好方法！ 沒想到這招也可以用在這題上

以下是一些類題

將 4  個球全部投入 3  個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4  次，則空袋子個數的期望值 \( \underline{\qquad\qquad} \) 。     (99中興高中 填充17)

一袋中有 m  個白球與 n  個黑球，個袋中一次取一球，取後不放回，直到取完所有白球為止，求所取球數的期望值。     (97大里高中 計算3  第17篇)

A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中 第1題)

有 3  個「+ 」，4  個「- 」，排成一列。若一列中一個「+- 」或一個「-+ 」我們說：有一個「變號」。問 3  個「+ 」，4  個「- 」排成一列，變號個數的期望值？     (99彰化女中 填充12)

另外期望值線性疊加亦可在公平事件的機率問題使用，如以下：

有甲、乙、丙等 14 人出遊，欲住進兩間 4  人房、兩間 3  人房，問甲乙丙三人同房的機率為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。     (99桃園高中 填充15)

97中興高中填充9、99彰化女中 填充2、99中正高中 填充 9

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-10-28 09:52 PM 編輯 ]

再補一個類題：

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,\cdots,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。 (99屏東女中 第8題、97台中一中 第14題)

問題1. 請問如何用以上的想法來解
           A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。」這題.
         
問題2. 請問填充2除了旋轉,還有其他較簡潔的方法嗎?觀察出題目裡有出現x+y與xy,但接下來就不知如何下筆了.

           煩請老師們解答,謝謝!

99 高雄高中那題

可考慮每 n 步是否有轉彎的機率為 \( p \)，易得 \( p = \frac{2\cdot9\cdot9}{18\cdot 17} \) (與 n 無關)

故所求 \( =17p = 9\)

填充 2. 另解(沒有比較簡潔) 注意兩個式子都是 x,y 的對稱多項式

處理對稱多項式常用的手法就是用基本對稱式表示之

令 \( \alpha =x+y, \beta= xy \) 則 x,y 為 \( t^2 - \alpha t+\beta = 0 \) 之兩實根

因此 \( \alpha^2-4\beta \geq 0 \) 又 \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可得 \( |\alpha|\leq2\sqrt{2} \)

而由  \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可將目標函數改為 \( g(\alpha)=\alpha^{3}-\alpha^{2}-5\alpha \)

微分得 \( g'(\alpha)=(3\alpha-5)(\alpha+1)\)

代入  critical point 得： \( g(2\sqrt{2})=6\sqrt{2}-8, g(- 2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}-8, g(-1)=3, g(\frac{5}{3})=-\frac{175}{27} \)

故最大值為 3，最小值為 \( -6\sqrt{2}-8 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-10-22 22:41 編輯 ]

想請教證明4
為什麼對(h,k)做三條切線之對稱點(h,-k)(k+1,h-1)(-k-1,-h-1)
則此三點皆在準線上?
感謝!

偷偷借一下老王老師在 http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=30 的圖來說明~~~

qq.jpg (13.6 KB)

2012-12-18 17:49

見上圖，自拋物線上一點 \(A\) 做切線 \(\overleftrightarrow{AE}\)（此切線交準線於 \(E\) 點），

自 \(A\) 往準線做垂線，得垂足 \(C\)，

設拋物線焦點 \(F\)，

由拋物線定義可得 \(\overline{AC}=\overline{AF}\)，

由光學性質可推得 \(\angle FAE=\angle CAE\)

再加上 \(\overline{AE}=\overline{AE}\)

可得 \(\triangle FAE\sim\triangle CAE\)

進而可推知 \(F,C\) 兩點會對稱於 \(\overleftrightarrow{AE}\)

亦即，將焦點對稱切線後，對稱點會落在準線上。

謝謝瑋岳老師...我弄懂了~

想請教填充5
是用根與係數關係去湊嗎?感覺程開之後有點難湊ㄟ??能否給點提示嗎?感謝~

填充第五題：

https://math.pro/db/thread-164-1-1.html

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822　連結已失效

想請問一下計算第一題如何知道
最大周長出現在B在弧AC的中間點，
底下是我目前寫的