填充第 2 題：
設四次多項式f(x)=−x4+3x3−3x2+3x−2，選取積分區間axb，使得定積分abf(x)dx 達到最大值，請求出此最大值　　　？
[解答]
先看 y=−x4+3x3−3x2+3x−2 與 x 軸的交點在哪裡，圖形長怎樣。

因式分解 −x4+3x3−3x2+3x−2 得 −(x−2)(x−1)(x2+1)

可知 y=−x4+3x3−3x2+3x−2 的圖形

1. 當 x 在 1 到 2 之間時，圖形在 x 軸上方，

2. 當 x1 或 x2 時，圖形在 x 軸下方。

因此，取積分區間 [12]

可得定積分之最大值為 12−x4+3x3−3x2+3x−2dx=2011 

填充第 3 題：
無窮級數n=15n1+3+32++3n= 　　　？
[解答]
5n1+3+32++3n=5n3−113n+1−1=2353n−2151n 

因為各別極限（如下）都存在

　　 n=12353n=23531−53=49 

　且 n=12151n=21511−51=81 

所以，

n=12353n−2151n=n=12353n−n=12151n=49−81=817 

亦即，所求 =817

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:18 AM 發表
填充第 5 題：

若甲乙丙三瓶中分別有 abc 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 85a+4b+c24a+2b8a+ ...

謝謝瑋岳老師的詳解

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:58 AM 發表
填充第 3 題：

5n1+3+32++3n=5n3−113n+1−1=2353n−2151n 

因為各別 ...

謝謝瑋岳大的解題，感恩!

印象中，一些教師手冊裡會提到，如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正，則必收斂至穩態。

不過這個定理，的確很難證，以前讀過隨機過程的時候，是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。

其內容為：一個 n 階實方陣 A，若 A 的各元非負 (有時記作 A0 ) 且 Ak0 (各元皆正)

則方陣 A 有一個特徵值 \lambda_{pf} ，滿足
1. 其它特徵值 \lambda 皆滿足 |\lambda| < \lambda_{pf}
2. \lambda_{pf} 的代數重數為 1
3. \lambda_{pf}>0 ，且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正

套在轉移矩陣上，就是說 \lambda_{pf} =1 ，且其特徵向量(穩態)各元皆正，其它特徵任之絕對值 <1

對角化，計算 A^n ，即得每一行皆收斂至穩態。

這件事讓我想到另一問題，也有同樣的結果

題. 已知 A 袋中有 3 個 10 元硬幣，B 袋中有 2 個 5 元硬幣，今從 A 袋任取一個硬幣放入 B 袋，再由 B 袋任取一個硬幣放入 A 袋。若進行的次數夠多，試問 A 袋中有 2 個 10 元硬幣和 1 個 5 元硬幣的機率會趨近何值？

答. \displaystyle \frac{3}{5} = \frac{C^3_2\cdot C^2_1}{C^5_3}。

這個答案同樣跟初始狀態無關，因為答案是穩態矩陣其中一元，而穩態只有轉移矩陣決定，與初始狀態無關。

有趣的是，即使我們稍微改一下玩戲規則，比如說，原本是先 A 後 B，我們可以改成先 B 後 A，或者一起拿出一個交換。

這時候，轉移矩陣改變了，但是仔細一做，會發現答案不變，穩態也不變。也就是說，在某類的交換規則下，穩態不只跟初始狀態無關，也跟交換規則無關！

但具體的限制條件是什麼？該怎麼描述，才夠充分？，又如何證明之！



寸絲的確是為了好玩在做數學的，即使是去年前年，在準備教甄的時候，也是這樣的態度。

這個問題也不是現在才思考，定理是讀書的時候學的，但後來也忘得差不多，只是依稀記得有這個定理在

準備考試時間，偶爾當當玩樂趣味，才查起了完整的定理名稱和條件，不過現在大概是證不出佩龍定理了吧

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:34 AM 發表
填充第 10 題：

將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。

謝謝瑋岳老師
不好意思今天才回覆

想請教一下第二部份的第4題
如果不用公式的話
是否有較方便的方法?
試過用假設直線方程式帶入方程式
不過最後判別式的時候就........

