Board logo

標題: 排列組合題目，圓被半徑分成n個區域，相鄰塗異色 [打印本頁]
作者: chu1976    時間: 2008-4-13 13:32     標題: 排列組合題目，圓被半徑分成n個區域，相鄰塗異色

一個圓被半徑分割成\(n\)等份用\(k\)種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為\((k-1)(-1)^n+(k-1)^n\)
[解]設用\(k\)種顏色塗\(n\)個區域,相鄰異色塗法有\(a_n\),則\(a_n+a_n-1=k(k-1)^{n-1}\)
紅色部分是如何來的呢?麻煩知道老師能分享一下,謝謝!
作者: weiye    時間: 2008-4-13 20:20

引用:
原帖由 chu1976 於 2008-4-13 01:32 PM 發表
一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n
[解]設用k種顏色塗n個區域,相鄰異色塗法有a_n,則a_n+a_n-1=k(k-1)^n-1
紅色部分是如何來的呢?麻煩知道老師能分享一下,謝謝!
由第 1 區開始圖顏色，有 k 種顏色可以用，

第 2 區必須跟第 1 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，

第 3 區必須跟第 2 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，
‧
‧
‧
第 n-1 區必須跟第 n-2 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，

第 n 區必須跟第 n-1 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用。

所以以上共有 k(k-1)^{n-1} 種塗色法。

可是這個數據並不是 a_n ，因為第 n 區可能跟第 1 區同色或是異色，

所以這個數據包含有 n 個區域相鄰塗異色，以及 n-1 個區域相鄰塗異色(第 n 區與第 1 區同色)的情況，

所以這個數據是 a_n + a_{n-1}，故 a_n + a_{n-1} = k(k-1)^{n-1} 　for all n>=3，

再加上遞迴關係式的初始條件 a_2 = k(k-1) 與 a_3=k(k-1)(k-2) ，可以求出 a_n (以 n 及 k 表示)。

註：a_1 + a_2 並不會滿足上面的遞迴關係式，但是 a_2 + a_3, a_3 + a_4, .... 之後才會滿足上面的遞迴條件。

　　感謝 ptt 的 moun9 網友提醒。2011/04/10





額外的補充：這個題目也可以改成 k 個球員要互相傳籃球的問題，教練隨便選一球員，由該球員開始傳球給其他人，此 k 位球員互傳了 n+1 次之後，又回到剛開始第一個傳出去的球員的手上，求方法數。做法跟上面一模一樣。


解題的其它部分，在全教會的 thepiano 老師有寫了，
討論串：h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42668　連結已失效












另外，其它相關資料，

　　1. https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&;extra=#pid1296

　　2. 陽明高中數學科　羅驥韡老師的《舊的圖色文題，新的計算方法》

　　　http://www.scribd.com/full/14174890?access_key=key-sqcrk2qz34pt63qgyvr
作者: chu1976    時間: 2008-4-13 21:39

經由您的解釋我比較容易看得懂!
感謝您肯花時間來解這一題唷!
作者: weiye    時間: 2008-4-13 23:03

討論數學的感覺很好，

謝謝。
作者: chu1976    時間: 2008-5-7 21:48

不好意思關於此句[因為第 n 區可能跟第 1 區同色或是異色]我是覺得應該是第 n-1 區可能跟第 1 區同色或是異色
作者: weiye    時間: 2008-5-7 22:21

為什麼你會這樣覺得呢?
作者: chu1976    時間: 2008-5-7 22:44

因為第n區與第1區不就有可能同色
這樣子不符合題意[相鄰異色]!
若有觀念錯誤麻煩指正
作者: weiye    時間: 2008-5-7 22:51

k(k-1)^{n-1}  並不是 a_n 喔～

你可以先想看看 k(k-1)^{n-1} 是怎麼來的～

就會發現，

因為在塗第 n 塊的時候，並沒有特別避開說要與第 1 塊不同，

而 a_n 的定義有要求第 n 塊跟第一塊要異色，

也因此 k(k-1)^{n-1} 比 a_n 多，

而多多少呢？多出來的數目就是 a_{n-1}

原因就是～當初在算 k(k-1)^{n-1} 時，

有可能會遇到第 n 塊跟第一塊相同的情況，

如果第 n 塊跟第 1 塊相同，就變成 n-1 格相鄰都途異色的區域囉！




題意[相鄰異色]，是限制在 a_n 上面，所以 k(k-1)^{n-1}  並不是 a_n，

k(k-1)^{n-1} 比 a_n 還要多！
作者: chu1976    時間: 2008-5-7 23:44

感謝你的解惑,讓我更清楚囉!
作者: bugmens    時間: 2010-2-21 12:37

補充資料
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21240　連結已失效
使用\( a_{n-1}+a_n=k \cdot (k-1)^{n-1} \)解題
中一中　賴老師工作室
http://jflai.blogspot.com/2007/12/blog-post_7984.html

使用\( a_{n+1}=(k-2)a_n+(k-1)a_{n-1} \)解題
排列組合之塗色問題　台北縣立三民高中　楊建泰老師
101.4.10補充
連結已失效，請下載附加檔案
h ttp://blog.cshs.ntct.edu.tw/math/%e5%b0%88%e9%a1%8c%e7%a0%94%e7%a9%b6/

2011.6.11補充
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
(100玉井工商，https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html)

