選擇題
2.已知
x1
x2是方程式
x2−(k−2)x+(k2+3k+5)=0的兩個實數根,則
x21+x22的最大值是多少?
(1)19 (2)18 (3)
595 (4)
−31 (5)不存在。
Suppose
k
R and



are two real roots of the equation
x2−(k−2)x+(x2+3x+5)=0,
then find the maximum value of
2+
2.
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=251904
95忠明高中,95文華高中,97大安高工,97全國高中聯招都考過這題
下次再看到這題時請把答案18直接填上去
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102.3.25補充
已知
x1、x2是方程
x2−(k−2)x+(k2+3x+5)=0(k為實數)的兩個實數根,
x21+x22的最大值是(A)19,(B)18,(C)
595,(D)不存在。請選擇一正確答案。
錯解
由根與係數之關係可知
x1+x2=k−2,
x1
x2=k2+3k+5,
x21+x22=x21+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由此可以得出當
k=−5時,
x21+x22的最大值是19,∴此題應該選擇(A)
剖析
本題主要考查學生一元二次方程部分的基本知識、根的判別式。根與係數之關係及函數的極值,從以上解法來看,解題過程和計算沒有錯誤,此題的錯誤在於忽視了題目中給出的一個條件,即
x1、x2是方程的兩個實數根,由於忽視了這個條件,因而無法確定k的取值範圍,造成了此題選擇的錯誤。
正確解法
∵
x1、x2是方程的兩個實數根,∴

0,即
[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)
0,
又∵
[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)=k2−4k+4−4k2−12k−20=−3k2−16k−16,
∴
−3k2−16k−16
0,即
3k2+16k+16
0,
∴
−4
k
−34。
由根與係數之關係可知
x1+x2=k−2,
x1
x2=k2+3k+5,
∴
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由於
x21+x22=−(k+5)2+19是k的一個二次函數,而且在
−4
k
−34範圍內是減函數,因此在
k=−4處取得最大值。
∴
x21+x22的最大值是18,∴ 此題應該選擇(B)
(錯在哪裡?中學生解數學題常犯的錯誤分析P17,九章出版社)
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5.設
x1
x2
x3



xn均為整數且滿足:
(a)
−1
xi
2,
i=1
2
3



n,
(b)
x1+x2+x3+

+xn=19,
(c)
x21+x22+x23+

+x2n=19
令
S=x31+x32+x33+

+x3n,S的最大值和最小值分別為M,m,試問下列敘述哪些是正確的?
(1)m為質數 (2)M為7的倍數 (3)
Mm為整數
(4)當S有最小值時,此級數中有30項為
−1 (5)當S有最大值時,此級數中非0的項有42項
(2010年台灣區數甲第5次模擬考03.02 RA566.swf)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1582
99.8.21補充
設
x1
x2
x3



xn
−1
0
1
2
滿足
x1+x2+x3+

xn=19x21+x22+x23+

+x2n=99 ,
求
x31+x32+x33+

+x3n之最大值M與最小值m。
(中一中合作盃第25期)
99.10.20補充
設
x1
x2



x2010是整數,且滿足下列條件
(1)
−1
xn
2 (
n=1
2



2010 )
(2)
x1+x2+

+x2010=204
(3)
x21+x22+

+x22010=2010
試求
x31+x32+

+x32010之最小值及最大值
(建中通訊解題第82期)
設
a1
a2



a50是從
−1,0,1這三個整數中取值的數列。若
a1+a2+

+a50=9且
(a1+1)2+(a2+1)2+

+(a50+1)2=107,則
a1,a2,

,a50當中有幾項是0?
(92學測)
從
−1
3
11
中重複取出15個數
a1,a2,

,a15。已知
a1+a2+

+a15=41且
(a1+5)(a2+5)

(a15+5)=242,則
a21+a22+a23+

+a215=?
(2009TRML個人賽)
101.4.30補充
xi為整數且
−1
xi
2,
x1+x2+

+x2012=19,
x21+x22+

+x22012=219,若
x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 最大值為M,最小值為m,則數對
(M,m) 為何?
(101臺南二中,
https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)
X_1 、
X_2 、
X_3 …、
X_{n-1} 、
X_n 均為
-1 或0或1或2,n為正整數,且滿足下列兩個等式:
X_1+X_2+X_3+...+X_{n-2}+X_{n-1}+X_n=91
X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_{n-2}^2+X_{n-1}^2+X_n^2=2002
求
X_1^3+X_2^3+...+X_{n-1}^3+X_n^3 之最大值、最小值
(建中通訊解題第22期)
101.6.19補充
設
a_1 ,
a_2 ,…,
a_{50} 是從-1,0,1,這三個整數中取値的數列。若
a_1+a_2+…+a_{50}=9 ,且
(a_1+1)^2+(a_2+1)^2+…+(a_{50}+1)^2=107 ,則
a_1 ,
a_2 ,…,
a_{50} 當中有幾項是0?
(101瑞芳高工,
https://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)
填充題
18.已知
x \ge 0 ,
y \ge 0 ,
z \ge 0 且
2x+y+z=4 ,若
x+3y \le 5 ,則
x+y 的最大值為。
[提示]
z=4-2x-y \ge 0 ,當作
x,y 的線性規劃
計算題
20.已知圓內接四邊形ABCD中,
\overline{AB}=3 ,
\overline{BC}=5 ,
\overline{CD}=8 ,
\overline{DA}=5 ,而點P為四邊形ABCD內一點,
今設點P至
\overline{AB} 、
\overline{BC} 、
\overline{CD} 、
\overline{DA} 的距離分別為a、b、c、d,試求:
(1)四邊形ABCD的面積?
(2)
a^2+b^2+c^2+d^2 的最小值為?
[提示]
(1)google 四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... 1&aql=&oq=&gs_rfai=
(2)柯西不等式
凸四邊形之四邊長為
a,b,c,d ,令
\displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} ,A為一組對角和,試證該四邊形之面積為
\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2 \frac{A}{2}} 由此或用其他方法解下面問題:求周長為
2s 的四邊形之中,面積最大的四邊形。
(94高中數學能力競賽 嘉義區筆試一試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_ChiaYi_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_01.pdf