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標題: 102新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2013-6-1 14:57 標題: 102新北市高中聯招

試題疑義答覆
選擇題第1題
1.本題題目應為「連續正整數之和」，誤植為「連續整數之和」。
2.本題送分。

選擇題第2題
1.本題正確答案應為\( a+b \)最小可能值為\( 4\sqrt{2} \)。
2.本題送分。

計算題第1題第1小題
1.本題教授閱卷時，已將計算等價答案\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \),\( a_n=a_{n-1}+(\frac{1}{2})^n \),( \( n \ge 2 \) )列入給分。
2.另本題答案不包括「二階遞迴式」，本題應是「一階遞迴式」。故作答答案如有「二階遞迴式」不給分。

填充題1第34題
1.本題投影後有6個面。但題目只敘述其中4個面。
2.選項2的圖為6個面之一。另這個面(圖請見pdf檔)並未出現在題目中。

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附件: 102新北市高中聯招試題疑義答覆.pdf (2013-6-2 19:22, 168.56 KB) / 該附件被下載次數 13320
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1739&k=50489d29aaab2b90fe9d46601efc932f&t=1732279201

作者: bugmens 時間: 2013-6-1 15:02

選擇2.
設\( a,b \)為正實數。若\( 2^a=25 \)，\( 5^b=16 \)，則\( a+b \)的最小可能值為何？
(A)2　(B)4　(C)6　(D)8　
題目出錯了吧

選擇4.
設矩陣\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 &1} \Bigg]\; \)。若\( A^{10}=\Bigg[\; \matrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33}} \Bigg]\; \)，則\( a_{13} \)之值為何？
(A)55　(B)100　(C)\( 2^{10} \)　(D)\( 10! \)
感謝王保丹告知101南港高工也有這題
https://math.pro/db/thread-1442-1-1.html

藉由這題來回應寸絲的心得https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653
"當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？"

這題直接乘就看出規律了，但改成其他數字的話你會算嗎？
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{2 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 1 \cr 1 & 1 & 2} \Bigg]\; \)，求\( A^{100} \)。
(98全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-804-1-1.html)

設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 3 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle A+A^2+A^3+\ldots+A^{20}=\Bigg[\; \matrix{a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i} \Bigg]\; \)，則\( c= \)？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-3.html)

若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 0 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，則\( A^{20} \)？
(100成淵高中，https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html)

這裡我也有提醒各位可以整理個"矩陣的n次方"筆記，各位有整理了嗎？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7150

104.5.2補充
設矩陣\( A=\left[ \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \right] \)，試求\( A^{100} \)。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

填充2.
由數字1,2,3,4,5,6,7組成七位數，四個奇數中任何三個不全相鄰，問符合條件的七位數共有多少個？
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html)
[解答]
以所有可能的七位數\( P_7^7 \)中減去下面兩類七位數的個數。
(1)四個奇數都相鄰的七位數，先將四個奇數看成一組與其餘三個偶數排好，有\( P_4^4 \)種方法，再將這四個奇數進行排列，有\( P_4^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_4^4 \times P_4^4 \)個。
(2)只有三個奇數相鄰，先將偶數排好有\( P_3^3 \)種方法，再將四個奇數分成三個，一個的兩組，有\( C_1^4 \)種方法，然後將這兩組奇數插入偶數的四個空檔中，有\( P_2^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3 \)個。
綜上，符合條件的七位數共有\( P_7^7-P_4^4 \cdot P_4^4-P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3=5040-(576+1728)=2736 \)個。

計算2.
已知有n個任意的正方形紙片，證明：可以用剪刀把它們剪開，然後組拼成一個新的正方形。
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html)
[解答]
(1)當\( n=2 \)時，設兩個正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)和\( A_2B_2C_2D_2 \)的邊長為a和b(\( a \ge b \))，在正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)的各邊上，順序截取\( \displaystyle \overline{A_1M}=\overline{B_1N}=\overline{C_1P}=\overline{D_1Q}=\frac{a+b}{2} \)。
連\( \overline{MP},\overline{NQ} \)交於O，易知\( \overline{MP}\perp \overline{NQ} \)，沿線段\( \overline{MP} \),\( \overline{NQ} \)把正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)剪開，得到四個全等部分，把這四塊與正方形\( A_2 B_2 C_2 D_2 \)拼成一個新的正方形。
因此，\( n=2 \)時命題成立。
(2)假設\( n=k \)時，命題成立，當\( n=k+1 \)時，前k個正方形可拼成一個新正方形。把這個正方形按上法剪開，截取的線段上是這新的正方形的邊長和第\( k+1 \)個正方形邊長和的一半，然後和第\( k+1 \)個正方形如上法拼組成第\( k+1 \)個新的正方形，至此說明當\( n=k+1 \)時命題成立。
綜合(1)(2)，對\( n>1 \)，\( n \in N \)命題成立。

