標題: 101中正高中二招 [打印本頁]
作者: mandy 時間: 2012-6-28 00:36 標題: 101中正高中二招
請問
１. １+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?
２. 一線段ＡＢ,ＡＢ長為根號３, 若ＡＭ=ＭＮ=ＮＢ, 且三角形ＡＭＢ面積為Ｓ, 三角形ＭＮＢ面積為Ｔ,求Ｓ^２+Ｔ^２之最大值＝?
[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-28 06:39 AM 編輯 ]
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1319&k=0ebf1eb59193a684448d4ed5ae0078e7&t=1732253820
作者: bugmens 時間: 2012-6-28 06:56
7.
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)？
[解答]
\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=1+2(1+3)=9 \)，\( f(3)=1+2(1+3)+3(1+3+6)=39 \)，\( f(4)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)=119 \)
\( f(5)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)=294 \)
\( f(6)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)+6(1+3+6+10+15+21)=630 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 9 & & 39 & & 119 & & 294 & & 630 \cr
& 1 & & 8 & & 30 & & 80 & & 175 & & 336 & \cr
& & 7 & & 22 & & 50 & & 95 & & 161 & & \cr
& & & 15 & & 28 & & 45 & & 66 & \cr
& & & & 13 & & 17 & & 21 & & \cr
& & & & & 4 & & 4 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+7 \times C_2^n+15 \times C_3^n+13 \times C_4^n+4 \times C_5^n \)
8.
將6個A，6個B及6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有Ａ，中間6個字母沒有B，最後6個字母沒有C，試問共有多少種排列方式？
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html
9.
若\( a,b,x,y \in R \)，\( \displaystyle \cases{a+b=4 \cr ax+by=13 \cr ax^2+by^2=41 \cr ax^3+by^3=127} \)，求\( ax^4+by^4 \)
https://math.pro/db/thread-799-1-1.html
[另解]
\( \Bigg\vert\; \matrix{4 & 13 & 41\cr 13 & 41 & 127\cr 41 & 127 & a_4} \Bigg\vert\;=0 \)
\( a_4=389 \)
計算題
3.
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \)，若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數，求\( [\; S ]\;= \)？
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html
4.
求\( \displaystyle tan \frac{\pi}{7} \cdot tan \frac{2\pi}{7} \cdot tan \frac{3\pi}{7} \cdot tan \frac{4\pi}{7} \cdot tan \frac{5\pi}{7} \cdot tan \frac{6\pi}{7}= \)？
[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 08:36 PM 編輯 ]
作者: fredslong 時間: 2012-6-28 17:09
１. １+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?
這題括號內其實是(1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)) = n(n+1)(n+2)/6 這樣的形態
再來就用級數去求就可以~
注意的是會出現求級數K^4 我是用 級數(K+1)^5 - K^5 去導的
而這方法剛好是計算最後一題問的東西!!
作者: bluewing 時間: 2012-6-29 10:14
請問填充第6題橢圓焦點的座標答案是否有誤??
我找出來的是同為正，同為負，並非答案給的一正一負，
另外請問老師們，計算第1、2題應該怎麼處理呢??
能否稍微指點一下，謝謝您。
[註]：已在美夢成真討論區看到鋼琴老師的詳解，謝謝您。
[ 本帖最後由 bluewing 於 2012-6-30 10:09 PM 編輯 ]
作者: cherryhung 時間: 2012-6-30 21:04 標題: 請教中正二招 填充5
我很喜歡這個題目求正交弦長，但求不出來 可否指點一下，謝謝
作者: 老王 時間: 2012-6-30 22:40 標題: 回復 5# cherryhung 的帖子
去年中正就考過了。
作者: cherryhung 時間: 2012-6-30 22:49 標題: 請教填充10
抱歉~這題我也想不出來 應該是有規律 請指點一下 謝謝
作者: 老王 時間: 2012-6-30 23:24 標題: 回復 7# cherryhung 的帖子
下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為 。
[解答]
設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
105.4.24補充
右圖為一個正二十面體，每邊長度均為1。有一螞蟻由\(A\)點出發，只走邊，且在頂點時轉向任意邊的機率相等，求走至\(M\)點距離之期望值？
(105板橋高中，https://math.pro/db/thread-2483-1-1.html)
作者: brace 時間: 2012-7-1 08:25 標題: 計算3
請教各位老師，計算3算出來的結果S在52.~與54之間，請問[S]要取多少？這題跟之前考古題比較感覺是特殊情況題
[ 本帖最後由 brace 於 2012-7-1 08:28 AM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-7-1 08:55 標題: 回復 9# brace 的帖子
計算 3. 做了一下，沒什麼問題 \( 52+\frac1{27}\leq S \leq 53 \)
也許是估計做的不夠準，而主要的誤差來源在於前幾項，
所以保留部分項，其它再估計吧
作者: mandy 時間: 2012-7-1 15:26
引用:
原帖由 老王 於 2012-6-30 10:40 PM 發表 
去年中正就考過了。
填充5 和 100中正考題的截痕好像不一樣? 不知道我認為的對不對? 請問該如何做?
