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標題: 99北市中正高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2010-6-27 18:24 標題: 99北市中正高中

這也是我挖出來的
6月10日考試,6月25日才公佈

附件: 99北市中正高中.pdf (2024-6-20 19:41, 112.6 KB) / 該附件被下載次數 13429
https://math.pro/db/attachment.php?aid=256&k=246d48f22754e9853f9ce19e3b895b0a&t=1732485812

作者: bugmens 時間: 2010-6-27 20:09

填充題
4.已知\( \alpha、\beta \)是方程式\( x^2-(k+2)x+(k^2-3k+5)=0 \)的兩個實根，則\( \alpha^2+\beta^2 \)的最大值為？
解答可在桃園高中找到　https://math.pro/db/thread-980-1-1.html

8.方程組\( \displaystyle \cases{x^2+y^2+z^2=\frac{9}{4} \cr -8x+6y-24z=39} \)的解\( (x,y,z) \)為？
[提示]
\( (x^2+y^2+z^2)((-8)^2+6^2+(-24)^2) \ge (-8x+6y-24z)^2 \)等式成立

計算題
3.已知兩個同心圓，n邊形\( A_1,A_2,...,A_n \)為內圓的內接正n邊形，點P為外圓上任意一點，
求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為定值

設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，其外接圓的半徑等於1，點P為其外接圓上的任一點。
求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為一常數(即與P點在外接圓上的位置無關)
(高中數學競賽教程　P90，96中山大學雙週一題)
https://math.pro/db/thread-457-1-5.html

類似問題
設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，它的外接圓的中心為O，半徑為r，點P在\( \overline{OA_1} \)的延長線上。
求證：\( \overline{PA_1} \cdot \overline{PA_2} \cdot ... \cdot \overline{PA_n}=\overline{OP}^n-r^n \)。
(96基隆女中，高中數學競賽教程　P90)

這兩題都是用複數解題，請一併準備

作者: witz 時間: 2010-7-3 07:48

請教第九,十二,十三,十五題,謝謝!!
又第六題為何送分?

作者: iamcfg 時間: 2010-7-3 10:44 標題: 回復 3# witz 的帖子

9.  去討論兩隊在第幾輪遇到
ex  第一輪就遇到的賽程有8*7種
然後你還要乘上獲勝的機率
ex  要第二輪遇到  兩隊都得在第一輪獲勝  要在各乘上1/2

12. 兩個球心往平面投影  會是橢圓兩焦點
然後短軸半長會是6  在用畢氏定理算焦距

作者: 老王 時間: 2010-7-3 11:47

第六題
6.
若\(z+2i\)、\(z-2i\)的主幅角依次為\(50^{\circ}\)、\(320^{\circ}\)且\(|\;z+2i|\;=|\;z-2i|\;=1\)，則\(|\;z|\;=\)　　　(送分)
[解答]
\(\displaystyle z+2i=cos50^\circ+isin50^\circ \)

\(\displaystyle z-2i=cos320^\circ+isin320^\circ \)

兩式相減得到\( \displaystyle 4i=i(sin50^\circ-sin320^\circ) \)

這不可能

第十二題
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為　　　
[解答]
這需要一點圓錐截痕的觀念
平面和兩球面的切點是橢圓的兩焦點(當然，說是球心在平面的投影也沒錯，只是這樣離證明就遠了)
長軸長是兩球面的外公切線段長，在此就是兩球心距=13
短軸長顯然是圓柱的直徑=12

第十三題
在\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。若\(\angle A\)，\(\angle B\)，\(\angle C\)的大小成等比數列，且\(b^2-a^2=ac\)，則\(\angle B\)的弧度為　　　
[解答]
關於 \( b^2-a^2=ac \Rightarrow b^2=a(a+c) \) 這個條件的充要條件為 \( \angle B=2\angle C \) 這要記住有這麼回事
於是\( \angle A=2\angle B=4\angle C \)
得到\( \displaystyle \angle B=\frac{2\pi}{7} \)