100.9.29補充
以O為圓心的圓上有n個相異點，依序為\( A_1 \)、\( A_2 \)、\( A_3 \)、…、\( A_n \)，此n個點將圓分割為\( A_1 O A_2 \)、\( A_2 O A_3 \)、\( A_3 O A_4 \)、…、\( A_n O A_1 \)等n個扇形區域。在m種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有\( S(n,m) \)，若\( S(n+2,m)=p S(n+1,m)+k S(n,m) \)，求\( p-k= \)？
(98彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1296)

101.4.30補充
阿花參加著色比賽，主辦單位提供八種色筆，圖形為五格的圓形轉盤(如右圖，可以旋轉但不可以翻轉)，若規定顏色可以重複使用但是同色不可以相鄰，則阿花有種著色方式？
(RA628.swf)

投擲一顆公正六面骰子n次(各面為1,2,3,4,5,6點)，依序紀錄點數為\( x_1,x_2,x_3,…,x_n \)，設滿足\( (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_4)…(x_{n-1}-x_n)(x_n-x_1)\ne 0 \)的機率為\( P_n \)。求\( P_n+6 \cdot P_{n+1} \)之值(以n表之)
(101台中一中，感謝Ellipse提供同色不相鄰的解法)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1334&page=1#pid5252

101.8.2補充
A-BCD為空間中的一正四面體，O為其中心，質點P可以在A、B、C、D、O中自由移動，而且規定從其中一點移動至另外一點稱為一步，若定義質點P從O點出發，最後又回到O點共走了n步的方法數為\( a_n \)，\( n \ge 2 \)(例如\( a_2=4 \) )，則\( a_{10}= \)
(101文華高中代理，https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)
weiye提供的另解，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=2#pid7008

109.7.21補充
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色加以著色，相鄰的扇形顏色不同，則有　　　種著色方法。
(109文華高中代理，https://math.pro/db/thread-3368-1-1.html)

110.3.19補充
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(108嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

附件: 2010.2.21.rar (2010-2-21 12:37, 943.39 KB) / 該附件被下載次數 14540
https://math.pro/db/attachment.php?aid=153&k=f3279357ab2574dd003253067ddee377&t=1732485919
作者: 俞克斌    時間: 2013-2-14 15:10     標題: 著色問題另一種想法（俞老師）

列位所見，徇為精闢
略抒管窺，敬請卓參
謝謝

圖片附件: 著色問題另一種想法（俞老師）2013.02.14.jpg (2013-2-14 15:10, 181.5 KB) / 該附件被下載次數 5445
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1526&k=6d757acc89ab128719cd284122dcd00d&t=1732485919

作者: tuhunger    時間: 2013-2-26 17:52     標題: 回復 11# 俞克斌 的帖子

第五行
(ii) 異色:等同 a2  擠入....
上方a2部分筆誤, 應更正為a3...

此方法與舊版數學101的P.259例題4類似
但俞老師解說顯然更清楚了^^
作者: cefepime    時間: 2016-3-21 14:41

一個圓用其半徑分割成 n (n ≥ 2) 個相異扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色。每一扇形塗一色, 相鄰扇形皆異色, 顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用。

求證: 塗法數 an = (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1)



之前拜讀過的方法，大致上都是基於 an 與之前項 ( an₋₁ 或  an₋₁ 與 an₋₂ ) 的關係 (遞迴關係)。現用另一個思維--取捨原理，來考慮這個題目。

an = (k 色塗 n 區方法數) - (前項中，存在相鄰區同色的聯集)

= kⁿ - C(n,1)*kⁿ⁻¹ + C(n,2)*kⁿ⁻² -......+C(n,n-1)*(-1)ⁿ⁻¹ k + C(n,n)*(-1)ⁿ k (註)

= kⁿ - C(n,1)*kⁿ⁻¹ + C(n,2)*kⁿ⁻² -......+C(n,n-1)*(-1)ⁿ⁻¹ k + C(n,n)*(-1)ⁿ - C(n,n)*(-1)ⁿ + C(n,n)*(-1)ⁿ k

= (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1)        (配合二項式定理，得證)


註: 這裡最後一項是 C(n,n)*(-1)ⁿ k (各區皆同色，有 k 種方法) 而非依之前規律的 C(n,n)*(-1)ⁿ，是因為最後"環繞一圈"之故: 若本題各區域呈一直線，則規律將保持 (當然這種情況一般會用乘法原理簡單解，不太會想用取捨原理)。
心得: 歸納規律時，應考慮驗證極端情況是否可成立 -- 這是例外常發生之處。

---------------------------------------------

另一個想法: 經由古典機率求方法數 (亦應用遞迴式)


考慮問題: 由第 1 區開始，以順時針方向依序將下一區塗色，過程中在不與上一區同色的前提下隨機選色。則第 n 區與第 1 區異色的機率為?

令 Pm 表示第 m 區與第 1 區異色的機率，則有:

Pm = [(k-2) /(k-1)] * Pm₋₁ + (1 - Pm₋₁) = 1 - [Pm₋₁ /(k-1)]，m ≥ 2; 且 P₁ = 0

⇒ Pn = [-1 /(k-1)]ⁿ⁻² *(1 /k) + (k-1) /k

所求塗法數 an = k*(k-1)ⁿ⁻¹ *Pn = (k-1)ⁿ + (-1)ⁿ (k-1)



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0