計算 2

1. 先證 cos(−)=−21

(cos+cos)2+(sin+sin)2=cos2+sin2

2+2cos(−)=1cos(−)=2−1

2. 再證 cos(+)=−(cos2+cos2)

cos2+cos2=2cos(+)cos(−)=−cos(+) by 1

3. 證明 cos2+cos2+cos2=0

(cos+cos)2−(sin+sin)2=cos2−sin2

cos2+cos2+2cos(+)=cos2

cos2+cos2+cos2=0 by 2

4. 先證 sin(+)=−(sin2+sin2)

sin2+sin2=2sin(+)cos(−)

sin2+sin2=−sin(+) by 1

5. 證明 sin2+sin2+sin2=0

sincos=(sin+sin)(cos+cos) ，和差化積得

21sin2=22sin2+cos2−cos2+cos2−

21sin2=sin(+)(1+cos(−))

sin2+sin2+sin2 by 1,4.

另證. 向量 (cossin)(cossin)(cossin) 頭尾相連形成一個三角形，故兩兩夾 120。

不失一般性，可假設   =+120, =−120，代入，和角公式，即得證。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-27 10:17 PM 編輯 ]

令z1=cos+isinz2=cos+isinz3=cos+isin
則z1+z2+z3=0, z1+z2+z3=1z1+1z2+1z3=0z1z2z3z1z2+z2z3+z3z1=0z1z2+z2z3+z3z1=0
故z12+z22+z32=z1+z2+z32−2z1z2+z2z3+z3z1=0 , 可推知
cos2+cos2+cos2=sin2+sin2+sin2=0

其實就是鋼琴大的方法，只是移項的方式不同XD

謝謝各位大師的講解.  推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉!

引用:

原帖由 David 於 2014-5-27 10:06 PM 發表
謝謝各位大師的講解.  推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉!

印象中這題在仿間高中數學參考書內會有~

跟寸絲的作法很類似
不過我是跟鋼琴大一樣
先令Z_1,Z_2,Z_3然後此三點為單位圓上三點
做到cos(alpha-beta)=-1/2
同理cos(beta-gamma)=-1/2
cos(gamma-alpha)=-1/2
不失一般性beta=alpha+120度,gamma=alpha+240度
就可以證出來了。

想請問計算題一，五。

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-5-30 05:40 PM 編輯 ]

計算一
一個正方體可做8個，9個正方體就72個，再加上邊長為6 的 8 個正三角形，共 80 個
感謝 saqwsaqw 老師指正

計算五
第二頁小蝦米老師已解

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-6 01:45 PM 編輯 ]

謝謝鋼琴師說明，了解了。

回復 37# thepiano 的帖子
正方體邊的中點也可以做8個正三角形

對，還有 8 個邊長為6 的正三角形，感謝指正

忽然想起這題去年明倫高中考過