第十五題
設\(1<x<4\)且\(x\ne 2\)、\(x\ne 3\)，令\(\displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}\)，當\(y\)有最小整數值時，則其對應的\(x\)之值為　　　
[解答]
沒啥好想法，通分吧
\( \displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}
=\frac{-4}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-3)(x-4)}
=\frac{-6}{(x-1)(x-4)} \)

於是有\( \displaystyle y(x^2-5x+4)+6=0 \)

令\( \displaystyle f(x)=y(x^2-5x+4)+6=y(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} y+6 \)

可以發現\( f(1)=f(4)=6>0 \)
所以只要頂點y坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \)就好

\( \displaystyle y\ge \frac{8}{3} \)

當\( y=3 \)時，代入得到\( x=2 or 3 \)，這部分不合；
當\( y=4 \)時，代入得到\( x=\frac{5 \pm \sqrt{3} }{2} \)，皆合，故為答案。

另外，第八題沒說要實數解，是否也該送分??

作者: 八神庵 時間: 2010-7-5 18:51

引用:

原帖由 iamcfg 於 2010-7-3 10:44 AM 發表
9.  去討論兩隊在第幾輪遇到
ex  第一輪就遇到的賽程有8*7種
然後你還要乘上獲勝的機率
ex  要第二輪遇到  兩隊都得在第一輪獲勝  要在各乘上1/2

關於這一題
我有一種想法
不知道能不能通用
八隊選兩隊出來打一場比賽是C(8,2).....這是分母
今日需要指定甲乙兩隊對打
在單敗淘汰的賽程表中
共有七個地方可供安插,故分子為7
於是機率就是1/4

作者: 八神庵 時間: 2010-7-5 18:57

引用:

原帖由老王於 2010-7-3 11:47 AM 發表
第六題
\(\displaystyle z+2i=cos50^\circ+isin50^\circ \)

\(\displaystyle z-2i=cos320^\circ+isin320^\circ \)

兩式相減得到\( \displaystyle 4i=i(sin50^\circ-sin320^\circ) \)

這不可能

這一題我覺得不是來解題的
是來讓我們看看到底題目怎麼包的,包的不只一個地方
除老王大講的這個以外
另有
1....|z+2i|=|z-2i|=1.....這包超大的,複平面上兩個圓x^2+(y-2)^2=1與x^2+(y+2)^2=1居然有交點?
2....只看|z+2i|=|z-2i|....這指的是實軸上的任意點從而z為實數,但z+2i+z-2i=cos50度+cos320度+i(sin50度+sin320度)
怎麼也無法除去i....與老王大的解釋有異曲同工之妙.....

作者: 八神庵 時間: 2010-7-6 20:07

關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)

作者: weiye 時間: 2010-7-6 20:51

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-7-6 08:07 PM 發表
關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)

計算第一題，

題目：有一題目如下：『有一半徑 \(20\) 公尺的半圓形釣蝦場，

想在上面蓋一 T 字型的木橋方便釣客垂釣(如圖 \(\overline{OM}\perp\overline{AB}\) )。

為使木橋總長 \(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大，求此時 \(\overline{OM}\) 的長度是多少?』

試問：該題在高一，高二，高三出現時，請您使用不同的解法來教導學生，請詳細說明您的解法。

解答：

令 \(\overline{AM}=x\)，\(\overline{OM}=y\) 且 \(2x+y=k\)，

則此題目要求 \(k\) 的最大值，

由 \(\overline{OA}^2=\overline{AM}^2+\overline{OM}^2\)，可得 \(x^2+y^2=400\)

\(\Rightarrow x^2+\left(2x-k\right)^2=400\)

\(\Rightarrow 5x^2-4kx+\left(k^2-400\right)=0\).......（＊）

因為 \(x\) 為實數，

所以由（＊）之判別式\(\geq0\)，

可得 \(-20\sqrt{5}\leq k\leq20\sqrt{5}\)

