原來很多教甄試題就是以前大學聯考的題目，在這列舉幾題出來
在\(\Delta ABC\)的三邊\(\overline{BC}\),\(\overline{CA}\)及\(\overline{AB}\)上分別取點\(D,E,F\)，使\(\overline{BD}=\overline{DC}\),\(\overline{CE}=2\overline{EA}\),\(\overline{AF}=3\overline{FB}\)。設三直線\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)所圍成三角形的面積為\(\delta\)，而\(\Delta ABC\)的面積為\(\Delta\)。求\(\displaystyle \frac{\delta}{\Delta}=\)？
(69大學聯考試題)
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試證明：對於一切自然數\(n\)，\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\)，此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題)
這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048
如果\(\alpha,\beta,\gamma\)滿足\(cos \alpha+cos \beta+cos \gamma=0\)且\(sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=0\)，試證明：\(cos 2\alpha+cos 2\beta+cos 2\gamma=0\)且\(sin2 \alpha+sin 2\beta+sin 2\gamma=0\)
(71大學聯考試題)
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設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^{n} log_2 \Bigg[\; cos \frac{\pi}{2^k} \Bigg]\; \)，求證\(-1<S_n<0\)。
(72大學聯考試題)
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設\(a,b,c\)三數滿足\(\cases{a+b+c=4\cr a^2+b^2+c^2=12\cr a^3+b^3+c^3=28}\)，令\(f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\)。
若將\(f(x)\)表成\(x^3+lx^2+mx+n\)，則\(n=\)
，而方程式\(f(x)=0\)有一正無理根為
。
(77大學聯考試題)
\(\cases{a+b+c=4\cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=28}\)，且\(a>b>c\)，求\((a,b,c)\)。
(108華江高中代理，
https://math.pro/db/thread-3171-1-1.html)
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試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題)
證明\( \pi^{e}<e^{\pi} \)。
https://math.pro/db/thread-3420-1-1.html
111.6.3補充
\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。
(111彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html)
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將一實心地球儀浸入水中，令其北極朝上，而北緯\(30^{\circ}\)緯線恰與水面齊，則浮出水面部分之體積，佔全球體體積之
(註：赤道緯度為\(0^{\circ}\)，北極為北緯\(90^{\circ}\))。
(79大學聯考)
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設\(A\)、\(B\)二箱中，\(A\)箱內有兩球，一黑一白，\(B\)箱內有一白球。甲乙二人輪流取球，每次先由甲自\(A\)箱內任取一球，放入\(B\)箱內，再由乙自\(B\)箱內任取一球，放入\(A\)箱內，這樣稱為一局。那麼當第一局結束時，\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為
。當第三局結束時，\(A\)箱內兩球為一黑一白之機率為
。
(81大學聯考試題)
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105.4.26補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)
，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)
。
(81大學聯考試題)
[解答]
算術平均數\( \displaystyle =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n} \right)=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2} \)
標準差\( \displaystyle =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2-\overline{x}^2} \)
\( \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k-1}^n x_i^2=\frac{1}{n}\left[ \left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^2 \right]=\frac{1}{n^3}\left[1^2+2^2+\ldots+n^2 \right]=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}-\left( \frac{n+1}{2n} \right)^2}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2-1}{12n^2}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \)
\(a_n\)為\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)這\(n\)個數的標準差，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n\)之值
(105台南女中，
https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)
111.2.22補充
已知數值資料\(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\)，其中\(\displaystyle \frac{i}{n}\)有\((2i+1)\)個，\(i=1,2,3,\ldots,n\)，\(n\in N\)。設此資料算術平均數為\(\mu\)，母體標準差為\(\sigma\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=\)
。
(103桃園高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=2#pid10297)
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\( \overline{P_0 P_3} \)為半圓之直徑，\(P_1,P_2\)為半圓周上兩點。令\(a=\overline{P_0 P_1}\)，\(b=\overline{P_1 P_2}\)，\(c=\overline{P_2 P_3}\)，\(d=\overline{P_3 P_0}\)。試證\(d\)為方程式\(x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0\)之一根。
(81大學聯考試題)
\( \overline{AD} \)為半圓的直徑，且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \)，則\( \overline{AD}= \)？
(102松山工農，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874)
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袋中有六個乒乓球，分別編號為1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球，然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出（例如第一次抽中2號球，則將1號、2號、4號、6號四球皆取出），再進行下一次的抽取。試問最後一次抽取時，袋中只剩5號球的機率是多少？
(108大理高中，
https://math.pro/db/thread-3148-1-1.html)
89大學聯考試題-自然組
113.5.4補充
設\(a\)為一正數，曲線\(\sqrt{a}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)之圖形如下圖(一)。
(1)試求此曲線與\(x\)軸及\(y\)軸所圍成區域之面積。
(2)若過曲線上一點\(\displaystyle (\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)，作此曲線之切線，而與\(x\)軸、\(y\)軸分別交於\(X\)、\(Y\)兩點。試求\(\overline{OX}+\overline{OY}\)之值。
(89大學聯考自然組)
若過曲線\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)上一點\(\displaystyle P(\frac{a}{9},\frac{4a}{9})\)作切線，則此切線與兩坐標軸所圍成之三角形面積：
。
(98家齊女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)
