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[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-7-2 10:55 PM 編輯 ]

計算題
3.請將\( \displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+5 \root 3 \of 2+1} \)有理化。
(答案以\( a+b \root 3 \of 2+c \root 3 \of 4 \))表示，其中\( a,b,c \in Q \)。
[解答]
令\( x=\root 3 \of 2 \)，\( x^3=2 \)
原式=\( \displaystyle \frac{1}{x^2+5x+1}=\frac{8x^2-x+3}{(x^2+5x+1)(8x^2-x+3)}=

\frac{8x^2-x+3}{8x^4+39x^3-16x-3}=\frac{8x^2-x+3}{8 \times 2 x+39 \times 2-16x-3}=\frac{8 \root 3 \of 4-\root 3 \of 2-3}{75} \)
我要承認我是從答案看出來要同乘\( 8x^2-x+3 \)

10.4.17補充，看這個ID之前發問的文章應該是台灣人
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=345495


5.若\( a_{n}=\left| \matrix{
n & n+1 & 0 \cr
n+2 & n+1 & n+2 \cr
n+2 & 0 & n+2}\right| \)，\( \forall n \in N \)，求\( \displaystyle \lim_{m\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}} \)。
[提示]
\( a_{n}=\left| \matrix{n & n+1 & 0 \cr 2 & 0 & n+2 \cr n+2 & 0 & n+2}\right|=
\left| \matrix{n & n+1 & 0 \cr 2 & 0 & n+2 \cr n & 0 & 0}\right|=n(n+1)(n+2)
\)



證明題
3.證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \geq 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)。
[提示]
\( \displaystyle \frac{1+3+3^{2}+...+3^{n-1}}{n}>\root{n}\of{1 \times 3 \times 3^2 \times ... \times 3^{n-1}} \)
補充一題
設\( n\in N \)，\( n>1 \)，試證\( \displaystyle C^{n}_{1}+C^{n}_{2}+...+C^{n}_{n}>n \sqrt{2^{n-1}} \)
高中數學競賽教程P159
http://jflaith.myweb.hinet.net/ra/RA560.pdf

101.2.1補充
試證\( \displaystyle 5^n \geq 1+4n \sqrt{5^{n-1}} \)對於所有的n為自然數皆成立
(100台中二中，https://math.pro/db/thread-1116-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-2-1 05:17 PM 編輯 ]

計算題第2題.

若有一組數據為 \(x_1,x_2,\cdots, x_n\)，已知算數平均數 \(\overline{x}=0\)，標準差 \(S=1\)，若加入一個新數據 \(x_{n+1}\)，求新的標準差為？
（標準差公式 \(\displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}\)）

解：
\[S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}{n-1}-\frac{n}{n-1}\overline{x}^2}\]
\[\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 = \left(n-1\right)S^2 - n \overline{x}^2.\]

因此， \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 = \left(n-1\right)\cdot1^2-n\cdot0=n-1\)，  \(\Rightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2 = n+1 + x_{n+1}^2.\)

\[\mbox{新的標準差} = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2}{n}-\frac{n-1}{n}\left(\frac{n\cdot 0+x_{n+1}}{n+1}\right)^2}\]
\[= \sqrt{\frac{n-1+x_{i+1}^2}{n}-\frac{n-1}{n}\left(\frac{x_{n+1}}{n+1}\right)^2}\]
\[= \sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{x_{n+1}^2}{n+1}}.\]

計算題第 8 題.

設 \(F(n)\) 表示整數 \(n\) 之各位數字中偶數的和，例如：\(F(1234)=2+4=6\)，試問

\(F(1)+F(2)+\cdots+F(1000)\) 之值。

解：

\(F(1000)=0+0+0=0\)，設某介於 \(1\) 至 \(999\) 的數字用十進位表示法為 \(A B C\)，

出現在個位數字的的所有偶數只可能為 \(0,2,4,6,8\)，

對所有個位數為偶數 \(C\) 的數字 \(ABC\)，把 \(ABC\) 當中扣除 \(C\) 不寫，

剛好 \(AB\) 可以由 \(00\) 寫至 \(99\)，共 \(100\) 組，

所以，由 \(1\) 寫至 \(999\) 時，出現在 \(C\) 位置的所有偶數和為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\).



同理，由 \(1\) 寫至 \(999\) 時，出現在十位數字(\(B\) 位置)的所有偶數總和為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\)，

且由 \(1\) 寫至 \(999\) 時，出現在百位數字(\(A\) 位置)的所有偶數總和亦為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\)，



故，由 \(1\) 寫至 \(1000\) 時，所有書寫過的偶數的累加起來和為 \(2000+2000+2000 = 6000\).


Note:  \(0\) 有沒有累加都一樣，所以只算 \(2,4,6,8\) 的總和就好.

