非常謝謝鋼琴老師！
平方那邊沒考慮得很周全

請問計算第3題的做法為何?

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3328
美夢成甄網站，鋼琴老師已經解答了。

橢圓兄真的很貼心，有時覺得圖片一貼出來算式似乎也可以不用打了(Calculate without word?)XD
小弟比較偷懶，用代數去做：
先觀察\(z=\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow \left| {{z}^{k}} \right|={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}\) 且\(\left| z-1 \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
原式 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k+1}}-{{z}^{k}} \right|}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k}} \right|\left| z-1 \right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

能不能請問填充第四題, 謝謝.

請參考

這....也太神妙了吧!   謝謝!

利用\(\Delta =\det \left( \begin{matrix}
   0 & {{3}^{n}} & {{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}  \\
   {{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}} & 0 & 1  \\
   -1 & {{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}} & 0  \\
\end{matrix} \right)=0\)
也可以得到鋼琴老師那神奇的式子
\({{\left( 1+\sec \theta  \right)}^{n}}{{\left( 1+\csc \theta  \right)}^{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{\left( \sin 2\theta  \right)}^{n}}}\)

想再請問計算2, 謝謝幫忙!

計算第2題
設
\(\begin{align}
  & {{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha  \\
& {{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta  \\
& {{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma  \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
  & \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0 \\
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =0 \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0 \\
& \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=0 \\
& {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{3}}\overline{{{z}_{3}}}=1 \\
&  \\
& {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2} \\
& ={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right) \\
& =-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right) \\
& =0 \\
&  \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =0 \\
& \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-27 09:59 PM 編輯 ]