標題: 106羅東高中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2017-6-17 10:22     標題: 106羅東高中

　

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作者: bugmens    時間: 2017-6-17 10:22

填充7.
在三角形\(ABC\)的三邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上依次取\(D\)、\(E\)、\(F\)點，且使\(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{CE}:\overline{EA}=\overline{AF}:\overline{FB}=1:2\)，令\(\overline{AD}\)與\(\overline{CF}\)交於\(P\)點，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AD}\)交於\(Q\)點，\(\overline{CF}\)與\(\overline{BE}\)交於\(R\)點，求\(\Delta ABC\)與\(\Delta PQR\)的面積比。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128

填充10.
設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，求\( \displaystyle f(\frac{2}{3})\)。

設\(f(x)\)為定義於所有有理數上的函數，且\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)對所有有理數\(x,y\)皆成立。若\(f(4)=14\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{3})=\)　　　。
(102高中數學能力競賽　　北三區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

計算1.
求出此無窮根號之値：\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\ldots}}}} \)。
(只寫出答案部分給分，滿分須嚴謹計算證明過程)
https://math.pro/db/thread-2017-1-1.html

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作者: laylay    時間: 2017-6-17 10:59     標題: 計算2.

令左式為f(x),則f(x)顯然為遞增函數
f(10)=150,f(10-)=146,故無147的函數值存在的空間

12.
設abc=-k,則 a,b,c為f(x)=x^3-9X^2+k=0 的三個實根,y=f(x)之圖形隨k值而上下平移
f`(x)=3x^2-18x=0 => x=0,6
欲使a+b=9-c最大,便要使最小的根c達到最小=>f(0)=k要最大,且具有三實根
=>f(6)=0,此時由圖易知a=b=6,故a+b 最大值=12

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作者: yinchou    時間: 2017-6-19 12:46     標題: 12.另解



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作者: yinchou    時間: 2017-6-19 13:20     標題: 填充10

計算錯誤，修正後與laylay老師答案一樣

[ 本帖最後由 yinchou 於 2017-6-19 16:26 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2017-6-19 15:44     標題: 10.

f(0+0)=f(0)+f(0)+0*0=>f(0)=0
f(x+x)=f(x)+f(x)+x*x=>f(2x)=2f(x)+x^2.....(A)
當f(x)為多項式時,顯然次數為二次
設f(x)=ax^2+bx
則由(A)知 4a=2a+1=>a=1/2,再由f(4)=14得f(x)=(x^2+3x)/2 (此代入原式 左式=[(x+y)^2+3(x+y)]/2=右式 , 也符合)
=> f(2/3)=11/9
以下證明 對於所有的有理數x,f(x)=(x^2+3x)/2 .......
    f(3x))=f(x)+f(2x)+x(2x)=f(x)+2f(x)+x^2+2X^2=3f(x)+(1+2)x^2
    f(4x)=f(x)+f(3x)+x(3x)=f(x)+3f(x)+(1+2)x^2+3X^2=4f(x)+(1+2+3)x^2 ........
可導出n為正整數時f(nx)=nf(x)+[n(n-1)/2]*x^2  => f(x)=nf(x/n)+[(n-1)/(2n)]*x^2
=>f(x/n)={f(x)-[(n-1)/(2n)]*x^2}/n
f(1)=f(4/4)=(f(4)-3/8*16)/4=2
p為正整數時 f(p)=f(p*1)=pf(1)+p*(p-1)/2*1^2=(p^2+3p)/2
q為正整數時 f(p/q)={f(p)-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q={(p^2+3p)/2-[(q-1)/(2q)]*p^2}/q
={(1/2q)p^2+(3/2)p}/q=[(p/q)^2+3(p/q)]/2
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+x(-x)=>f(-x)=x^2-f(x)
=>f(-p/q)=(p/q)^2-[(p/q)^2+3(p/q)]/2=[(-p/q)^2+3(-p/q)]/2
又f(0)=0=(0^2+3*0)/2,故可知對於所有的有理數x, f(x)=(x^2+3x)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-20 02:38 編輯 ]

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作者: BambooLotus    時間: 2017-6-22 02:29

想問計算第3題

證明不存在實數\(x\)，使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
幫補個計算第2題的連結
https://math.pro/db/thread-1892-3-1.html

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作者: eyeready    時間: 2017-6-22 08:53     標題: 回復 7# BambooLotus 的帖子

小弟的作法是坐標化

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 09:09 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2017-6-22 10:54     標題: 回復 7# BambooLotus 的帖子