填充4,5出題者應該抄襲中國地區試題，只是我找不到出處
填充5.
如下圖，電腦程序框圖(算法流程圖)的輸出值S為何？
[解答]
\( S=1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots +99^2-100^2=-5050 \)

102.6.14補充
感謝thepiano提供出處，我從網路找到完整檔案下載。
2012高中数学联赛备考手册预赛试题集锦.pdf
http://pan.baidu.com/share/link?shareid=368565&uk=3778402542

作者: 王保丹 時間: 2013-6-1 19:49

選擇第四題，101年南港高工第9題！

作者: shiauy 時間: 2013-6-1 21:13

想問計算第一題的遞迴式
我是先推出一般式
\[{a_n} = 1 - {(\frac{1}{2})^n}\]
再用特徵值1與1/2
寫出二階遞迴
\[2{a_n} = 3{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}\]
只是答案是給一階的遞迴…
不知道我這樣做可不可以

作者: smartdan 時間: 2013-6-2 10:29

想請問一下選擇第三題

3. 設向量v為坐標空間中的非零向量。若向量v與正 x 軸夾 45 度角，與正 y 軸夾 60 度角，則下列哪一個選項可能向量v與正 z 軸的夾角?
(A) 90度 (D) 105度 (C) 120度 (D) 135度

想了許久還是一點頭緒都沒有，煩請指點迷津！

作者: shiauy 時間: 2013-6-2 10:44

一向量與三軸的交角分別為A、B、C
則\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1\]

作者: smartdan 時間: 2013-6-2 19:44 標題: 回復 6# shiauy 的帖子

謝謝一心大的提點，我居然忘記這麼簡單的定理！！！

作者: thepiano 時間: 2013-6-10 06:27

引用:

原帖由 bugmens 於 2013-6-1 03:02 PM 發表
填充4,5出題者應該抄襲中國地區試題，只是我找不到出處

填充 4
抄自 2012 年全國高中數學聯賽黑龍江省預賽試題

填充 5
抄自 2011 年全國高中數學聯賽河南省預賽試題

出題教授會不會抄得太順手了？

作者: nanpolend 時間: 2013-6-12 15:33 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

轉貼http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 4019c79a95a5591fc9e
填充第 1 題
填充第 5 題
計算第 1 題

作者: nanpolend 時間: 2013-6-14 05:33 標題: 回復 9# nanpolend 的帖子

請教一下填充第 1 題有比較快的作法嗎

作者: dav 時間: 2013-6-20 14:23

可以請教一題觀念的問題嗎？
在寫選擇第二題時，我就一直覺得很詭異
題目如下～感謝

圖片附件: 1.JPG (2013-6-20 14:23, 45.44 KB) / 該附件被下載次數 4634
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1800&k=d54e67071af4ea8493b31985ba890ab9&t=1732279201

作者: airfish37 時間: 2013-6-20 17:35

算幾不等式
等號成立的條件為 a=b
所以，試題疑義的解釋，基本上是有問題的。

作者: 瓜農自足 時間: 2015-3-30 22:08 標題: 計算第三之一

請教一下它如此計算是不是沒考慮到某樣作品都獲得得10票，但其中兩票是1號所投的狀況？還是說不記名就當做此規定無效？

圖片附件: IMG_20150330_215945.JPG (2015-3-30 22:08, 116.61 KB) / 該附件被下載次數 4598
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2722&k=35aae6a031218820b702a09bd7728b1c&t=1732279201

作者: thepiano 時間: 2015-3-31 09:36 標題: 回復 13# 瓜農自足的帖子

此題只考慮 4 件作品的得票分布，而不區分這些票是誰投的

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