標題: 110彰化女中 [打印本頁]

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作者: Superconan    時間: 2021-5-2 13:05     標題: 110彰化女中

請問第 1 題答案是否有誤？
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110.05.02
學校已更正第 1 題答案。

110.05.03
填充題第 15 題送分。

附件: 國立彰化女子高級中學110學年度第一次教師甄選數學科試題.pdf (2021-5-2 16:58, 707.51 KB) / 該附件被下載次數 7110
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作者: tsusy    時間: 2021-5-2 13:31     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

這題不是才剛考過
110 板橋高中 填充 5. piano 老師解的結果
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3507&page=1#pid22611

最小 14，公差50，所以 \( a_{10} = 14 + 9 \cdot 50 =464 \)

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作者: Superconan    時間: 2021-5-2 13:42     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

謝謝老師，那可以提疑義了

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作者: bugmens    時間: 2021-5-2 14:34

2.
空間中有四個點\(O\)、\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中三向量\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)兩兩夾角皆為\(45^{\circ}\)，已知\(|\;\vec{OA}|\;=\sqrt{2}\)、\(|\;\vec{OB}|\;=\sqrt{3}\)、\(|\;\vec{OC}|\;=\sqrt{6}\)，求\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)張出的四面體體積為　　　。
(106高雄女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2758&page=5#pid17327)
https://math.pro/db/thread-2131-1-3.html

3.
有甲、乙兩箱，甲箱內有一白球、一黑球，乙箱內有一白球。每次先從甲箱任取一球放入乙箱內，再由乙箱任取一球放回甲箱裡，這樣的操作稱做一局。第\(n\)局結束時，求甲箱內有一白一黑的機率為　　　。(以\(n\)表示)
101文華高中，shiauy解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5410
105彰化高中，https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html

4.
設\(x^3+2x^2+3x+4=0\)之三根為\(a\)、\(b\)、\(c\)，求行列式\(\Bigg\vert\;\matrix{-2a&a+b&a+c\cr b+a&-2b&b+c\cr c+a&c+b&-2c}\Bigg\vert\;\)之值為　　　。

\(x^3-2010x^2+x-2012=0\)之三根為\(a\)、\(b\)、\(c\)，求行列式\(\Bigg\vert\;\matrix{-2a&a+b&a+c\cr b+a&-2b&b+c\cr c+a&c+b&-2c}\Bigg\vert\;\)之值為　　　。
(101高雄中學，https://math.pro/db/thread-1345-1-1.html)

6.
大富翁遊戲中，每個回合都會擲一個六面骰決定前進步數，設此六面骰的六個面分別為 1, 2, 3, 4, 5, 6 點，而現在你的所在位置距離「機會與命運」格還有10步，若你要走到「機會與命運」格，請問有　　　種不同的走法？（例如：先前進 4 步，再前進 6 步，即為一種走法；或先前進1步，再前進6步，再前進3步，即為另一種走法。）
(建中通訊解題第162期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)


8.
已知實數\(a>1\)，正方形\(ABCD\)的面積為36，其中\(\overline{AB}\)與\(x\)軸平行，且\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為函數\(y=log_ax\)，\(y=2log_ax\)，\(y=3log_ax\)圖形上的點，試求\(a=\)　　　。
(105中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)

9.
已知圓\(x^2+y^2=37\)內部一點\(P(1,2)\)，若\(P\)點為某弦的一個三等分點，則此弦所在的直線方程式為　　　。
(101陽明高中，https://math.pro/db/thread-1433-1-1.html)

10.
\(x\)為實數，當\(\sqrt{x^2-8x+41}+\sqrt{x^2-2x+5}\)有最小值時，\(x\)的值為　　　。

13.
空間座標系中，已知圓錐面\(z^2=x^2+y^2\)與平面\(x+z=6\)相交的曲線為一拋物線，求此拋物線的焦距為　　　。

二、說明題、計算證明題
1.
請根據108課綱的數學課程安排，分別使用10年級、11年級、12年級和大學微積分介紹的數學方法解此題目：
「\(x\)、\(y\)為實數，已知\(3x+4y=5\)，求\((x-1)^2+(y+2)^2\)的最小值與此時的\((x,y)\)值。」
(請標註該方法為哪一年級，每個方法2分，共8分)

