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標題: 例題:類似線性規劃求範圍 [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2006-7-23 00:41     標題: 例題:類似線性規劃求範圍

a,b,c,d為實數

a+b+c+d=6

a^2+b^2+c^2+d^2=12

求a的範圍
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代碼:
b+c+d=6-a (這是在 b-c-d 為三維軸上的平面)

b^2+c^2+d^2=12-a^2 (這是在 b-c-d 為三維軸上的球面)

以上兩曲面有交點,則球心(0,0,0)到平面的距離要小於半徑√(12-a^2)

是故

|0+0+0-(6-a)|
-------------≦√(12-a^2)
    √3

兩邊同時平方

a^2-12a+36≦36-3a^2

4a^2-12a≦0

0≦a≦3


當 a=3 最大值時 (a,b,c,d)=(3,1,1,1)

當 a=0 最小值時 (a,b,c,d)=(0,2,2,2)
另解,

利用柯西不等式:(b*1+c*1+d*1)^2≦(b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2) ,解 a 的範圍。
作者: bugmens    時間: 2010-7-8 19:43

補充類似問題
若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \),求\(e\)的最大值?
(高中數學競賽教程P195,93彰化女中,TRML2006個人賽都有這題)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17863 連結已失效
(99屏東女中,https://math.pro/db/thread-976-1-1.html)

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(96嘉義高工,h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23041 連結已失效)

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(97大里高中,h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052 連結已失效)

\( \cases{a+b+c+d=3 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5} \)求\(a\)的最大最小值?
(高中數學101 P355,高中數學101修訂版 P357)

已知\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=24 \)且\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k^2=64 \);若\( a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \)均為實數,則\( a_1 \)的最大值為?
(99師大附中,https://math.pro/db/thread-935-1-3.html)




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