第二部分問答題第 4 題：
過點(-2,2)且和橢圓方程式x^2+xy+y^2=1相切的直線方程式為？
丁同學的算式為：
過(x_0,y_0)的二次曲線ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0切線方程式為
\displaystyle ax_0x+b\left(\frac{y_0x+x_0y}{2}\right)+cy_0y+d\left(\frac{x+x_0}{2}\right)+e\left(\frac{y+y_0}{2}\right)+f=0
(-2,2)代入公式得到\displaystyle -2x+\frac{2x-2y}{2}+2y=1，切線方程式為-x+y=1
[解答]
因為點 (-2,2) 並不在橢圓 x^2+xy+y^2=1 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。



丁同學可改用如下方式求切線：

假設過點 (-2,2) 與橢圓 x^2+xy+y^2=1 相切的切線斜率為 m，

則切線方程式為 y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)

將切線方程式帶入橢圓方程式，整理可得

\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0

因為相切，所以 x 有重根，

可得 \left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0

\Rightarrow 2m^2+5m+2=0

\displaystyle \Rightarrow m=-2 或 \displaystyle m=-\frac{1}{2}

亦即，切線方程式為 \displaystyle y-2=-2\left(x+2\right) 或 \displaystyle y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)

5.
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為　　公升？
其實weiye在2009年也解過一次了，https://math.pro/db/thread-845-1-10.html

或許可以改一下題目
甲瓶有1公升濃度100%酒，乙瓶和丙瓶各有1公升的水，按照上面的操作方式，最後甲瓶酒的濃度為多少？


6.
\overline{AD} 為半圓的直徑，且 \overline{AB}=2 、 \overline{BC}=7 、 \overline{CD}=11 ，則 \overline{AD}= ？

類題
\overline{P_0P_3} 為半圓之直徑， P_1 、 P_2 為半圓周上兩點。令 a=\overline{P_0P_1} 、 b=\overline{P_1P_2} 、 c=\overline{P_2P_3} 、 d=\overline{P_0P_3} 。試證d為方程式 x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 之一根。
(81大學聯考　自然組)

103.3.13補充
圓內接四邊形ABCD中，直徑 \overline{BC}=13 、 \overline{AB}=\overline{AD}=5 ，求四邊形ABCD的面積
(101臺南女中數學成就測驗，http://www.tngs.tn.edu.tw/depart ... ing1.asp?Dir=10100\)

104.4.25補充
四邊形 ABCD 內接於一圓，且 \overline{AB} 為此圓的直徑，已知 \overline{BC}=7 ， \overline{CD}=\overline{DA}=3 ，則直徑 \overline{AB} 之長。
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)


7.
設 i=\sqrt{-1} ，求 (1+\sqrt{2}i)^{2013}+(1-\sqrt{2}i)^{2013} 除以12的餘數為？

在這篇寸絲說這類題目可以用二項式定理或者用遞迴關係式
https://math.pro/db/thread-680-2-1.html
在這篇thepiano用遞迴關係式解出答案
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=3052#p9416
那你可以想看看，這題能不能用二項式定理解題，假如不能用也想看看為什麼不能用。


9.
\displaystyle 1^2 \cdot C_1^8 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^7+2^2 \cdot C_2^8 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^6+3^2 \cdot \cdot C_3^8 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^5+\ldots+8^2 \cdot C_8^8 \cdot (\frac{1}{5})^8

\displaystyle 1^2 \cdot C_1^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^9+2^2 \cdot C_2^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^7+\ldots+10^2 \cdot C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10}
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)


問答4.
過點 (-2,2) 且和橢圓方程式 x^2+xy+y^2=1 相切的直線方程式為？

將極線代入橢圓方程式求得切點坐標，再和 (-2,2) 求出切線方程式