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101竹山高中

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補充 填充5 , 用卡當三次方判別式公式解看看 , 作為參考

用卡當三次方公式   當   x^3+px=q 時 , 三根為a,b,c 時
則 判別式     -4p^3-27q^2 = [ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2

所以 , 該題   x^3-x-1=0    用 p = -1  , q =1 代入得

[ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2  = -4(-1)^3-27(1)^3  =  4 - 27  = -23

故得    (a-b)(a-c)(b-c)  = 正負(根號23) i

sorry!   我剛剛才看到 版上已有大大 提供這方法了  ......^.^

[ 本帖最後由 GGQ 於 2013-4-23 07:32 AM 編輯 ]

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填充1
讓f(x)=x^3-x^2-13x+(6-p)
   g(x)=x^2-4x-q
a可以看成是f(x)=0和g(x)=0的解
因為a是g(x)=0的無理根
=> a可寫成x+\sqrt(y)這種形式
=> 有理係數多項式方程式的x+\sqrt(y)這種根會成對出現
=> g(x) | f(x)
所以g(x)是g(x)和f(x)的最高公因式
=> g(x) | f(x)-xg(x) = 3x^2-(13-q)x+(6-p)
=> 1 : -4 : -q = 3 : -(13-q) : (6-p)
=> p=9, q=1, a=2+\sqrt(5)

--
後來覺得自己的方法沒有前面幾位前輩來得簡易
但因為我習慣用這類方式看待這種題目...所以還是PO上來分享
請多指教...謝謝

[ 本帖最後由 阿吉 於 2013-6-23 03:09 AM 編輯 ]

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回復 24# tsusy 的帖子

想請教轉彎那題p值怎麼思考得到,以及E(X)=17p是二項分配期望值的算法嗎?思緒疑惑繞不太出去...
先謝謝了。

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回復 43# 瓜農自足 的帖子

提供一下另解

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個,其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16,8) 種排法
同理,"↑→" 亦同
所求 = [C(16,8) * 17 * 2]/C(18,9) = 9

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-9-19 12:59 PM 編輯 ]

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回復 43# 瓜農自足 的帖子

不是二項分配,但算法一樣。

二項分配是"獨立"且相同分布的白努力隨機變數相加

而99高雄高中那題,則是"非獨立"且相同分布白努力隨機變數相加

回復 44# thepiano 的帖子
thepiano 兄的另解真酷,竟然走了 Fubini 定理的路子!
文不成,武不就

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回復 45# tsusy 的帖子

p值還是揣測不出來,想說以Fubini 定理思考,卻也卡關了,想請教如何分類出機率值\( \displaystyle \frac{C(16,8) *17*2}{C(18,9)}=1\times{P(X=1)}+2\times{P(X=2)}+3\times{P(X=3)}+...+ 17\times{P(X=17)} \)
或是說怎麼思考理解左式分子計數了2次\(n(X=2)\)
謝謝!(好笨一直理不清@@)

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 06:01 PM 編輯 ]

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回復 46# 瓜農自足 的帖子

以下用符號的方式來解釋,不過顯然沒有比 thepiano 老師的文字說明還要清楚,只是單純賣弄一下符號而已

以 \( \omega \) 表示一個樣本點(一條捷徑), \( n(\omega) = \sum \chi_i(\omega) \)

其中 \( \chi_i \) 為表示第 i 到 i+1 是否有轉彎的函數,有為 1,無為 0。

期望值 \( \sum n(\omega) P(\omega) = \frac{1}{C^{18}_9}\sum n(\omega) = \displaystyle \frac{1}{C^{18}_9} \sum_\omega \sum_i \chi_i(\omega)\)

交換兩個 \( \sum \) 的順序,就得到 thepiano 老師的式子

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-9-21 10:32 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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回復 47# tsusy 的帖子

原來如此,非常謝謝寸絲師撥冗解決我的疑惑!
十分欽佩。

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 08:57 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-9-19 12:18 PM 發表
提供一下另解

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個,其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16,8) 種排法
同理,"↑→" 亦同
所求 = [C(16,8) * 17 ...
理解成:
每一個走完 "→↑"(或 "↑→")後,單一個點 E(X)=p=C(16,8) /C(18,9)

不知是否正確?

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回復 49# mathca 的帖子

沒有用到走"完"、"後",走了之後就變成條件機率,後面的期望值就改變了,這樣會很難算 (還是我誤解你的文字了)

用到的是期望值的線性性質,以 # 47 的記號來說,就是

\( E[n] = E[ \sum \chi_i ] = \sum E[\chi_i] = 17 E[\chi_1] = 17 \cdot \frac{2\times C^{16}_8}{C^{18}_9} \)
(忘了乘2,補上去)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-12-20 08:13 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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