所以 \(k\) 有上界 \(20\sqrt{5}\)，

且當 \(k=20\sqrt{5}\) 時，將其帶入（＊）

可得 \(x=8\sqrt{5}, y=4\sqrt{5}\)

故當 \(\overline{OM}\) 長為 \(4\sqrt{5}\) 時，\(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大。

作者: Fermat 時間: 2010-7-9 18:15

我猜填6.題原意應是|z+2i|-|z-2i|=1吧？

另外今年台北市各高中教甄應該大都會公佈教甄考題吧
原因是因為今年某市立高中的地科教甄試題與某國立高中的教甄試題50題中有46題相同
導致後來教育局好像有要求各校公佈教甄試題
連從未公佈試題的建中也公佈了

作者: 八神庵 時間: 2010-7-9 18:41

引用:

原帖由 Fermat 於 2010-7-9 06:15 PM 發表
另外今年台北市各高中教甄應該大都會公佈教甄考題吧
原因是因為今年某市立高中的地科教甄試題與某國立高中的教甄試題50題中有46題相同
導致後來教育局好像有要求各校公佈教甄試題
連從未公佈試題的建中也公佈了

https://math.pro/db/thread-971-1-1.html
這間是那一間也都見報了
不過
並不是每校都有公佈,女中就沒公佈了

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-17 12:32

填充第9題的第6篇八神庵老師的" 共有七個地方可供安插,故分子為7 " , 請問7個地方怎麼數出來的?
另外 , 我想再請問填充第1 , 2 , 14 題 , 謝謝

作者: 八神庵 時間: 2010-9-17 16:02

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2010-9-17 12:32 PM 發表
填充第9題的第6篇八神庵老師的" 共有七個地方可供安插,故分子為7 " , 請問7個地方怎麼數出來的?

Ciao!(義大利文,您好之意,用途甚廣!)
關於填9
有甲、乙等8隊參加足球賽，比賽賽程如右表，採單敗淘汰制。假設這8隊的實力相當，試問整個賽程當中，甲隊和乙隊可能遭遇對打的機率為　　　
[解答]
您可自畫一個八隊的單敗淘汰賽程
就會發現有兩兩捉隊撕殺的狀況,底下四個,中間兩個,冠亞軍一個
就是七個啦

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-18 16:23

謝謝八神庵老師 , 懇請各位老師幫忙 , 填充第1 , 2 , 14 題 , 謝謝

作者: weiye 時間: 2010-9-18 22:40

第 1 題：設 \((x, y) = (a,b)\) 為方程式 \(3^{33} x + 2^{22} y =1\) 的整數解，若 \(b > 0\)，則\(b\div9\) 的餘數為_______。
[解答]

\[3^{33} a + 2^{22} b = 1\]

\[3^{33} a + 2^{22} b \equiv 1\pmod{9} \]

\[2^{22} b \equiv 1\pmod{9} \]

\[8^7\cdot2 b \equiv 1\pmod{9} \]

\[\left(-1\right)^7\cdot2 b \equiv 1\pmod{9} \]

\[\left(-2\right) b \equiv 1\pmod{9} \]

\[7 b \equiv 1\pmod{9} \]

偷偷找一下二元一次不定方程式 \(7x+9y=1\) 的一組解，

可得 \(7\cdot4+9\cdot\left(-3\right)=1\Rightarrow 7\cdot4\equiv1\pmod{9}\)

所以在 \(\pmod{9}\) 的餘數系統（Residue system）裡面 \(7\) 與 \(4\) 互為乘法反元素。

續接上面，可得

\[4\cdot7 b \equiv 4\cdot 1\pmod{9} \]

\[28 b \equiv 4\pmod{9} \]

\[1\cdot b\equiv4\pmod{9}\]

\[b\equiv4\pmod{9}.\]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=909&k=b8ac2ad7245d3c0ba5f284f39666edcc&t=1732485812

