填充第 2 題：
設四次多項式\(f(x)=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\)，選取積分區間\(a\le x\le b\)，使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)達到最大值，請求出此最大值　　　？
[解答]
先看 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 與 \(x\) 軸的交點在哪裡，圖形長怎樣。

因式分解 \(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 得 \(-(x-2)(x-1)(x^2+1)\)

可知 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 的圖形

1. 當 \(x\) 在 \(1\) 到 \(2\) 之間時，圖形在 \(x\) 軸上方，

2. 當 \(x<1\) 或 \(x>2\) 時，圖形在 \(x\) 軸下方。

因此，取積分區間 \([1,2]\)

可得定積分之最大值為 \(\displaystyle\int_1^2\left(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\right)dx=\frac{11}{20}\)

填充第 3 題：
無窮級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+3+3^2+\ldots+3^n}{5^n}=\)　　　？
[解答]
\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別極限（如下）都存在

　　 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{9}{4}\)

　且 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{8}\)

所以，

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)=
\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{9}{4}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

亦即，所求 \(\displaystyle =\frac{17}{8}\)

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:18 AM 發表
填充第 5 題：

若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\) ...

謝謝瑋岳老師的詳解

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:58 AM 發表
填充第 3 題：

\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別 ...

謝謝瑋岳大的解題，感恩!

印象中，一些教師手冊裡會提到，如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正，則必收斂至穩態。

不過這個定理，的確很難證，以前讀過隨機過程的時候，是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。

其內容為：一個 \( n \) 階實方陣 \( A \)，若 \( A \) 的各元非負 (有時記作 \( A \geq 0 \) ) 且 \( A^k >0 \) (各元皆正)

則方陣 \( A \) 有一個特徵值 \( \lambda_{pf} \)，滿足
1. 其它特徵值 \( \lambda \) 皆滿足 \( |\lambda| < \lambda_{pf} \)
2. \( \lambda_{pf} \) 的代數重數為 1
3. \( \lambda_{pf}>0 \) ，且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正

套在轉移矩陣上，就是說 \( \lambda_{pf} =1 \)，且其特徵向量(穩態)各元皆正，其它特徵任之絕對值 \( <1 \)

對角化，計算 \( A^n \)，即得每一行皆收斂至穩態。

這件事讓我想到另一問題，也有同樣的結果

題. 已知 A 袋中有 3 個 10 元硬幣，B 袋中有 2 個 5 元硬幣，今從 A 袋任取一個硬幣放入 B 袋，再由 B 袋任取一個硬幣放入 A 袋。若進行的次數夠多，試問 A 袋中有 2 個 10 元硬幣和 1 個 5 元硬幣的機率會趨近何值？

答. \( \displaystyle \frac{3}{5} = \frac{C^3_2\cdot C^2_1}{C^5_3}\)。

這個答案同樣跟初始狀態無關，因為答案是穩態矩陣其中一元，而穩態只有轉移矩陣決定，與初始狀態無關。

有趣的是，即使我們稍微改一下玩戲規則，比如說，原本是先 A 後 B，我們可以改成先 B 後 A，或者一起拿出一個交換。

這時候，轉移矩陣改變了，但是仔細一做，會發現答案不變，穩態也不變。也就是說，在某類的交換規則下，穩態不只跟初始狀態無關，也跟交換規則無關！

但具體的限制條件是什麼？該怎麼描述，才夠充分？，又如何證明之！



寸絲的確是為了好玩在做數學的，即使是去年前年，在準備教甄的時候，也是這樣的態度。

這個問題也不是現在才思考，定理是讀書的時候學的，但後來也忘得差不多，只是依稀記得有這個定理在

準備考試時間，偶爾當當玩樂趣味，才查起了完整的定理名稱和條件，不過現在大概是證不出佩龍定理了吧

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-8 09:34 AM 發表
填充第 10 題：

將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。

謝謝瑋岳老師
不好意思今天才回覆

想請教一下第二部份的第4題
如果不用公式的話
是否有較方便的方法?
試過用假設直線方程式帶入方程式
不過最後判別式的時候就........

