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附上以前的討論，爬文後若還有問題再來發問
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779 (連結已失效)

103.9.8補充
階梯的理論
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=9960#p9960

引用:

原帖由 bugmens 於 2012-5-5 07:04 PM 發表
附上以前的討論，爬文後若還有問題再來發問
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779

想請教第17題，
畫成像階梯狀的理論基礎是什麼?
有其他解法嗎?

好老的考古題了  

第16 題
求組合數\( C_{1234}^{2008} \)除以7的餘數。
怎麼算， 感謝喔

cplee8tcfsh 老師已解，

如果需要更多補充說明可見彬爸的

這篇【七進位在組合數求餘數的實例應用】http://cplee8tcfsh.blogspot.tw/2008/06/7-decimal.html

填充題第16題。用同餘理論。
我也是研究好久，絕對不可能暴力法展開。
因為2008, 1234數字太大了。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-3-20 12:31 PM 編輯 ]

也來補一個解法，基本精神是大同小異的，只是選擇對 ! 遞降

設 \( n \) 為正整數，\( a, b\) 分別為 \( n \) 除以 \( 7 \) 之商和餘。

對所有正整數 \( n \)，定義 \( p_{n}=\left(\prod\limits _{k=1}^{n}k\right)/\left(\prod\limits _{k=1}^{\left[\frac{n}{7}\right]}7k\right) \)，則有性質：「 \( p_n \equiv (-1)^a \times b!  (Mod  7)\)」和 「\( n! = p_n \times(7^a\cdot a!) \)」
(證明要用到 \( 6! \equiv -1 \) (Mod 7))

則 \( \displaystyle C_{1234}^{2008}=\frac{2008!}{1234!774!}=\frac{p_{2008}\cdot7^{286}\cdot286!}{p_{1234}\cdot7^{176}\cdot176!\cdot p_{774}\cdot7^{110}\cdot110!}=\frac{p_{2008}\cdot286!}{p_{1234}\cdot176!\cdot p_{774}\cdot110!}=\ldots=\frac{p_{2008}p_{286}p_{40}p_{5}}{p_{1234}p_{176}p_{25}p_{3}p_{774}p_{110}p_{15}p_{2}} \)

再利用同餘則得 \( \displaystyle C_{1234}^{2008} = \frac{p_{2008}p_{286}p_{40}p_{5}}{p_{1234}p_{176}p_{25}p_{3}p_{774}p_{110}p_{15}p_{2}}\equiv\frac{6!\cdot6!\cdot(-5!)\cdot1}{2!\cdot(-1!)\cdot(-4!)\cdot3!\cdot4!\cdot(-5!)\cdot1!\cdot2!}\equiv6  (Mod  7) \)

請教第2題(簡答不太懂)，感謝。

第 2 題
從\(\{\;1,2,4,5,6,7,8,9,0 \}\;\)選出四個數字(可重複)所排列成的四位正整數之中，有幾個為15的倍數。
[解答]
{0，6，9}
{1，4，7}
{2，5，8}

千百個十
千位有 8 種填法，百位有 9 種填法，個位有 2 種填法
以上 8 * 9 * 2 種填法中的任一種，其千位數字 、百位數字和個位數字之和除以 3 的餘數只有 0、1、2 這 3 種情形
不管餘多少，十位數字都有 3 種填法

故所求 = 8 * 9 * 2 * 3 個

感謝。原來沒有3，看太快。