請以各種不同的解題方法求點到直線距離。
題目：求點\(P(8,7)\)到直線\(L\)：\(4x-3y+19=0\)的距離。
說明1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。
說明2：每種方法得3分，本題上限12分。
(106彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183)

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作者: studentJ    時間: 2021-5-2 14:38

請問第六題有什麼方法比較快嗎？

考試當中是慢慢分類

兩次到終點、三次到終點、⋯十次到終點的可能

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作者: thepiano    時間: 2021-5-2 14:51     標題: 回復 5# studentJ 的帖子

第 6 題
a_n 表示前進 n 步的方法數
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = a_1 + a_2 + 1 = 4
a_4 = a_1 + a_2  + a_3 + 1 = 8
a_5 = a_1 + a_2  + a_3 + a_4 + 1 = 16
a_6 = a_1 + a_2  + a_3 + a_4 + a_5 + 1 = 32

a_7 = a_1 + a_2  + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 63
a_8 = a_2  + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 125
a_9 = a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 248
a_10 = a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 492

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作者: satsuki931000    時間: 2021-5-2 15:10

請教第2題 算了好幾次都是\(\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\)
不知道問題出在哪
以下為算式過程

以\(\vec{OA},\vec{OB}\)張出的三角形面積為\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

高為\(\displaystyle \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
所求體積為\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}\)

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作者: Superconan    時間: 2021-5-2 15:29

請教填充第 12、15 題

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作者: satsuki931000    時間: 2021-5-2 15:34     標題: 回復 8# Superconan 的帖子

110.5.3補充題目和連結
12題.
在\(xy\)平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{5}{13}\)，則\(tan\gamma=\)　　　。

平面上\(\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠CAD=\alpha\)，\(∠CBD=\beta\)，\(∠CAB=\gamma\)，若\(\displaystyle cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\displaystyle cos\beta=\frac{8}{17}\)，則\(tan\gamma=\)　　　。
107新竹女中代理，thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2993&page=1#pid18885

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作者: thepiano    時間: 2021-5-2 15:35     標題: 回復 7# satsuki931000 的帖子

高應是 √(6√2 - 6)

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作者: satsuki931000    時間: 2021-5-2 16:22

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{x^2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \lim _{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \int_{0}^{2}\sqrt{ux^2-1}\ du =\frac{1}{3}(ux^2-1)^{\frac{3}{2}}|_0^2\)

最後的下限怪怪的，難不成要瑕積分??
結果論來看\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}(2x^2-1)^{\frac{3}{2}}\)
微分得\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-1}\cdot 4x\)
所求\(f'(5)=70\)

想請問有沒有正規的作法

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作者: tsusy    時間: 2021-5-2 17:41     標題: 回復 11# satsuki931000 的帖子

填充 15.有考試的話，可以試試申請疑義吧

一般沒特別註明，應該都是談實函數。
除非接受複數函數值或複變函數，分實部、虛部定義積分。不過這一般應該是在複變、複分析的課程了。

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作者: Ellipse    時間: 2021-5-2 17:45

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-5-2 16:22 發表
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{x^2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \lim _{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{\frac{2kx^2}{n}-1}\)
=\(\display ...

用寸絲推薦的網站算的(這網站太厲害了)
為什麼會使用它呢?
因為110板橋高中那題跟這題,我用Mathematica12居然算不出來.....
(Mathematica軟體對於這種黎曼和積分定義還要再加油!!)

