第二題詳解寫錯歡迎指正(更新版)

可不可以寫第三題的詳解感溫

第6題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:39 AM 編輯 ]

第7題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:41 AM 編輯 ]

第9題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:43 AM 編輯 ]

第 3 題

解答：

令 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n+ C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A+B\sqrt{7}\) ，其中 \(A,B\) 為整數，

則 \(\displaystyle \left(3-\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n- C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ \left(-1\right)^n C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A-B\sqrt{7},\)


\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n+\left(3-\sqrt{7}\right)^n=2A\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n=\left(2A-1\right)+\left[1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n\right]\)

又因為 \(\displaystyle 0<3-\sqrt{7}<1\Rightarrow 0<\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\Rightarrow 0<1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\)

所以 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為 \(2A-1\)，小數部分為 \(\displaystyle 1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n.\)

故，\(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為奇數。

引用:

原帖由 nanpolend 於 2011-5-20 12:47 PM 發表
第二題詳解寫錯歡迎指正

第二行就錯了
-pi<x<pi且x不等於0
故sinx屬於[-1,0)U(0,1]

第二題詳解寫錯
已更正

請問第4題和第5題怎麼寫呢？
還有，第9題只能用算數平均數大於幾何平均數嗎？可以用數學歸納法嗎？有試著用數學歸納法證第9題，但是沒證出來。

第 4 題：

因為 \(x\) 為實數，

必存整數 \(m\)，使得 \(2m\leq x<2m+1\) 或 \(2m+1\leq x<2m+2\)

case i: 若 \(2m\leq x<2m+1\)，則 \([x]=2m\)

　　　　且 \(\displaystyle m\leq\frac{x}{2}<m+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x+1}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

case ii: 若 \(2m+1\leq x<2m+2\)，則 \([x]=2m+1\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+1\leq\frac{x+1}{2}<m+1+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m+1\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

由 case i & ii 可得 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x].\)