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102松山工農

回復 7# Jacob 的帖子

填充第 2 題:

先看 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 與 \(x\) 軸的交點在哪裡,圖形長怎樣。

因式分解 \(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 得 \(-(x-2)(x-1)(x^2+1)\)

可知 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 的圖形

1. 當 \(x\) 在 \(1\) 到 \(2\) 之間時,圖形在 \(x\) 軸上方,

2. 當 \(x<1\) 或 \(x>2\) 時,圖形在 \(x\) 軸下方。

因此,取積分區間 \([1,2]\)

可得定積分之最大值為 \(\displaystyle\int_1^2\left(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\right)dx=\frac{11}{20}\)

多喝水。

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回復 7# Jacob 的帖子

填充第 3 題:

\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別極限(如下)都存在

   \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{9}{4}\)

 且 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{8}\)

所以,

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)=
\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{9}{4}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

亦即,所求 \(\displaystyle =\frac{17}{8}\)

多喝水。

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引用:
原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:18 AM 發表
填充第 5 題:

若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水,經一輪(甲→乙→丙→甲)操作後,

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\) ...
謝謝瑋岳老師的詳解

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引用:
原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:58 AM 發表
填充第 3 題:

\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別 ...
謝謝瑋岳大的解題,感恩!

[ 本帖最後由 Jacob 於 2013-7-9 03:43 PM 編輯 ]

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印象中,一些教師手冊裡會提到,如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正,則必收斂至穩態。

不過這個定理,的確很難證,以前讀過隨機過程的時候,是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。

其內容為:一個 \( n \) 階實方陣 \( A \),若 \( A \) 的各元非負 (有時記作 \( A \geq 0 \) ) 且 \( A^k >0 \) (各元皆正)

則方陣 \( A \) 有一個特徵值 \( \lambda_{pf} \),滿足
1. 其它特徵值 \( \lambda \) 皆滿足 \( |\lambda| < \lambda_{pf} \)
2. \( \lambda_{pf} \) 的代數重數為 1
3. \( \lambda_{pf}>0 \) ,且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正

套在轉移矩陣上,就是說 \( \lambda_{pf} =1 \),且其特徵向量(穩態)各元皆正,其它特徵任之絕對值 \( <1 \)

對角化,計算 \( A^n \),即得每一行皆收斂至穩態。
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這件事讓我想到另一問題,也有同樣的結果

題. 已知 A 袋中有 3 個 10 元硬幣,B 袋中有 2 個 5 元硬幣,今從 A 袋任取一個硬幣放入 B 袋,再由 B 袋任取一個硬幣放入 A 袋。若進行的次數夠多,試問 A 袋中有 2 個 10 元硬幣和 1 個 5 元硬幣的機率會趨近何值?

答. \( \displaystyle \frac{3}{5} = \frac{C^3_2\cdot C^2_1}{C^5_3}\)。

這個答案同樣跟初始狀態無關,因為答案是穩態矩陣其中一元,而穩態只有轉移矩陣決定,與初始狀態無關。

有趣的是,即使我們稍微改一下玩戲規則,比如說,原本是先 A 後 B,我們可以改成先 B 後 A,或者一起拿出一個交換。

這時候,轉移矩陣改變了,但是仔細一做,會發現答案不變,穩態也不變。也就是說,在某類的交換規則下,穩態不只跟初始狀態無關,也跟交換規則無關!

但具體的限制條件是什麼?該怎麼描述,才夠充分?,又如何證明之!



寸絲的確是為了好玩在做數學的,即使是去年前年,在準備教甄的時候,也是這樣的態度。

這個問題也不是現在才思考,定理是讀書的時候學的,但後來也忘得差不多,只是依稀記得有這個定理在

準備考試時間,偶爾當當玩樂趣味,才查起了完整的定理名稱和條件,不過現在大概是證不出佩龍定理了吧
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引用:
原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:34 AM 發表
填充第 10 題:

將平面分成七個區域,去絕對值,

討論各區域所需滿足的圖形(方程式)為何。
謝謝瑋岳老師
不好意思今天才回覆

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想請教一下第二部份的第4題
如果不用公式的話
是否有較方便的方法?
試過用假設直線方程式帶入方程式
不過最後判別式的時候就........

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回復 19# gamaisme 的帖子

第二部分問答題第 4 題:

因為點 \((-2,2)\) 並不在橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 的圖形上,

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式,

而是兩切點所連接的直線方程式(切點弦方程式,極線)。



丁同學可改用如下方式求切線:

假設過點 \((-2,2)\) 與橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 相切的切線斜率為 \(m\),

則切線方程式為 \(y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)\)

將切線方程式帶入橢圓方程式,整理可得

\(\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

因為相切,所以 \(x\) 有重根,

可得 \(\left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow 2m^2+5m+2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow m=-2\) 或 \(m=-\frac{1}{2}\)

亦即,切線方程式為 \(\displaystyle y-2=-2\left(x+2\right)\) 或 \(y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\)

多喝水。

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5.
有甲、乙、丙三支大瓶子,開始時均裝有1公升的水,每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶,再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶,然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶,若一直操作下去當穩定狀態時,甲瓶的水量為  公升?
其實weiye在2009年也解過一次了,https://math.pro/db/thread-845-1-10.html

或許可以改一下題目
甲瓶有1公升濃度100%酒,乙瓶和丙瓶各有1公升的水,按照上面的操作方式,最後甲瓶酒的濃度為多少?


6.
\( \overline{AD} \)為半圓的直徑,且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \),則\( \overline{AD}= \)?

類題
\( \overline{P_0P_3} \)為半圓之直徑,\( P_1 \)、\( P_2 \)為半圓周上兩點。令\( a=\overline{P_0P_1} \)、\( b=\overline{P_1P_2} \)、\( c=\overline{P_2P_3} \)、\( d=\overline{P_0P_3} \)。試證d為方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)之一根。
(81大學聯考 自然組)

103.3.13補充
圓內接四邊形ABCD中,直徑\( \overline{BC}=13 \)、\( \overline{AB}=\overline{AD}=5 \),求四邊形ABCD的面積
(101臺南女中數學成就測驗,http://www.tngs.tn.edu.tw/depart ... ing1.asp?Dir=10100\)

104.4.25補充
四邊形\( ABCD \)內接於一圓,且\( \overline{AB} \)為此圓的直徑,已知\( \overline{BC}=7 \),\( \overline{CD}=\overline{DA}=3 \),則直徑\( \overline{AB} \)之長。
(104台南二中,https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)


7.
設\( i=\sqrt{-1} \),求\( (1+\sqrt{2}i)^{2013}+(1-\sqrt{2}i)^{2013} \)除以12的餘數為?

在這篇寸絲說這類題目可以用二項式定理或者用遞迴關係式
https://math.pro/db/thread-680-2-1.html
在這篇thepiano用遞迴關係式解出答案
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=3052#p9416
那你可以想看看,這題能不能用二項式定理解題,假如不能用也想看看為什麼不能用。


9.
\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^8 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^7+2^2 \cdot C_2^8 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^6+3^2 \cdot \cdot C_3^8 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^5+\ldots+8^2 \cdot C_8^8 \cdot (\frac{1}{5})^8 \)

\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^9+2^2 \cdot C_2^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^7+\ldots+10^2 \cdot C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
(98彰化女中,https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)


問答4.
過點\( (-2,2) \)且和橢圓方程式\( x^2+xy+y^2=1 \)相切的直線方程式為?

將極線代入橢圓方程式求得切點坐標,再和\( (-2,2) \)求出切線方程式

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