計算三
設正方形ABCD的邊長為1，在邊 及 上分別取一點E、F，使得AEF周長為2，求 角ECF
另作 :
以C為圓心BC為半徑畫圓
由E對圓作切線交AD 於H,G為切點
則EG=EB,HG=HD => AEH周長= AB+AD= 2 =AEF周長 => H=F
角ECF=角BCD/2=45度

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 11:28 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-6-22 13:30

小弟算的參考答案，麻煩偵錯一下囉！感謝！

第1題 \(\displaystyle \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \) (thepiano大校正)
第2題 \(\displaystyle {\rm{2 + }}\sqrt {\rm{3}} \)
第3題 \(\displaystyle ln2\)
第4題 \(13 \le m < \frac{{53}}{4}\)
第5題 \(\displaystyle \frac{{8\sqrt {10} }}{{25}} \)
第6題 \(\displaystyle  \frac{{128}}{3} \) (thepiano 大校正)
第7題 \(7:1\)
第8題 \(\displaystyle 37\sqrt 3  \)
第9題 \(\displaystyle P(n) = (-\frac{1}{7})^{n-1} \times (-\frac{1}{{14}})+\frac{1}{2},n \ge 1\)
第10題 \(\displaystyle \frac{11}{9} \)
第11題 \(-15\)
第12題 12

笫1題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 原式= \frac{{{\rm{sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times {\rm{sin3}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin179}}^ \circ  }}{{{\rm{sin2}}^ \circ   \times {\rm{sin4}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin178}}^ \circ }} \\
\displaystyle  = \frac{{{\rm{(sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ  )^2 }}{{2^{89}  \times ({\rm{sin1}}^ \circ   \times {\rm{sin2}}^ \circ   \times ... \times {\rm{sin89}}^ \circ  ) \displaystyle \times (\cos {\rm{1}}^ \circ   \times \cos {\rm{2}}^ \circ   \times ... \times \cos {\rm{89}}^ \circ  )}} \\
\displaystyle  = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}^{{\rm{89}}} }} \\
\end{array}
\)

第6題
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle  z_1  = 48 \\
\displaystyle  z_2  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2}) \times (\cos 30^ \circ   + i\sin 30^ \circ  ) \\
\displaystyle  z_3  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^2 (\cos 60^ \circ   + i\sin 60^ \circ  ) \\
..... \\
\displaystyle  z_{k + 1}  = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^k (\cos \frac{{k\pi }}{6} + i\sin \frac{{k\pi }}{6}) \\
由上述討論並觀察出等比數列 \displaystyle  a_1 = z_1 = 48,a_2 = z_7 =48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^6  \times ( - 1),a_3 = z_{13} = 48 \times (\frac{{\sqrt 2 }}{2})^{12}  \times 1,... \\
\displaystyle  \sum\limits_{k = 1}^\infty  {a_k } = \frac{{48}}{{1 - \left[ { - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^6 } \right]}} = \frac{{128}}{3} \\
\end{array}
\)

第12題 (另解 根與係數關係)
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 9 - c \\
ab = - 9c + c^2  \\
\end{array} \right. \\
實數a、b為x^2  + ( - 9 + c)x + (c^2  - 9c) = 0之根 \\
判別式D \ge 0，(- 9 + c)^2 - 4\times 1\times (c^2 - 9c) \ge 0 \\
令a + b = t, -3t^2 + 36t \ge 0可推得0 \le t \le 12 \\
故a+b最大值為12
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-22 14:50 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2017-6-22 14:05     標題: 回復 10# eyeready 的帖子

第1題的答案是\(\displaystyle\frac{1}{{{2}^{89}}}\)吧?

第6題的答案是\(\displaystyle\frac{128}{3}\)吧？

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-6-22 14:13 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-6-22 14:33     標題: 回復 11# thepiano 的帖子

不愧是鋼琴大，剛剛重算一次，確實是小弟算錯了>"<

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作者: yustarhunter    時間: 2017-6-22 16:57

終於鼓起勇氣寫了，發現樓上討論之外的題目(填充題)都算簡單，下次要更努力才行！
這裡是填充一到八題，九，十一題。

我的第四題沒有考慮到什麼條件呢？(參考下面

[ 本帖最後由 yustarhunter 於 2017-6-23 16:35 編輯 ]

