因為心血來潮想複習Latex，跟朋友使用texmaker摸索許久，僅供參考~!

thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=4225

1.
求所有滿足\( (m+n)^m=n^m+1413 \)的所有正整數\( m,n \)。

滿足\( (m+n)^n =m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為。
連結有解答
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=4#pid12726)

7.
如圖所示，扇形\( AOB \)之圓心角\( ∠AOB=60^{\circ} \)，半徑\( \overline{AB}=1 \)，則內接\( PQRS \)(\( P,Q \)在圓弧\( AB \)上)之最大面積為。


8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號相同的機率為。
連結有解答
(95台灣師大　推薦甄選入學，http://www.lungteng.com.tw/LungT ... BF%EF%B8%D5%C3D.doc)

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
連結有答案
(103桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)

第三題

拋磚引玉，小弟先來獻醜了。

這一次去寫還是有一些題目沒辦法在第一時間內想到，

一開始看到第三題就先跳過，最後再回來寫，發現應該不難，但是寫到一半就打鐘了...

於是回來就把題目都補算過一遍!!

如有錯誤敬請板上各位大大指正，謝謝。

3.
已知直角\(\Delta ABC\)的兩股邊長分別為\(a,b\)，\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}\)，試證明：\(log(a+b)-log \sqrt{6}=\frac{1}{2}(log a+log b)\)
[解答]
由正弦定理\(\displaystyle \frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{1}{2}\sqrt{a^{1-log_a b}}}=\frac{2a}{\sqrt{\frac{a}{b}}}=2\sqrt{ab}=2R\)
因為\(\Delta ABC\)為直角三角形，故斜邊長為\(2\sqrt{ab}\)
由題意可列出\(\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{ab}\)
\(a^2+b^2=4ab\)，故\((a+b)^2=6ab\)
經過開根號，移項，即為題目所求\(\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{6}}=\sqrt{ab}\)。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~
1.
求所有滿足\((m+n)^m=n^m+1413\)的所有正整數\(m,n\)。

2.
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。

4.
設\(x,y\)為實數，且\(x,y\)滿足條件\((x-2)^2+(y-2)^2=3\)，則\(\displaystyle \frac{y}{x}\)之最小值　　　。

5.
\(x \in R\)，若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+5\)在\(x=1\)時有極小值為2，則\(f(x)\)的極大值為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

6.
四邊形\(ABCD\)，對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(P\)點，若\(\Delta ABP\)的三邊長為\(5,6,7\)，且\(\vec{AC}=2\vec{AB}+3\vec{AD}\)，求四邊形\(ABCD\)的面積為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

7.
扇形\(AOB\)之圓心角\(∠AOB=60^{\circ}\)，半徑\(\overline{OA}=1\)，則內接矩形\(PQRS\)(\(R,Q\)在圓弧\(AB\)上)之最大面積為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

8.
隨意將編號1至7的七張卡片排成一列，恰有三張卡片所排的順序與它的編號號相同的機率為　　　。

9.
試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)　　　。

112.5.29補充
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{4n^2}(\sqrt{4n^2-1}+\sqrt{4n^2-4}+\sqrt{4n^2-9}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2})=\)
(112高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3751-1-1.html)

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

根據第九題只有n個數字
所以那個1/2應該提出來使得最後的答案還要*1/2？

第2題出處，嚴鎮軍，初中數學競賽教程
第13~14頁，不需要微分即可說明清楚