在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-5-26 02:34 PM 發表
在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積

所有切線形成的圖形為圓錐，

而 x^2+y^2+(z-1)^2=1 為此圓錐與 xy 平面的內切球，

所以，所有切線與 xy 平面的交點為橢圓（圓錐截痕）。




因為圖形對稱於 x=0 平面，所以先只看 yz 平面的圖形，

可以找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標，

其中點就是橢圓的中心點。





利用 Dandelin 定理（http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres ）

可知內切球與 xy 平面的切點，也就是原點 (0, 0, 0)，為此橢圓的其中一個焦點，

因此，配合第一小題所求得的中心點，可求得焦距，

再利用半長軸長，可以求得半短軸長，

故，橢圓面積可求。

內切球與 xy 平面的切點，也就是原點 (0, 0, 0)，為此橢圓的其中一個焦點
不好意思紅色部分我看不懂!

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-5-28 08:37 PM 發表
內切球與 xy 平面的切點，也就是原點 (0, 0, 0)，為此橢圓的其中一個焦點
不好意思紅色部分我看不懂!

那一句話就是 Dandelin 定理（http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres ）

或是你可以看這裡 http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html 的圖，會比較清楚。

圓錐內部的內切球，切到橢圓的那個切點，就是橢圓的其中一個焦點。

請問如何找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標呢?
是令切線y=m(z-2)+4代入y^2+(z-1)^2=1
利用D=0求出來的嗎?!

可以呀，

或是用圓心 (0, 1) 到切線 y=m(z-2)+4 的距離等於半徑 1，
（平面上，點到線的距離公式，）

也可以求得 m。