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[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-7-2 10:55 PM 編輯 ]

計算題
3.請將134+532+1有理化。
(答案以a+b32+c34 )表示，其中abcQ。
[解答]
令x=32 ，x3=2
原式=1x2+5x+1=8x2−x+3(x2+5x+1)(8x2−x+3)=8x2−x+38x4+39x3−16x−3=8x2−x+382x+392−16x−3=75834−32−3 
我要承認我是從答案看出來要同乘8x2−x+3

10.4.17補充，看這個ID之前發問的文章應該是台灣人
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=345495


5.若an=nn+2n+2n+1n+100n+2n+2，nN，求limmnk=11ak 。
[提示]
an=n2n+2n+1000n+2n+2=n2nn+1000n+20=n(n+1)(n+2)



證明題
3.證明：nN，3n1+2n3n−1 。
[提示]
n1+3+32++3n−1n13323n−1 
補充一題
設nN，n1，試證C1n+C2n++Cnnn2n−1 
高中數學競賽教程P159
http://jflaith.myweb.hinet.net/ra/RA560.pdf

101.2.1補充
試證5n1+4n5n−1 對於所有的n為自然數皆成立
(100台中二中，https://math.pro/db/thread-1116-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-2-1 05:17 PM 編輯 ]

計算題第2題.

若有一組數據為 x1x2xn，已知算數平均數 x=0，標準差 S=1，若加入一個新數據 xn+1，求新的標準差為？
（標準差公式 S=1n−1ni=1xi−x2）

解：

S=1n−1ni=1xi−x2=ni=1xi2n−1−nn−1x2

ni=1xi2=n−1S2−nx2 

因此， ni=1xi2=n−112−n0=n−1 ，  n+1i=1xi2=n+1+x2n+1 

新的標準差=nn+1i=1xi2−nn−1n+1n0+xn+12 

=nn−1+x2i+1−nn−1xn+1n+12 

=1−n1+x2n+1n+1 

計算題第 8 題.

設 F(n) 表示整數 n 之各位數字中偶數的和，例如：F(1234)=2+4=6，試問

F(1)+F(2)+\cdots+F(1000) 之值。

解：

F(1000)=0+0+0=0，設某介於 1 至 999 的數字用十進位表示法為 A B C，

出現在個位數字的的所有偶數只可能為 0,2,4,6,8，

對所有個位數為偶數 C 的數字 ABC，把 ABC 當中扣除 C 不寫，

剛好 AB 可以由 00 寫至 99，共 100 組，

所以，由 1 寫至 999 時，出現在 C 位置的所有偶數和為 (2+4+6+8)\cdot 100 = 2000.



同理，由 1 寫至 999 時，出現在十位數字(B 位置)的所有偶數總和為 (2+4+6+8)\cdot 100 = 2000，

且由 1 寫至 999 時，出現在百位數字(A 位置)的所有偶數總和亦為 (2+4+6+8)\cdot 100 = 2000，



故，由 1 寫至 1000 時，所有書寫過的偶數的累加起來和為 2000+2000+2000 = 6000.


Note:  0 有沒有累加都一樣，所以只算 2,4,6,8 的總和就好.

計算題第4題. 解：
先求出此拋物線上半葉與 x=n 的交點坐標為 (n,\sqrt{n^2+1})，

再求點 (n, \sqrt{n^2+1})到此拋物線的漸近線 y-x=0的距離，得

d_n = \frac{\left| \sqrt{n^2+1} -n \right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}} = \frac{( \sqrt{n^2+1} - n )(\sqrt{n^2+1} +n)}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1} +n )} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1} +n )}

而得，

\lim\limits_{n\to\infty} n\cdot d_n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{2}(\sqrt{n^2+1}+n)} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^2+1}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}

近似值為 0.35.

證明題第1題.

試利用數學歸納法證明 \forall n\in N，P^{2n}_{n} 恆為 2^n 的倍數，其中 \displaystyle P^n_m=\frac{n!}{m!},\,n,m\in N.

證明：

一、當 n=1 時，P^2_1=2 為 2^1 的倍數.

二、假設當 n=k,\,k\in N 時，P^{2k}_{k}=2^k\cdot m，其中 m 為整數.

　　則，當 n=k+1 時，

P^{2\left(k+1\right)}_{k+1}=\left(2k+2\right)\cdot\left(2k+1\right)\cdot 2k \cdots \left(k+2\right)

=2\cdot\left(2k+1\right)\cdot 2k \cdots \left(k+2\right)\left(k+1\right)

=2\cdot\left(2k+1\right)\cdot P^{2k}_{k}=2^{k+1}\cdot m\cdot\left(2k+1\right)

　　亦為 2^{k+1} 的倍數.

由一、二，及數學歸納法原理，可得 \forall n\in N，P^{2n}_{n} 恆為 2^n 的倍數.

假設同上
take \frac{1 }{ { x}^{ 2} +5x+1 } =a+bx+c { x}^{2 }

\Rightarrow (x^{2}+5x+1)(a+bx+cx^{2})=1

\Rightarrow (a+5b+c)x^{2}+(2c+5a+b)x+2b+10c+a=1
比較係數
a+5b+c=0
2c+5a+b=0
2b+10c+a=1
解聯立方程
\left[_{9c-3b=1}^{c=-8b}\right]
得解
b=\frac{-1}{75} ,c=\frac{8}{75} ,a=\frac{-3}{75}

1.請問有人會第七題嗎???
2.最後一題證明.我證到一半就做不下去了.能幫我看一下嗎?
   當n=k+1時.3^(k+1)>=3+6k*根號3^(k-1)=1+2+2(根號3)*k*根號3^k.....之後就不知該怎麼做了~~~
謝謝~~~

[ 本帖最後由 idontnow90 於 2009-6-26 03:09 PM 編輯 ]

第七題:
假設 t 秒後水深 x 公分
由相似形知道此時水面圓半徑為 \displaystyle \frac{1}{5}x
體積為 \displaystyle \frac{1}{3} \times \pi (\frac{1}{5}x)^2 \times x=\frac{\pi x^3}{75}=5t
兩邊對 t 微分得到 \displaystyle \frac{\pi x^2}{25} \frac{dx}{dt}=5
\displaystyle \frac{dx}{dt} \bracevert_{x=10} =\frac{125\pi}{100}=\frac{5\pi}{4}

最後一題，我本來也是用歸納法，在看到bugmens的提示後，真是佩服啊!!
既然你已經到
\displaystyle 3^{k+1} \geq 1+2\sqrt3 k \sqrt{3^k}
目標是 \displaystyle 1+2(k+1) \sqrt{3^k}
所以只要 \displaystyle \sqrt3 k \geq k+1 就好
如果成立 \displaystyle k \geq \frac{\sqrt3-1}{2}
所以在 k>2 的時候命題成立

順便PO一下我對第3題的作法
一樣令 x=\sqrt[3]{2}
\displaystyle 2=x^3=(x^2+5x+1)(x-5)+24x+5
\displaystyle \frac{1}{x^2+5x+1}=\frac{x-5}{-3(8x+1)}
\displaystyle =\frac{(x-5)(64x^2-8x+1)}{-3(8x+1)(64x^2-8x+1)}
\displaystyle =\frac{64x^3-328x^2+41x-5}{-3(512x^3+1)}
\displaystyle =\frac{-328x^2+41x+123}{-3075}
\displaystyle =\frac{8}{75}x^2-\frac{1}{75}x-\frac{1}{25}

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-26 04:18 PM 編輯 ]