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作者: laylay    時間: 2017-6-22 18:02     標題: 填充一.另解

x^90+1=0 的根為 cos(2+4*k)度+isin(2+4*k)度,k=0,1,2...89
x^90+1=(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos6度+isin6度)).....(x-(cos358度+isin358度))
令x=1, 兩邊取絕對值
=>2=(2sin1度)(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin3度.....sin179度=1/(2^89)
補充比較一下...........
x^180-1=0 的根為 cos(2*k)度+isin(2*k)度,k=0,1,2...179
x^180-1=(x-1)(x^179+x^178+...+x+1)
             =(x-1)(x-(cos2度+isin2度))(x-(cos4度+isin4度)).....(x-(cos358度+isin358度))
兩邊同除以(x-1) 令x=1, 兩邊取絕對值
=>180=(2sin1度)(2sin2度))(2sin3度).......(2sin179度)
=>sin1度sin2度sin3度.....sin179度=90/(2^178)
=>sin2度sin4度sin6度.....sin178度=90/(2^89)
=>(sin2度sin4度sin6度.....sin178度)/(sin1度sin3度.....sin179度)=90請注意 ! 這也是一道考題喔!
經由EXCEL驗證算出sin2度sin4度sin6度.....sin178度=1.45403*10^(-25)  (=Product(C1:C89))
                                 sin1度sin3度sin5度.....sin179度=1.61559*10^(-27)   (=Product(B1:B90))

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 21:40 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-6-22 18:49     標題: 回復 13# yustarhunter 的帖子

\(
\begin{array}{l}
令 f(x) = x^2  - (m - 5)x + (m + 3) \\
判別式 \left[ {-(m-5)} \right]^2-4 \times 1 \times (m+3) \ge 0 \to m \ge 13 或 m \le 1 \\
對稱軸 1 < \frac{{m - 5}}{2} < 5 \to 7 < m < 15 \\
且f(1)f(5) > 0 \to m < \frac{{53}}{4} \\
\end{array}
\)

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作者: BambooLotus    時間: 2017-6-22 21:00

填充第2題，因為兩個三角形都分別有間隔兩個的邊長和間隔三個的邊長

所以他們的面積比就是那兩個邊長中間角度的sin值

填充第7題用斜座標快一點(其實是從高中到現在都還不會用那兩個定理.....)

第一題一開始看成是要問 \( \displaystyle sin \frac{\pi }{{180}} \times \sin \frac{{2\pi }}{{180}} \times \sin \frac{{3\pi }}{{180}} \times  \cdots  \times \sin \frac{{179\pi }}{{180}} \)

答案應該是\( \displaystyle \frac{{180}}{{{2^{179}}}} \) ......吧?

(啊 看到laylay老師原來已經在上面補充這題了~

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-22 21:15 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-6-22 21:22     標題: 回復 16# BambooLotus 的帖子

回覆第一題，答案正確，只要代公式就好，相對簡單許多!

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作者: laylay    時間: 2017-6-22 22:52     標題: 11.另解

(x^2-3x+s)(x^2-3x+t)=0 (前者兩實根和為3,後者兩複數根和亦為3)
二次項係數=s+9+t=14 => a=-3(s+t)=-15

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-22 23:40 編輯 ]

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作者: yustarhunter    時間: 2017-6-22 23:29

謝謝老師們(好厲害的地方)，繼續努力。希望我堅持下去！

我沒有空閒時間可以打成代碼，只能手寫上傳，感謝各位老師指點。
PS有進步的感覺了，真好

[ 本帖最後由 yustarhunter 於 2017-6-23 16:36 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-6-23 07:41     標題: 回復 19# yustarhunter 的帖子

第7題 考試當下可以用特殊三角形去做，會省很多時間
第6題  答案有誤

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作者: laylay    時間: 2017-6-23 09:03     標題: 7.另解

過A作直線L平行BC,延長BR交L於S,延長CR交L於T
由相似形知TS=AS+AT=2BC+1/2BC=5/2BC => BRC=2/(2+5)ABC(由高的比知)
同理CPA,AQB皆=2/7ABC
故所求=1:[1-(2/7)*3]=7:1
若2:1改為r:1
則所求為(r^2+r+1):(r-1)^2

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作者: yustarhunter    時間: 2017-6-23 16:34     標題: 回復 20# eyeready 的帖子

第6題，已修正。
第7題，考試當下真是鬼打牆，不過我很喜歡孟氏定理XD，所以就一直用了。
當特殊三角形(正三角形)就很好算了。
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html(99彰女類似)

[ 本帖最後由 yustarhunter 於 2017-6-23 16:37 編輯 ]

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作者: terry90618    時間: 2017-6-26 15:46     標題: 回復 13#

第四題 判別式大於等於0需要列入考慮嗎?
如果要的話範圍是[13,15)
但前面大大的答案就更精細，到底哪漏掉了呢??

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作者: BambooLotus    時間: 2017-6-26 19:57

如果只考慮判別式的話那少的條件應該就是首項係數，會變成只知道有解卻不知道開口方向

補上f(1)>0和f(5)>0就可以了

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