任取三數 xyz 都會滿足 x−y1y−z1z−x1 的機率為 n3n−23 



依題意，n3n−2321n3−12n2+24−160 

令 f(n)=n3−12n2+24−16，檢查可得 f(1)0f(7)0f(8)0f(9)0f(10)0

因此，滿足 f(n)0 的最小正整數為 10

weiye老師實在是太用心了
給你按個讚!

weiye有些地方寫錯了，x−y=−1，x−y=1，(n−2)3等
我將立體圖做成動畫，能看出為什麼重新組合後會是個立方體

2012AMC10Problem25.gif (139.5 KB)

2012-2-19 21:31

附上中英文題目，讓更多網友也能搜尋到這篇
從區間[0,n]中隨意取出三個實數x, y及z, 其中n為某正整數。若x, y, z中沒有兩數之差的絕對值小於1的機率大於21，則n的最小值為何？
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11　

Real numbers x,y, and z are chosen independently and at random from the interval [0,n] for some positive integer n. The probability that no two of x,y and z are within 1 unit of each other is greater than \displaystyle \frac{1}{2} . What is the smallest possible value of n?
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11

Art of Problem Solving: 2012 AMC 10 A #25
http://www.youtube.com/watch?v=HOtyh9qycrI

哈哈～對耶，打太快都沒注意到自己很多小筆誤～已修正～感謝！：Ｐ

謝謝樓上的各位老師解惑~~~orz

可以請教一下第20題嗎?

20題. 考慮以下四種情況
黑→白，結果：黑
黑→黑，結果：黑
白→黑，結果：黑
白→白，結果：白


中心的上下左右，依順時針或逆時針環排，只要沒有兩白相鄰，經過那樣的操作就是變成四個全黑；但只要兩白相鄰，經過操作後，至少還一個是白的

四個角落亦同。

4黑 + 3黑1白+ 2黑2白，並且白色錯開的機率為 \frac{1+4+2}{16} = \frac{7}{16}

故所求為 (\frac{7}{16})^2\cdot\frac12 = \frac{49}{512}