作者: weiye 時間: 2010-9-18 23:10

第 14 題：已知拋物線 \((x+1)^2=2py\,\left(p>0\right)\) 的焦點 \(F\)，\(A\) 是拋物線上縱坐標為 \(4\) 且在 \(y\) 軸左方的點，\(A\) 到拋物線準線的距離等於 \(5\)，過 \(A\) 作 \(x\) 軸的垂線，交 \(x\) 軸於 \(B\) 點， \(O\) 為原點，令 \(M\) 為 \(OB\) 中點，過 \(M\) 作 \(AF\) 的垂線交 \(AF\) 於 \(N\)，則 \(N\) 點坐標為_______。
[解答]

因為題目所給的拋物線開口向上且 \(A\) 到準線的距離等於 \(5\)

　　及 \(A\) 是拋物線上縱坐標為 \(4\) 的點，

可得準線為 \(y=-1\)，

因此，拋物線頂點 \((-1,0)\) 到準線的距離\(=1\)，

可得拋物線方程式為 \((x+1)^2=4y\)

所以，所有的點都可以找得出來坐標。

註：1. 感謝 mandy 於後方回覆提醒我一開始的題目有寫錯加減號！^__^

　　2. 因為又順手算了一遍，順便補上每個點的坐標如下：

　　　\(\displaystyle A(-5,4),\, B(-5,0),\, \mbox{原點}(0,0),\,M(\frac{-5}{2},0),\,F(-1,1),\, N(\frac{-37}{25}, \frac{34}{25}).\)

作者: kittyyaya 時間: 2010-9-19 14:50

感謝weiye老師的解說,第2題我看成比交點y軸了

作者: waitpub 時間: 2011-4-17 21:14

請問是否有老師知道計算第二題？我已算出r1，請問公比2-根號2是怎麼求出來的?

p.s.還是新手，數學輸入語法還不是很懂，請多包涵!

作者: weiye 時間: 2011-4-17 21:38

這些圓縮小時，半徑所成數列的公比，

會跟三角形縮小時，邊長的公比一樣，

或是要用 \(\displaystyle\frac{\overline{OC_1}}{\overline{OC}}\) 也一樣（其中，\(C\) 是 \(A_1\) 與 \(B_1\) 的中點）。

作者: dream10 時間: 2011-4-17 22:10

帥哥~~你打錯囉~~~C是A_1與B_1的中點吧

看上面的圖~~比一比就出來囉~~

作者: weiye 時間: 2011-4-17 22:40 標題: 回復 21# dream10 的帖子

感謝！我怎麼一直看錯小地方，真的是越來越老眼昏花了！＝＝

作者: dream10 時間: 2011-4-17 23:56

因為你一定心不在"馬"~~呵呵~~

作者: waitpub 時間: 2011-4-18 20:44 標題: 回復 20# weiye 的帖子

謝謝你!我懂怎麼算了。另外，可否請教一下計算第四題第二小題。
若假設四個交點落在
曲線\(3x^2+y^2-9+k(x^2-m-y)=0\)上，k要代哪個點求出來?

作者: weiye 時間: 2011-4-18 21:35

計算第四題第二小題，題目給的橢圓與拋物線都對稱於 \(y\) 軸，

所以由於對稱性的關係，此四個相異交點會形成等腰梯形（兩平行對邊會平行 \(x\) 軸），

也就是要證「等腰梯形的四個頂點會共圓」。

作者: waitpub 時間: 2011-4-19 18:42 標題: 回復 25# weiye 的帖子

OK!我了解了，謝謝你!

