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2012AMC10

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2012AMC10

其中23題把 項圈排列 應用在網路連結上,頗有新意!

23.
a,b,c,d,e,f 六人都有網路帳號,他們之中有一些人(但不是全部)彼此是網路上的朋友,且他們除了這群人以外都沒有其他的網路朋友。如果每一個人都有一樣多個網路朋友,則總共有多少不同的組成方式?

假設每人都恰有 k 位朋友的組成方式有 f(k) 種


f(1)=\(\displaystyle \frac{C^6_2C^4_2C^2_2}{3!}=15\)

f(2)=\(\displaystyle \frac{6!}{6\times2}+\frac{C^6_3C^3_3}{2!}=60+10=70\)

f(3)=f(2)=70

f(4)=f(1)=15

所求=15+70+70+15=170

101.2.25版主補充
將題目重新打字,若網友還有剩下題目的照片檔
可以將照片上傳至http://imgur.com/後再發訊息給我
讓這份試題更加完整

101.4.22版主補充
感謝Joy091提供完整題目,我已將題目重新打字
請重新下載2012AMC10.rar

附件

2012AMC10部分試題與解答.pdf (354.98 KB)

2012-2-14 11:44, 下載次數: 6686

2012AMC10.rar (27.75 KB)

2012-4-22 08:58, 下載次數: 5425

2012AMC10A (完整試題).pdf (1.88 MB)

2012-4-18 14:20, 下載次數: 15404

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回復 1# Joy091 的帖子

請問附件中的第25題該數何解??
騙吃騙吃~~~

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回復 2# 沙士 的帖子

第25題

先看兩個變數 \(x,y\),

滿足 \(x,y\) 都在 \([0,n]\) 區間,且 \(|x-y|\geq 1\) 的點 \((x,y)\) 所在區域圖形~如附件中上方圖的陰影區域,

此兩個三角形的陰影區域可以拼成一個邊長為 \(n-1\) 的正方形。



再來看空間中,滿足 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間,且 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的點 \((x,y,z)\) 所在區域又是在哪裡呢?

先畫一個邊長為 \(n\),其中一個頂點放在原點、與原點相交的三條稜線緊貼 \(x,y,z\)軸的正立方體,

扣掉 \(x-y=1, x-y=-1\) 兩平面所圍的區域,

再扣掉 \(x-z=1, x-z=-1\) 兩平面所圍的區域,

再扣掉 \(z-y=1, z-y=-1\) 兩平面所圍的區域,

剩下的部分可以拼成一個邊長為 \((n-2)^3\) 的正立方體。

(如附件中的右下方的圖)



因此,在已知 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間的條件下,

任取三數 \(x,y,z\) 都會滿足 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的機率為 \(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}\)



依題意,\(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^3-12n^2+24-16>0\)

令 \(f(n)=n^3-12n^2+24-16\),檢查可得 \(f(1)<0,\, \cdots,\, f(7)<0,\, f(8)<0,\, f(9)<0,\, f(10)>0\)

因此,滿足 \(f(n)>0\) 的最小正整數為 \(10\)

附件

IMAG0268.jpg (171.19 KB)

2012-2-17 09:18

IMAG0268.jpg

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weiye老師實在是太用心了
給你按個讚!

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weiye有些地方寫錯了,\( x-y=-1 \),\( x-y=1 \),\( (n-2)^3 \)等
我將立體圖做成動畫,能看出為什麼重新組合後會是個立方體



附上中英文題目,讓更多網友也能搜尋到這篇
從區間[0,n]中隨意取出三個實數x, y及z, 其中n為某正整數。若x, y, z中沒有兩數之差的絕對值小於1的機率大於\( \displaystyle \frac{1}{2} \),則n的最小值為何?
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (E)11 

Real numbers x,y, and z are chosen independently and at random from the interval [0,n] for some positive integer n. The probability that no two of x,y and z are within 1 unit of each other is greater than \( \displaystyle \frac{1}{2} \). What is the smallest possible value of n?
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (E)11

Art of Problem Solving: 2012 AMC 10 A #25
http://www.youtube.com/watch?v=HOtyh9qycrI

附件

2012AMC10Problem25.rar (167.44 KB)

2012-2-19 21:31, 下載次數: 4684

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回復 5# bugmens 的帖子

哈哈~對耶,打太快都沒注意到自己很多小筆誤~已修正~感謝!:P

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謝謝樓上的各位老師解惑~~~orz
騙吃騙吃~~~

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可以請教一下第20題嗎?

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回復 8# kaline 的帖子

20題. 考慮以下四種情況
黑→白,結果:黑
黑→黑,結果:黑
白→黑,結果:黑
白→白,結果:白


中心的上下左右,依順時針或逆時針環排,只要沒有兩白相鄰,經過那樣的操作就是變成四個全黑;但只要兩白相鄰,經過操作後,至少還一個是白的

四個角落亦同。

4黑 + 3黑1白+ 2黑2白,並且白色錯開的機率為 \( \frac{1+4+2}{16} = \frac{7}{16} \)

故所求為 \( (\frac{7}{16})^2\cdot\frac12 = \frac{49}{512} \)
文不成,武不就

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