圖片附件: 1619949639763.jpg (2021-5-2 18:01, 188.51 KB) / 該附件被下載次數 1895
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5953&k=2803c02b98190438b9bc7e6bf968500e&t=1713506683

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作者: firzenf04    時間: 2021-5-3 11:28     標題: 回復 11# satsuki931000 的帖子

不知道這樣寫會不會有問題，然後存在的證明我沒想法了。

[ 本帖最後由 firzenf04 於 2021-5-3 12:17 編輯 ]

圖片附件: 110彰女填充15.png (2021-5-3 12:17, 31.6 KB) / 該附件被下載次數 1887
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5963&k=33b88b8de7f67eeb4bbef756c0493636&t=1713506683

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作者: satsuki931000    時間: 2021-5-3 15:41

彰化女中已回復
填充第15題送分

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作者: peter0210    時間: 2021-5-3 20:13

填充4

圖片附件: 填充4.png (2021-5-3 20:13, 18.91 KB) / 該附件被下載次數 1792
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5975&k=7302a5e6c96627473db0171e9440aa44&t=1713506683

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作者: zidanesquall    時間: 2021-5-3 23:35     標題: 回復 5# studentJ 的帖子

將10拆成若干個正整數的和有\(2^9=512\)種
走10步：1種
走9步：2種
走8步：5種
走7步：12種
共\(512-20=492\)

謝謝鋼琴老師，已修正

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-4 10:18

可以請教第五題嗎？我只會一個個數

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作者: thepiano    時間: 2021-5-4 13:36     標題: 回復 19# PDEMAN 的帖子

第 5 題
做苦工的題目，考試看到這種題目一定要跳啊

2|x| + |y| = 20
菱形四個頂點 A(10，0)，B(0，20)，C(-10，0)，D(0，-20)

x^2 + 4y^2 =20
橢圓四個頂點 D(2√5，0)，E(-2√5，0)，F(0，√5)，G(0，-√5)

區域 D = 菱形 - 橢圓

先算第一象限的格子點
x = 1，y = 3 ~ 18，計 16 點
x = 2，y = 2 ~ 16，計 15 點
x = 3，y = 2 ~ 14，計 13 點
x = 4，y = 1 ~ 12，計 12 點
x = 5，y = 1 ~ 10，計 10 點
x = 6，y = 1 ~ 8，計 8 點
x = 7，y = 1 ~ 6，計 6 點
x = 8，y = 1 ~ 4，計 4 點
x = 9，y = 1 ~ 2，計 2 點
以上計 86 點

x 軸上的點有 6 * 2 = 12 個
y 軸上的點有 18 * 2 = 36 個

所求 = 86 * 4 + 12 + 36 = 392

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-4 14:45     標題: 回復 19# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

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作者: ssuying    時間: 2021-5-4 20:39     標題: 請問填充9 和 13

填充9只有求出其中一條斜率是3/4
但鉛直線那條不知道該怎麼找出來
謝謝 !!!

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作者: thepiano    時間: 2021-5-4 21:06     標題: 回復 21# ssuying 的帖子

填充第 9 題
101 陽明高中考過
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=8682#p8682

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作者: happysad    時間: 2021-5-5 01:07

請教大大.....  512種 怎得來的呢?

引用:

原帖由 zidanesquall 於 2021-5-3 23:35 發表
將10拆成若干個正整數的和有\(2^9=512\)種
走10步：1種
走9步：2種
走8步：5種
走7步：12種
共\(512-20=492\)

謝謝鋼琴老師，已修正

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作者: cut6997    時間: 2021-5-5 01:36     標題: 回復 23# happysad 的帖子

10步.9步.8步的走法分別為C(9,0),C(9,1),C(9,2)---總和為2^9

從第二步開始每步可以選擇留在同一階段行走或者留到下一階段行走，亦為2^9

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作者: happysad    時間: 2021-5-5 09:56

感謝大大的回覆，我再想想~~~

引用:

原帖由 cut6997 於 2021-5-5 01:36 發表
10步.9步.8步的走法分別為C(9,0),C(9,1),C(9,2)---總和為2^9

從第二步開始每步可以選擇留在同一階段行走或者留到下一階段行走，亦為2^9

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作者: Lyndagm    時間: 2021-5-5 21:44     標題: 想問第13題，算出來不是3嗎？

算出來跟答案不同，不知道是哪邊錯了？
麻煩老師們了

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作者: matsunaga2034    時間: 2021-5-5 23:06     標題: 回復 26# Lyndagm 的帖子