作者: casanova 時間: 2012-1-23 23:01 標題: 回復 5# 老王的帖子

這需要一點圓錐截痕的觀念
平面和兩球面的切點是橢圓的兩焦點(當然，說是球心在平面的投影也沒錯，只是這樣離證明就遠了)
長軸長是兩球面的外公切線段長，在此就是兩球心距=13
短軸長顯然是圓柱的直徑=12
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) 為什麼切點就是焦點呢？
(2) 為什麼外公切線長就是長軸長呢？
(3) 為什麼圓柱的直徑長顯然是短軸長呢？

能請給說明(或證明)嗎？
想了很久還是想不出來

作者: weiye 時間: 2012-1-24 11:28 標題: 回復 27# casanova 的帖子

google 找 Dandelin spheres 就可以得到許多附有圖解的證明！

前幾筆資料如下～

http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

http://clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html （這個還有動畫！！讚～）

http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

以上都有證明（說明）～：）

ps. 1. 或是翻教師手冊，通常也有 Dandelin spheres 的說明！：）

　 2. 相關考題：https://math.pro/db/thread-578-1-1.html

　　　　　　　 https://math.pro/db/thread-555-1-1.html

作者: mandy 時間: 2012-1-26 19:49

[quote]原帖由老王於 2010-7-3 11:47 AM 發表

我看圖還是看不出 "為什麼外公切線長就是長軸長呢？"

作者: mandy 時間: 2012-1-26 21:06 標題: 回復 5# 老王的帖子

請問第十三題:
為什麼\(b^2=a(a+c)\)就可得到\(\angle B=2\angle C\)?

作者: weiye 時間: 2012-1-26 21:44 標題: 回復 29# mandy 的帖子

會這樣問表示您可能還沒有弄懂上面 Dandelin spheres 的說明～

雖然上面連結中 Dandelin spheres 的說明是以圓錐為例，

但根據這題我改以圓柱為例好了（原理相同）。

先來一個觀念～球面外一定點往球所做的切線段長都相同～

因此下圖中，\(\overline{PB}=\overline{PF_2}\) 且 \(\overline{PA}=\overline{PF_1}\)，

所以 \(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{AB}\) 為定值！

此定值，即為橢圓的長軸長。

圖片附件: qq.png (2012-1-26 21:44, 19.04 KB) / 該附件被下載次數 5849
https://math.pro/db/attachment.php?aid=904&k=2554a90fd85c8b7140fbc914155ee56f&t=1732485812

作者: mandy 時間: 2012-1-26 21:49 標題: 回復 31# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師 !!

作者: mandy 時間: 2012-1-26 22:38

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-7-6 08:07 PM 發表
關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....) ...

請問微分法是如何做?

作者: mandy 時間: 2012-1-27 00:04

引用:

原帖由 weiye 於 2010-9-18 11:10 PM 發表
第 14 題：已知拋物線 \((x-1)^2=2py\,\left(p>0\right)\) 的焦點 \(F\)，\(A\) 是拋物線上縱坐標為 \(4\) 且在 \(y\) 軸左方的點，\(A\) 到拋物線準線的距離等於 \(5\)，過 \(A\) 作 \(x\) 軸的垂線，交 \(x\) 軸於 \(B\) 點 ...

我不知哪裡算錯, 我的答案 (-9/5 , 8/5) , 和答案不同 .
另題目是(x+1)^2=2py

作者: mandy 時間: 2012-1-27 00:36

引用:

原帖由 waitpub 於 2011-4-18 08:44 PM 發表
謝謝你!我懂怎麼算了。另外，可否請教一下計算第四題第二小題。
若假設四個交點落在
曲線\(3x^2+y^2-9+k(x^2-m-y)=0\)上，k要代哪個點求出來?

請問計算第四題第一小題如何做?

