引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-12 08:36 AM 發表
1. 我做的是線性變換，在這個操作下，才會有面積比的事，所以 \( (\pm c,0) \) 還是被對應到  \( (\pm c,0) \)
只是這兩個點不是焦點而已，但這不重要，重要是的面積。

2. \( \frac12 底 \times 高 \)，以 \( \overline{A'B'} \ ...

請問"底邊的長是怎麼算的"？

線性變換後，橢圓變成圓，弦長的計算用畢氏定理，所以看到那個奇怪的 \( 2 \sqrt{  } \) 就是弦長了

弦長 \( = 2\times \sqrt{半徑^2 - 弦心距^2} \)

請教
如果直接作參數解
A(a*cosP, b*sinP)
B(a*cosQ, b*sinQ)
F_1( c, 0 )     F_2(-c, 0)
由F_1-A-B共線斜率相同得 ab*sin(P-Q)= bc*(sinP-sinQ)
再由向量|AF_2 X BF_2| *(1/2)
=(1/2)*| (ab*sin(P-Q)+bc*(sin(P)-sin(Q)) |
=ab*|sin(P-Q)|<=ab  即所求面積最大為ab
如此一來，並沒辦法以a,c 的關係分類出極值不同
想請教這樣算哪裡有問題呢？

A, B 是焦弦的兩個音端點，\( P, Q \) 之間互相依賴，即其一確定，另一個也會被確定 (視同界角為相同)，即寫作 Q = Q(P)

\( \sin(P-Q) \leq 1 \) 中，我們不一定找得到 \( P \) 使得等號成立，因此得到的只是一個上界

這個 \( \sin \) 的最大值，要視 \( P,Q \) 之間關係才能決定

而先前解題中，這件事也曾浮現在我的思考中，但 \( P,Q \) 的關係，大概不是一件好算、簡潔的表示式吧。

只好讓這個想法夭折在半路上了

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-11 01:42 PM 發表
計算 2. 沒算錯話，應該是 \(\displaystyle 3^{-\frac{1}{5}}

我只能算出 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{3}}<m<27\),
請問老師, 如何能得知還有 27 呢?
另外, 想請問 計算 4. 的答案
(我算的答案是 (1) \(\displaystyle \frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}
                        (2) \frac{k(k-1)^{n-1}}{(k+1)^{n}}-\frac{1}{2}[(\frac{k-1}{k+1})^{n-1}-1]
                        (3) 1
\)

計算 4. (1) (2) 皆正確 (3) 為 \(\displaystyle \frac12 \)

另外 (2) 可以寫成 \( \displaystyle P_{n}=\frac{(\frac{k-1}{k+1})^{n}+1}{2} \)，看起來比較簡潔

(3) 則是用到 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\frac{k-1}{k+1})^{n} = 0 \)，故僅剩下 \(\displaystyle \frac12 \)

計算 2. \( m =27 \) 如先前所言，該式非二次式，不能以判別式判斷。

\( m = 27 \) 代入，會發現左式為常數 -1 (若稍改動式子，也有可能是一次式)，故 \( m=27 \) 該不等式亦對所有實數 x 皆成立

謝謝老師
想再請問 二 8.
(我有看過 #27 David 老師所寫的方法)
我自己寫的式子, 到最後是 \( S=\frac{1}{16}(64-a^{2}) \), 想請問老師接下來該如何做比較好？

填充題 8  揣摩 57# martinofncku 老師的作法如下。

已知 △ABC 的三邊長 a, b, c 和面積 S 滿足關係式 S = a² - (b - c)²，且 b+c = 8，則 △ABC 的面積 S 的最大值為?

解:

S = (a+b-c)*(a-b+c) ... (1)  由型式聯想到海龍公式:

4S = √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)(a-b+c)*(a+b-c) ] ... (2)

為了化簡並保有所求的 S，作 (2)² ÷ (1)

16S = (a+b+c)*(-a+b+c) = 64 - a² = 64 - S - (b - c)²

⇒ 17S = 64 - (b - c)² ≤ 64

⇒ 當 b = c 時，面積 S 有最大值 64/17。

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另一個構思:

S = a² - (b - c)² 的右式有餘弦定理的元素，故改寫為:

S /2bc = [a² - (b - c)²] /2bc = - cosA + 1

⇒ (1/4)*sinA = - cosA + 1，又 sin²A + cos²A = 1

⇒ sinA = 8/17

由算幾不等式，S = (1/2)*bc*sinA ≤ (1/2)*16*(8/17) = 64/17 (當 b = c 時取等號)。

想問計算1(2)這樣做錯在哪裡呢?
\(\displaystyle \frac{1}{\overline{AF_1}}+\frac{1}{\overline{BF_1}}=\frac{4}{\frac{2b^2}{a}}=\frac{2a}{b^2}\)
\(\displaystyle \overline{AF_1}+\overline{BF_1}=2at\)
\(\displaystyle \overline{AF_1}\times \overline{BF_1}=b^2t\)
\(\Delta ABF_2=\sqrt{S\times \overline{AF_1}\times \overline{BF_2}
(S-\overline{AF_1}-\overline{BF_2})}=\sqrt{2ab^2t(2a-2at)}\)
\(=\sqrt{-4a^2b^2t^2+4a^2b^2t}\)
\(=\sqrt{-4a^2b^2(t-\frac{1}{2})^2+a^2b^2}\)

除了第二行，把兩個 BF_1 打成 BF_2 之外，沒有問題