排列組合題目，圓被半徑分成n個區域，相鄰塗異色

補充資料
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使用an−1+an=k(k−1)n−1解題
中一中　賴老師工作室
http://jflai.blogspot.com/2007/12/blog-post_7984.html

使用an+1=(k−2)an+(k−1)an−1解題
排列組合之塗色問題　台北縣立三民高中　楊建泰老師
101.4.10補充
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h ttp://blog.cshs.ntct.edu.tw/math/%e5%b0%88%e9%a1%8c%e7%a0%94%e7%a9%b6/

2011.6.11補充
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
(100玉井工商，https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

100.9.29補充
以O為圓心的圓上有n個相異點，依序為A1、A2、A3、…、An，此n個點將圓分割為A1OA2、A2OA3、A3OA4、…、AnOA1等n個扇形區域。在m種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有S(nm)，若S(n+2m)=pS(n+1m)+kS(nm)，求p−k=？
(98彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1296)

101.4.30補充
阿花參加著色比賽，主辦單位提供八種色筆，圖形為五格的圓形轉盤(如右圖，可以旋轉但不可以翻轉)，若規定顏色可以重複使用但是同色不可以相鄰，則阿花有種著色方式？
(RA628.swf)

投擲一顆公正六面骰子n次(各面為1,2,3,4,5,6點)，依序紀錄點數為x1x2x3…xn，設滿足(x1−x2)(x2−x3)(x3−x4)…(xn−1−xn)(xn−x1)=0的機率為Pn。求Pn+6Pn+1之值(以n表之)
(101台中一中，感謝Ellipse提供同色不相鄰的解法)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1334&page=1#pid5252

101.8.2補充
A-BCD為空間中的一正四面體，O為其中心，質點P可以在A、B、C、D、O中自由移動，而且規定從其中一點移動至另外一點稱為一步，若定義質點P從O點出發，最後又回到O點共走了n步的方法數為an，n2(例如a2=4 )，則a10=
(101文華高中代理，https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)
weiye提供的另解，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=2#pid7008

109.7.21補充
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色加以著色，相鄰的扇形顏色不同，則有　　　種著色方法。
(109文華高中代理，https://math.pro/db/thread-3368-1-1.html)

110.3.19補充
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(108嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)