填充第7題：
考慮黎曼和，原式為
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\ldots +\frac{n}{n}\sqrt{1+\frac{n}{n}} \right)=\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{1+x} \right)dx}=\int_{0}^{1}{\left( {{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{2}}} \right)dx}=\frac{4\left( \sqrt{2}+1 \right)}{15}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:49 PM 編輯 ]

填2. 另解

選擇題 (Y) 對計算題 (X) 的迴歸直線方程為 \( y=\frac{8}{25}x+\frac{1156}{25} \)

而分數的關係式為 \( y_{i}=\frac{8}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)，其中 \( Cov(X,E)=0 \), \( Var(E)=(1-0.6^{2})Var(Y) \)。
(紅字是重點，利用 \( Cov(Z+W)=Cov(Z,Z)+2Cov(Z,W)+Cov(W,W),Cov(Z,Z)=Var(Z), Cov(W,Z) = r_{z,w} \sigma_z\sigma_w \) 可證明之)

總分 \(X+Y:  x_{i}+y_{i}=\frac{33}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)

\( Var(X+Y)=(\frac{33}{25})^{2}\cdot225+(1-\frac{9}{25})\cdot8^{2}=433 \)，故標準差為 \( \sqrt{433} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:26 PM 編輯 ]

寸絲兄還是一如以往的殺~~你早一些些我也不用打那麼長了XD

你的方法有你的方法的好處，親民易懂；我這樣寫，說不定有人覺得很詭異，跟天書一樣

我剛好記得那奇怪的式子，一般高一的課本或教師手冊很少把迴歸直線、相關係數談的這麼細

之前做教甄某題的時候，曾經重推一下這件事。

令我訝異的是，康熹版的高一課本，竟然那一段，用誤差來解釋相關係數：誤差的變異數，只有原變異數的 \( (1-r^2) \) 倍。

不過後來康熹好像又對課本做來修改，那段不知道還在不在？

紅字的另一個解釋，是線性代數正射影、正交分解的觀點，把 \( Cov(X,Y) \) 或 \( r \) 當作在處理內積、正射影係數，

正交分解完後，\( X \perp E \), \( E \) 的長度可用畢氏定理計算，翻譯回 Var, Cov 的語言，就是 \( Cov(X,E) = 0, Var(E) = (1-r^2) Var(Y) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:53 PM 編輯 ]

無聊做一下，填充 1.

可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解

\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)

\( \Rightarrow x+y+z+w = 12  or  13 \)

故所求 = \( H^4_{12} + H^4_{13} = 1015 \)

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-26 09:59 AM 發表
無聊做一下，填充 1.

可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解

\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)

帥喲!這個方法快多了
不過這麼快就算出來，您很快就會又無聊了

計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的...

感謝thepiano老師 hua0127老師
我修正了算式，大家參考一下^ ^

[ 本帖最後由 小蝦米 於 2014-5-27 12:24 AM 編輯 ]

昨天晚上看到這必殺後就一直在玩味這個神奇的結果
跟寸絲兄所說的依樣，可以用線代的觀點去詮釋

有興趣的可以參考以前我很喜歡的一個線代的網站：線代啟示錄
http://goo.gl/JwYZrf  ：從線性變換解釋最小平方近似
http://goo.gl/VaqcpS ：相關係數
http://goo.gl/4wwPCw ：樣本平均數、變異數和共變異數
裡面有提到寸絲兄所說的一些重要觀念

BTW，利用寸絲兄提示的公式推導的過程中
\(Cov\left( X+Y,X+Y \right)=Cov\left( X,X \right)+2Cov\left( X,Y \right)+Cov\left( Y,Y \right)\)得到了
\(Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2Cov\left( X,Y \right)\), 是以前統計常用的公式(慚愧，忘得差不多了囧…) 將這個公式套入本題也有一些妙用，所求
\[Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2\cdot {{r}_{xy}}\cdot {{\sigma }_{x}}\cdot {{\sigma }_{y}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}+2\cdot \left( 0.6 \right)\cdot 8\cdot 15=433\]

答案即為\(\sqrt{433}\), 其實也是借花獻佛，換湯不換藥而已XD

引用:

原帖由 小蝦米 於 2014-5-26 03:57 PM 發表
計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的...

應該還有 x = 100，p = 1，q = -1，此時 2p^2 - q^2 = 1

hua0127 的這個方法寫得更清楚、簡潔，雖然本質差不多

但是我的寫法，還繞一點不必要的路 \( Var(E) \)，考試的時候記得要這樣做