微積分考蠻多的...

4.
設A=214−1 ，二階方陣X、Y滿足X+Y=I且XY=O，其中I=1001 、O=0000 。若存在實數ab使得A=aX+bY，則ab之值為　　　。
[速解]
計算矩陣A特徵值， 2−14−1−=0，=3−2
因為ab，取a=3b=−2，ab=91
原理請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

7.
設n為正奇數，黑箱中有n枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為74，則正奇數n=　　　。

有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？
(1)21　(2)41　(3)72　(4)61　(5)71
97研究用試卷，https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html

16.
已知一四邊形的紙張ABCD，其中A=C=90 ，AD=10，CD=5。沿著BD摺起平面ABD，使得點A在平面BCD的投影點P落在BC上，若摺起後四面體ABCD的體積為20，則摺起後點B到平面ACD的距離為　　　。

二、計算證明題
1.
設數列an的遞迴關係式為a1=13an+1=sin(an)，nN ，
(1)請說明an是否為有界數列？
(2)請判斷an是否為遞增數列或遞減數列？請證明之。

2.
在坐標平面上，設點O為原點，已知橢圓：x2a2+b2y2=1，其中ab0。若PQ為橢圓上任意兩點，試求\Delta OPQ面積之最大值。

請教第3、7題

3.
設雙曲線\Gamma：\displaystyle \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{240}=1的焦點為F、F'，中心為O，若P為雙曲線\Gamma上的一動點，則滿足\angle FPF'為鈍角且\overline{OP}長度為正整數的動點P共有　　　種可能性。
[解答]
根據鈍角三角形的條件
可以得知\left\{ \begin{array}{LL} x^2+14x-480<0 \\ x>10 \end{array} \right.

即\displaystyle 10<x<16
再根據中線定理求出\displaystyle \overline{OP}^2=(x+7)^2-240
由\displaystyle 10<x<16 求出 \displaystyle 49<\overline{OP}^2<289 \Rightarrow \overline{OP}=7,8,\cdots 16
共9個點滿足條件

四個象限共36個點

7.
設n為正奇數，黑箱中有n枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為\displaystyle \frac{4}{7}，則正奇數n=　　　。
[解答]
以下ABC分別表示 雙人頭，雙文字，一人頭一文字

2人頭1文字: 有ACB，ACC，CCB，CCC四種情形
機率:

ACB:\displaystyle \frac{3}{n(n-1)}

ACC:\displaystyle \frac{3(n-3)}{2n(n-1)}

CCB:\displaystyle \frac{3(n-3)}{4n(n-1)}

CCC:\displaystyle \frac{3(n-3)(n-4)}{8n(n-1)}

滿足題意的情況為ACB，CCC這兩種

所以列式可得
\displaystyle \frac{3+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}{3+\frac{9}{4}(n-3)+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}=\frac{4}{7}

解出n=11 ( n=4不合)

謝謝老師解惑，再請教第13題

填充13.
已知三角形ABC的重心為點G，且\overline{GC}=7，\overline{GC}=3，若點G至直線BC的距離為2，則\overline{GA}之長為　　　。
[解答]
令 D 為 G 在直線 BC 上的投影點
由畢氏定理，可得 \overline{BD} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} , \overline{CD} = \sqrt{5}
故 \overline{BC} = 3\sqrt{5} \pm \sqrt{5}
延長 AG 至 AA' ，並使 G 為 \overline{AA'} 中點，可得 BGCA' 為平行四邊形。

令 \theta = \angle BGC

(1) 若   \overline{BC} = 4\sqrt{5} ，
\Delta BGC 中，由餘弦定理可得 \cos\theta=\frac{9+49-80}{42}=\frac{-22}{42}
\Delta GCA' 中，由餘弦定理可得 \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 36
\Rightarrow \overline{GA'} = 6

(2) 若   \overline{BC} = 2\sqrt{5} ，
\Delta BGC 中，由餘弦定理可得 \cos\theta=\frac{9+49-20}{42}=\frac{38}{42}
\Delta GCA' 中，由餘弦定理可得 \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 96
\Rightarrow \overline{GA'} = 4 \sqrt{6}

謝謝老師解惑

參考參考

Screenshot from 2023-07-18 17-28-29.png (86.16 KB)

2023-7-18 17:32

請教填充9,12,14，謝謝