一、填充題
1.
設數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_1=1\)，且對每個正整數\(k\ge 2\)，滿足\(5(a_1+a_1+\ldots+a_k)=(k+4)a_k\)，則\(a_{21}=\)　　　。

設數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_1=1\)，且對每個正整數\(k\ge 2\)，滿足\(5(a_1+a_1+\ldots+a_k)=(k+4)a_k\)，則\(a_{12}=\)　　　。
(2016TRML團體賽，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid17807)

3.
設\(n\)為正整數，定義\(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times 3\times 2\times 1\)。試問\(10!\times 9!\times 8!\times \ldots \times 3!\times 2!\times 1!\)的正因數中是完全平方數的共有　　　個。

試問\(1!\times 2!\times \ldots \times 10!\)的正因數中是完全平方數的共有　　　個。
(2016TRML團體賽，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid17807)

6.
若\(n\)為自然數，則\(C_2^2+C_2^4+C_2^6+\ldots+C_2^{2n}=\)　　　。(請以\(n\)的形式表示)
[解答]
\(\displaystyle \frac{2\times 1}{2}+\frac{4\times 3}{2}+\ldots+\frac{2n(2n-1)}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (2k)(2k-1)\)
\(\displaystyle =2\sum_{k=1}^n k^2-\sum_{k=1}^n k\)
\(\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\)

7.
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}[(n^3+2n^2+3)^{\frac{1}{3}}-(n^2+5)^{\frac{1}{2}}]=\)　　　。

二、計算證明題
1.
求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{4^n}\)之值。

求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)？
(103大安高工，thepiano解題，下載20140507.dochttp://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=10863#p10863)

2.
設\(a,b,c,d,e\)是滿足\(a+2b+3c+d+e=8\)，\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16\)的實數，求\(e\)的最大值。
類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=61&page=1#pid2400

4.
直角坐標系中，已知有一圓方程式為\(x^2+y^2=37\)，且圓的內部有一點\(P(1,2)\)，
(1)若\(P\)點為圓的某弦的中點，試求此弦所在的直線方程式。
(2)若\(P\)點為圓的某弦的一個三等分點，試求此弦所在的直線方程式。
中點弦，https://math.pro/db/thread-232-1-1.html
三等分點，https://math.pro/db/thread-3433-1-1.html

計算題的詳解
有問題的地方麻煩大家指點
對自己的答案不太自信

計算2. 沒有驗等號，以計算題的極值問題來說，一定會被扣分，可能是 2分/10分
計算4. 為何必定有兩個解的部分，沒有說明，這個會不會列入閱卷老師的評分標準？(我也不知道)
當然也有一些情狀下(大家很熟悉)，大家也習慣沒有做說明，例如：平面上，過圓外一定點，對圓做切線，也必定有兩條，用假設斜率的方式時，也會碰到同樣的代數形式。

其它的部分則是許多記號沒有做說明及或使用習慣不好，像在寫計算紙 (求、p、t、m、a )。
計算1 還有個筆誤，第五行 \( n^2 \) 。