作者: weiye 時間: 2012-1-27 11:37 標題: 回復 34# mandy 的帖子

感謝您，我剛剛把那篇回覆的題目寫錯加減號的地方改正了，順便補上剛剛又算一次的各個點坐標，方便您交叉比對一下。：）

作者: weiye 時間: 2012-1-27 12:01 標題: 回復 35# mandy 的帖子

已知橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{9}=1\)與拋物線\(y=x^2-m\)有四個相異交點，
(1)求實數\(m\)的範圍
(2)求證：此四個交點共圓
[解答]
計算題第 4 題第一小題

\(y=x^2-m\) 帶入橢圓方程式

可得 \(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{(x^2-m)^2}{9}=0\)

\(\Rightarrow x^4+(3-2m)x^2+(m^2-9)=0\)

令 \(t=x^2\)，則

\(t^2+(3-2m)t+(m^2-9)=0\) 有兩相異正根（如此，\(x\) 才會有四個實根）

因此，兩根之和\(=-(2m-3)>0\)，兩根之積\(=m^2-9>0\)，判別式＞０，

可解得 \(m\) 的範圍為 \(\displaystyle 3<m<\frac{15}{4}.\)

作者: nanpolend 時間: 2012-1-29 06:14 標題: 回復 16# weiye 的帖子

補充圖形==畫圖畫不出來

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圖片附件: 99北市中正高中02-β.png (2012-1-29 06:14, 15.5 KB) / 該附件被下載次數 5710
https://math.pro/db/attachment.php?aid=907&k=30d2fbf6e45afaa23e680bf4723e77ba&t=1732485812

圖片附件: 99北市中正高中02-γ.png (2012-1-29 06:14, 17.67 KB) / 該附件被下載次數 5719
https://math.pro/db/attachment.php?aid=908&k=fcdcf65e5985157cd44ded104c8f39ec&t=1732485812

作者: nanpolend 時間: 2012-1-29 07:31 標題: 回復 37# weiye 的帖子

請教一下填充第三題解法

作者: weiye 時間: 2012-1-29 10:56 標題: 回復 38# nanpolend 的帖子

\(y=\left|\log_2 x\right|,\, y=\left|\log_3 x\right|,\, y=x,\, y=x^2 \) 四個函數圖形是全部畫在一起啦，

不要分開畫圖~~這樣才能比較交點與交點的相對位置呀！

我剛剛在之前的回覆補上四個畫在一起的函數圖形了，你可以參考看看。：）

作者: weiye 時間: 2012-1-29 11:01 標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

填充第三題，
求點\(P(-3,0,-1)\)到圖形\(\left[\matrix{1&1&1\cr 1&-1&-2\cr 2&0&-1}\right]\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{3\cr -1\cr 2}\right]\)的最短距離為　　　
[解答]
觀察後面那個三元一次聯立方程式的增廣矩陣，

可以發現第一列加第二列剛好等於第三列，

可以看的出來那是「直線的兩面式」，

所以本題是「空間中，求點到直線的距離」的題目，

可以先把兩面式化成參數式（寫成動點 \(Q\)），

然後寫出 \(\overline{PQ}\) ～再配方，即可求得定點 \(P\) 到動點 \(Q\) 的最短距離。

作者: nanpolend 時間: 2012-1-31 18:57 標題: 回復 41# weiye 的帖子

3.
求點\(P(-3,0,-1)\)到圖形\(\left[\matrix{1&1&1\cr 1&-1&-2\cr 2&0&-1}\right]\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{3\cr -1\cr 2}\right]\)的最短距離為　　　
[解答]
n1=(1,1,1)
n2=(1,-1,-2)
外積出方向向量l=(-1,3,-2)
令z=0,x=1,y=2
找出點(1,2,0)
x=1-t
y=2+3t , t 屬於R
z=0-2t
PQ^2=14t^2+21
hence PQ=sqr21

作者: nanpolend 時間: 2012-1-31 20:49 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

填充第7題
某校高一共有20個班，皆為常態編班，現欲調查全校高一第二次段考數學及格的比例，隨機抽樣2個班共100人，其中數學及格的有64人，則在95%的信心水準下，全校高一數學及格比例的信賴區間為　　　
[解答]
^p=0.64 ,n=100代入下面公式
+-區間0,096