第二部分問答題第 4 題：
過點\((-2,2)\)且和橢圓方程式\(x^2+xy+y^2=1\)相切的直線方程式為？
丁同學的算式為：
過\((x_0,y_0)\)的二次曲線\(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)切線方程式為
\(\displaystyle ax_0x+b\left(\frac{y_0x+x_0y}{2}\right)+cy_0y+d\left(\frac{x+x_0}{2}\right)+e\left(\frac{y+y_0}{2}\right)+f=0\)
\((-2,2)\)代入公式得到\(\displaystyle -2x+\frac{2x-2y}{2}+2y=1\)，切線方程式為\(-x+y=1\)
[解答]
因為點 \((-2,2)\) 並不在橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。



丁同學可改用如下方式求切線：

假設過點 \((-2,2)\) 與橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 相切的切線斜率為 \(m\)，

則切線方程式為 \(y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)\)

將切線方程式帶入橢圓方程式，整理可得

\(\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

因為相切，所以 \(x\) 有重根，

可得 \(\left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow 2m^2+5m+2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow m=-2\) 或 \(\displaystyle m=-\frac{1}{2}\)

亦即，切線方程式為 \(\displaystyle y-2=-2\left(x+2\right)\) 或 \(\displaystyle y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\)

5.
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為　　公升？
其實weiye在2009年也解過一次了，https://math.pro/db/thread-845-1-10.html

或許可以改一下題目
甲瓶有1公升濃度100%酒，乙瓶和丙瓶各有1公升的水，按照上面的操作方式，最後甲瓶酒的濃度為多少？


6.
\( \overline{AD} \)為半圓的直徑，且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \)，則\( \overline{AD}= \)？

類題
\( \overline{P_0P_3} \)為半圓之直徑，\( P_1 \)、\( P_2 \)為半圓周上兩點。令\( a=\overline{P_0P_1} \)、\( b=\overline{P_1P_2} \)、\( c=\overline{P_2P_3} \)、\( d=\overline{P_0P_3} \)。試證d為方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)之一根。
(81大學聯考　自然組)

103.3.13補充
圓內接四邊形ABCD中，直徑\( \overline{BC}=13 \)、\( \overline{AB}=\overline{AD}=5 \)，求四邊形ABCD的面積
(101臺南女中數學成就測驗，http://www.tngs.tn.edu.tw/depart ... ing1.asp?Dir=10100\)

104.4.25補充
四邊形\( ABCD \)內接於一圓，且\( \overline{AB} \)為此圓的直徑，已知\( \overline{BC}=7 \)，\( \overline{CD}=\overline{DA}=3 \)，則直徑\( \overline{AB} \)之長。
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)


7.
設\( i=\sqrt{-1} \)，求\( (1+\sqrt{2}i)^{2013}+(1-\sqrt{2}i)^{2013} \)除以12的餘數為？

在這篇寸絲說這類題目可以用二項式定理或者用遞迴關係式
https://math.pro/db/thread-680-2-1.html
在這篇thepiano用遞迴關係式解出答案
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=3052#p9416
那你可以想看看，這題能不能用二項式定理解題，假如不能用也想看看為什麼不能用。


9.
\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^8 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^7+2^2 \cdot C_2^8 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^6+3^2 \cdot \cdot C_3^8 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^5+\ldots+8^2 \cdot C_8^8 \cdot (\frac{1}{5})^8 \)

\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^9+2^2 \cdot C_2^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^7+\ldots+10^2 \cdot C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
(98彰化女中，https://math.pro/db/thread-741-1-1.html)


問答4.
過點\( (-2,2) \)且和橢圓方程式\( x^2+xy+y^2=1 \)相切的直線方程式為？

將極線代入橢圓方程式求得切點坐標，再和\( (-2,2) \)求出切線方程式