99高中數學能力競賽

求\( x^2+3xy+194(x+y)+97^2=0 \)的所有整數解(x,y)

100.10.1版主補充
補上完整的題目並更改文章標題

98高中數學能力競賽
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97高中數學能力競賽
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

100.11.2補充
99學年度高級中學數學科能力競賽決賽
連結已失效h ttp://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/index.php

題目：求 \(x^2+3xy+194(x+y)+97^2=0\) 的所有整數解 \((x,y)\) 。

※　原題目有 \(=0\)。

解答：

\(x^2+3xy+2\times97(x+y)+97^2=0\)

先利用雙十字交乘法（先不考慮常數項，找出分解後 \(x,y\) 的係數，然後再調整適當的常數項）分解成如下：

\(\displaystyle\Rightarrow \left(x+97\times\frac{2}{3}\right)\left(x+3y+97\times\frac{4}{3}\right)=-97^2+97^2\times\frac{8}{9}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \left(3x+97\times2\right)\left(3x+9y+97\times4\right)=-97^2\)

因為 \(x,y\) 為整數，所以左邊的兩個括弧都是整數，

因為 \(97\) 是質數，所以右邊的 \(-97^2\) 分解成兩整數相乘只有六種可能性，

分成六種情況解聯立方程式，可得有三組是 \(x,y\) 兩者都是整數解的，

也就是 \((x,y)=(-97,0), (-65,1024)\) 或 \((-3201,1024).\)



註：感謝老王老師於後方回覆中提醒我漏算的兩組！

我懂了~謝謝瑋岳老師的指教

還有(-65,1024)和(-3201,1024)

感謝，馬上修改＆加上漏掉的兩組！^__^

若二實數a與b滿足\( a^3-3ab^2=18 \)與\( 3a^2 b-b^3=26 \)，則\( a^2+b^2 \)之值為？

Let \( a,b \in R \) s.t. \( a^3-3ab^2=29 \) and \( b^3-3a^2 b=34 \). Compute \( a^2+b^2 \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=253206


設數列\( {a_n} \)滿足，\( a_1=3 \)且\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \)，\( n=2,3,4,... \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i} \Bigg]\; \)之值為何？
([x]：表不大於x的最大整數)
(屏東區筆試二試題)
收錄到我的教甄準備之路　裂項相消
連結已失效h ttps://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
[提示]
\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \)　，　\( 2(a_{n+1}-2)=a_n(a_n-2) \)　，　\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{2}{a_n(a_n-2)} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_n} \)　，　\( \displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_{n+1}-2} \)

108.5.18補充
求\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\ldots\)之值。
(嘉義區複賽筆試二試題)


拋物線\( y=x^2 \)上的兩點P、Q，在P、Q兩點的切線設為\( L_1、L_2 \)，如果\( L_1、L_2 \)互相垂直，試證明：\( L_1 \)與\( L_2 \)的交點落在準線上。
台南區筆試二試題
其他類似題目
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html


104.7.5補充
已知\( \alpha>0 \)，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，求\( \alpha= \)？
(104新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html)


108.5.18補充
將長與寬分別為\(a,b(a>b)\)的長方形紙張\(ABCD\)沿著\(AC\)對摺，求對摺後的\(B\)點與\(D\)點的距離。
(嘉義區複賽筆試二試題)
對摺到同一平面上

將一塊邊長\(\overline{AB}=a\)公分\((a>0)\)、\(\overline{BC}=b\)公分\((b>0)\)的長方形鐵片\(ABCD\)沿對角線\(\overline{BD}\)對摺後豎立，使得平面\(ABD\)與平面\(CBD\)垂直，則\(A\)、\(C\)兩點(在空間)的距離\(\overline{AC}=\)　　　。
(107松山工農，https://math.pro/db/thread-2972-1-2.html\)
豎立成\(90^{\circ}\)

1. 設x,y,z,w 是四個不全為0的實數, 則(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值為______。Ans: [sqrt(2)+1]/2

2. 設甲乙丙三人共同負責12/1到12/10這10天中任意5天的工作，可以一人單獨值班，也可以兩人或三人一起值班，若
   確定甲單獨在12/1值班，而乙確定在12/10值班，則他們三人共有____ 不同的值班安排方式。  Ans:76832

第 1 題：

設 \(0\leq b\leq1, 0\leq c\leq1\)，

由算幾不等式，可得

\(x^2 + by^2 \geq 2 \sqrt{b}\cdot xy\)

\((1-b)y^2+cz^2 \geq 2 \sqrt{(1-b)c}\cdot yz\)

\((1-c)z^2 + w^2 \geq 2 \sqrt{(1-c)}\cdot zw\)


取 \(b,c\) 滿足 \(\displaystyle\frac{\sqrt{b}}{1} = \frac{\sqrt{(1-b)c}}{2} = \frac{\sqrt{1-c}}{1}\)

\(\displaystyle\Rightarrow b=\frac{(1-b)c}{4}=1-c\)

解得 \(b=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2,c=2(\sqrt{2}-1)\)


將滿足此條件的 \(b,c\) 帶入最上方列的三個不等式，再將三式相加，可得

\(\displaystyle x^2+y^2+z^2+w^2\geq 2(\sqrt{2}-1)xy+4(\sqrt{2}-1)yz+2(\sqrt{2}-1)zw\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2}\leq\frac{1}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

ps. 這招是之前在某篇ＰＯ文裡看老王老師跟 bugmens 老師有用過的，但是一時忘了到底是哪一篇ＰＯ文。

第 2 題：

先從 12/2 到 12/9 這八天中選出另外要輪值的三天，取法有 \(C^8_3\) 種



12/1 甲單獨值班，只有一種排班法，



對於另外選出來的三天中的每一天，三人都可以「參加」或「不參加」值班，但不可以三人都不參加，

所以這三天的每一天都有 \(2^3-1=7\) 種輪值的方法，



12/10 已知乙一定要值班，另兩人可以選擇「參加」或「不參加」值班，因此這天有 \(1\times2\times2=4\) 種排班法，



因此，所求＝\(C^8_3\cdot1\cdot7^3\cdot4=76832\) 種。

\( x,y,z \)為正實數，則\( \displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2} \)的最小值為？
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)
(100臺北市陽明高中，https://math.pro/db/thread-1130-1-2.html)


設\( x,y,z,w \)是非零實數，求\( \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} \)的最大值
(奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值)