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作者: nanpolend 時間: 2012-1-31 20:57 標題: 回復 43# nanpolend 的帖子

填充第八題除了可以用柯西解
也可用球到平面的觀念來解
半徑在切平面在球上
二平面重合
然後請教一下填充5和10的解題想法
感謝

作者: weiye 時間: 2012-1-31 22:41 標題: 回復 44# nanpolend 的帖子

填充第 10 題：
題目：設有 \(3\) 位男生， \(8\) 位女生圍一圓桌而坐，若任 \(2\) 位男生之間至少有 \(2\) 位女生，則共有_____種坐法。
[解答]
99台中二中教甄有考過，以下的過程說明請見 https://math.pro/db/thread-934-3-2.html

答案：\(\displaystyle \frac{3!}{3}\times H^3_{8-2\times 3}\times 8!=483840\)

作者: weiye 時間: 2012-1-31 23:01 標題: 回復 44# nanpolend 的帖子

填充第 5 題：
題目： \(9\) 粒種子分種在 \(3\) 個坑內，每坑 \(3\) 粒，每粒種子發芽的機率為 \(0.5\) 且發芽與否互不影響。若一個坑內至少有 \(1\) 粒種子發芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種。假定每個坑至多補種一次，補種 \(k\) 個坑所需費用為 \((20k^2 +10k )\) 元，則補種費用的期望值為______元
[解答]

任一坑需要補種的機率為 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

任一坑不需要補種的機率為 \(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{7}{8}\)

所求期望值＝\(\displaystyle C^3_0\left(\frac{7}{8}\right)^3\times 0+C^3_1\left(\frac{7}{8}\right)^2\left(\frac{1}{8}\right)\times(20\times1^2+10\times1)\)

　　　　　　　\(\displaystyle+C^3_2\left(\frac{7}{8}\right)\left(\frac{1}{8}\right)^2\times(20\times2^2+10\times2)+C^3_3\left(\frac{1}{8}\right)^3\times(20\times3^2+10\times3)\)

　　　　　\(\displaystyle=\frac{105}{8}\)

作者: maymay 時間: 2012-2-18 16:07 標題: 回復 5# 老王的帖子

第15題
可以發現\( f(1)=f(4)=6>0 \)
所以只要頂點y坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \)就好

可以解釋一下嗎?

作者: weiye 時間: 2012-2-18 19:54 標題: 回復 47# maymay 的帖子

因為 \(1<x<4\)，所以 \(\displaystyle y=\frac{-6}{(x-1)(x-4)}\) 恆正，

因此若橫軸為 \(x\)，縱軸畫 \(f(x)\) ，

可得 \( \displaystyle f(x)=y(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} y+6 \) 圖形為開口向上的拋物線（雖然我們只取 \(1<x<4\) 這一段），

因為 \( f(1)=f(4)=6>0 \)

所以，只要此拋物線頂點的縱坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \) 就可以保證 \(x\) 在 \(1\) 到 \(4\) 之間有實根。

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作者: 老王 時間: 2012-3-10 13:50

引用:

原帖由 mandy 於 2012-1-26 09:06 PM 發表
請問第十三題:
為什麼b^2=a(a+c) 就可得到角B=2角C ?

13.
在\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。若\(\angle A\)，\(\angle B\)，\(\angle C\)的大小成等比數列，且\(b^2-a^2=ac\)，則\(\angle B\)的弧度為　　　。
\(b^2=c(a+c)\)相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078
[提示]
如圖解釋

另外，也可以知道AC是圓BCD的切線。

113.5.8補充
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=960&k=cf1039ef38d7f178204d3d0365fb5b04&t=1732485812

作者: mathca 時間: 2015-12-31 09:28 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

請教計算證明第3題。
算到後來定值= n* ( 大圓半徑^2 + 小圓半徑^2 )，可否正確。
感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-31 11:33 標題: 回復 50# mathca 的帖子

正確

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