計算題第4題. 解：
先求出此拋物線上半葉與 \(x=n\) 的交點坐標為 \((n,\sqrt{n^2+1})\)，

再求點 \((n, \sqrt{n^2+1})\)到此拋物線的漸近線 \(y-x=0\)的距離，得
\[ d_n = \frac{\left| \sqrt{n^2+1} -n \right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}} = \frac{( \sqrt{n^2+1} - n )(\sqrt{n^2+1} +n)}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1} +n )} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1} +n )}\]

而得，

\[\lim\limits_{n\to\infty} n\cdot d_n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1}+n)} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^2+1}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\]



近似值為 \(0.35\).

證明題第1題.

試利用數學歸納法證明 \(\forall n\in N\)，\(P^{2n}_{n}\) 恆為 \(2^n\) 的倍數，其中 \(\displaystyle P^n_m=\frac{n!}{m!},\,n,m\in N.\)

證明：

一、當 \(n=1\) 時，\(P^2_1=2\) 為 \(2^1\) 的倍數.

二、假設當 \(n=k,\,k\in N\) 時，\(P^{2k}_{k}=2^k\cdot m\)，其中 \(m\) 為整數.

　　則，當 \(n=k+1\) 時，

\[P^{2\left(k+1\right)}_{k+1}=\left(2k+2\right)\cdot\left(2k+1\right)\cdot 2k \cdots \left(k+2\right)\]
\[=2\cdot\left(2k+1\right)\cdot 2k \cdots \left(k+2\right)\left(k+1\right)\]
\[=2\cdot\left(2k+1\right)\cdot P^{2k}_{k}=2^{k+1}\cdot m\cdot\left(2k+1\right)\]

　　亦為 \(2^{k+1}\) 的倍數.

由一、二，及數學歸納法原理，可得 \(\forall n\in N\)，\(P^{2n}_{n}\) 恆為 \(2^n\) 的倍數.

假設同上
take \(\frac{1 }{ { x}^{ 2} +5x+1 } =a+bx+c { x}^{2 } \)

\(\Rightarrow (x^{2}+5x+1)(a+bx+cx^{2})=1\)

\(\Rightarrow (a+5b+c)x^{2}+(2c+5a+b)x+2b+10c+a=1 \)
比較係數
\(a+5b+c=0\)
\(2c+5a+b=0\)
\(2b+10c+a=1\)
解聯立方程
\(\left[_{9c-3b=1}^{c=-8b}\right]\)
得解
\(b=\frac{-1}{75} ,c=\frac{8}{75} ,a=\frac{-3}{75}\)

1.請問有人會第七題嗎???
2.最後一題證明.我證到一半就做不下去了.能幫我看一下嗎?
   當n=k+1時.3^(k+1)>=3+6k*根號3^(k-1)=1+2+2(根號3)*k*根號3^k.....之後就不知該怎麼做了~~~
謝謝~~~

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2009-6-26 03:09 PM 編輯 ]

第七題:
假設\( t \)秒後水深\( x \)公分
由相似形知道此時水面圓半徑為 \( \displaystyle \frac{1}{5}x \)
體積為 \( \displaystyle \frac{1}{3} \times \pi (\frac{1}{5}x)^2 \times x=\frac{\pi x^3}{75}=5t \)
兩邊對\( t \)微分得到\( \displaystyle \frac{\pi x^2}{25} \frac{dx}{dt}=5 \)
\( \displaystyle \frac{dx}{dt} \bracevert_{x=10} =\frac{125\pi}{100}=\frac{5\pi}{4} \)

最後一題，我本來也是用歸納法，在看到bugmens的提示後，真是佩服啊!!
既然你已經到
\( \displaystyle 3^{k+1} \geq 1+2\sqrt3 k \sqrt{3^k} \)
目標是\( \displaystyle 1+2(k+1) \sqrt{3^k} \)
所以只要\( \displaystyle \sqrt3 k \geq k+1 \)就好
如果成立\( \displaystyle k \geq \frac{\sqrt3-1}{2} \)
所以在\( k>2 \)的時候命題成立

順便PO一下我對第3題的作法
一樣令\( x=\sqrt[3]{2} \)
\( \displaystyle 2=x^3=(x^2+5x+1)(x-5)+24x+5 \)
\( \displaystyle \frac{1}{x^2+5x+1}=\frac{x-5}{-3(8x+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{(x-5)(64x^2-8x+1)}{-3(8x+1)(64x^2-8x+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{64x^3-328x^2+41x-5}{-3(512x^3+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{-328x^2+41x+123}{-3075} \)
\( \displaystyle =\frac{8}{75}x^2-\frac{1}{75}x-\frac{1}{25} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-26 04:18 PM 編輯 ]