我一開始也算出3 後來才發現 是因為我把拋物線投射到了xy平面上的關係 但他其實z軸的數字會影響到結果

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作者: Almighty    時間: 2021-5-6 07:01     標題: 回復 21# ssuying 的帖子

三等分點可能位於1:2或2:1
所以計算上若只算出一條
那另外一條就自己要補出來
「類似圓外一點作切線
也應該會直觀兩條
少一條的話就要補上鉛直線」

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作者: Uukuokuo    時間: 2021-5-6 10:52

想請問各位老師，說明題的計算3(詳解以外方法)+填充13

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作者: ssuying    時間: 2021-5-6 11:29     標題: 回復 28# Almighty 的帖子

類似 說的真是太好了
馬上了解

謝謝 鋼琴老師 和 Almighty老師

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作者: laylay    時間: 2021-5-6 11:33     標題: 回復 18# PDEMAN 的帖子

填充5.
橢圓顯然整個在菱形內部
先算菱形內部跟邊線上格子點個數= 41(x=0)+2*[(1(x=10)+37(x=1))*10/2]=421
再算橢圓內部格子點個數=9(y=0)+2*(7(y=1)+3(y=2))=29
所求 =421-29=392

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-6 11:49     標題: 回復 31# laylay 的帖子

感謝lay lay老師

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作者: laylay    時間: 2021-5-6 12:15     標題: 回復 29# Uukuokuo 的帖子

填充13.
頂點是y=0,x=z,x+z=6 交點A(3,0,3) , 對稱軸上有一點B(0,0,6),
過B作AB垂直面交拋物線於C(0,6,6)
AB=3ㄏ2 , BC=6,把A移至(0,0), C移至(6,3ㄏ2),C點代入 x^2=4cy =>36=12ㄏ2 c
可得焦距=c=3/ㄏ2

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作者: czk0622    時間: 2021-5-6 21:10     標題: 回復 29# Uukuokuo 的帖子

填充13.
從圓錐截痕的方向考慮
拋物線焦距為同時和平面與圓錐相切的球的半徑
其直徑為 \(x+z=0\)(平行 \(x+z=6\) 且過(0,0,0)) 和 \(x+z=6\) 的距離

圖片附件: messageImage_1620293715206.jpg (2021-5-6 21:10, 82.16 KB) / 該附件被下載次數 2102
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5987&k=6e1f96a0a7b50aae13fffbbef7afe1ae&t=1713506683

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作者: Uukuokuo    時間: 2021-5-7 19:25     標題: 回復 34# czk0622 的帖子

謝謝兩位老師

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作者: anyway13    時間: 2021-5-9 15:55     標題: 請教第14題

板上老師好

請問第14題,該怎模做呢?用正確答案帶回去 也看不出所以然

正確的作法影該要怎麼做呢?

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作者: PDEMAN    時間: 2021-5-9 16:32     標題: 回復 36# anyway13 的帖子

考慮這樣試試就會有答案了！
補充若兩根相鄰，角度=60(不合)

圖片附件: D7F1A893-D9DD-441F-A5EA-F24DCCFA9B01.jpeg (2021-5-9 16:32, 87.46 KB) / 該附件被下載次數 2061
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6003&k=9dc347acb08f5156ce8109a01e23f071&t=1713506683

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作者: anyway13    時間: 2021-5-9 20:28     標題: 回復 37# PDEMAN 的帖子

謝謝PDEMAN老師  受教了

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作者: zidanesquall    時間: 2021-7-24 00:28     標題: 回復 23# happysad 的帖子

其實就是一一對應原理

將3表示為若干個正整數和有1+1+1、1+2、2+1、3 四種，可以把這四種分別對應到球與隔板的關係
1+1+1 ---->  O    | O    | O
1+2     ---->  O    | OO  
2+1     ---->  OO | O
3         ---->  OOO

表示3個O之間的兩個間隙要不要放隔板，所以有\(2^2=4\)，所以將10表示成若干個正整數和，就有9個間隙，每個選擇要放還是不放，就是\(2^9\)

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