作者: mandy 時間: 2012-7-1 16:35
看了美夢成真板 計算第一題的解題過程 和我得不一樣
想請問我的做法那裏有問題?
f(x)=4x^3+12x^2+kx+4=0有三個相異實根
f'(x)=12x^2+24x+k=0 就有二相異實根
判別式大於0 得 k <12
作者: tsusy 時間: 2012-7-1 16:38 標題: 回復 12# mandy 的帖子
沒看題目，和其它解法，單就你的文字而言
「就有」兩個字，也就是單向的蘊含，而非等價
作者: mandy 時間: 2012-7-1 17:46
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-7-1 04:38 PM 發表
沒看題目，和其它解法，單就你的文字而言
「就有」兩個字，也就是單向的蘊含，而非等價
原f(x)=0與x軸有三個交點
f'(x)=0 有二相異實根 , 即f(x)=0 有相對極大與相對極小值
作者: tsusy 時間: 2012-7-1 19:18 標題: 回復 14# mandy 的帖子
來個錯誤示範的例子：求解 \( x=1 \)
\( x=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1 \) 或 \( -1 \)
每個箭頭邏輯都是對的，但不代表 \( x=\pm 1\) 是原方程式的解
以上，犯的錯誤是一樣的。
作者: FreeMan 時間: 2012-7-2 21:29
填充第3題似乎在哪見過= =
作者: FreeMan 時間: 2012-7-2 21:33 標題: 回復 2# bugmens 的帖子
B大~可以請問第7題使用方法的出處嘛?
作者: larson 時間: 2012-7-3 01:01
請問計算第4題，算出-7對嗎？我背了幾個公式算出來的，有其它方法嗎？
作者: tsusy 時間: 2012-7-3 08:36 標題: 回復 18# larson 的帖子
換成 \( \sin \), \( \cos \)
之後正餘弦的連乘積都是很常見的考題
令 \( \omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7} \)，
則 \( (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)(x-\omega^5)(x-\omega^6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)
\( x =\pm 1 \) 代入，取絕值，可得正弦餘之連乘積
作者: larson 時間: 2012-7-3 12:38
謝謝！填充5的截痕之正焦弦長，解不出官方的答案！
填充第10題老王的方法：設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很神，但看不懂，可不可以解釋一下！！
另外想問以下相關題：(題目來源：台大數學系)
[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 01:34 PM 編輯 ]
圖片附件: 台大數學101年甄選.JPG (2012-7-3 13:23, 24.67 KB) / 該附件被下載次數 6194
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1330&k=7921ca50293da13d136d5148b5c99055&t=1732253820
作者: wayloon 時間: 2012-7-3 14:06 標題: 回復 20# larson 的帖子
去年中正那題截痕是拋物線，
今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長
而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。
以上為小弟的想法，有錯誤請指正。
[ 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 ]
作者: larson 時間: 2012-7-3 20:17
引用:
原帖由 wayloon 於 2012-7-3 02:06 PM 發表
去年中正那題截痕是拋物線，
今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長
而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。
以上為小弟的想法，有錯誤請指正。 ...
作者: mandy 時間: 2012-7-3 21:18
引用:
原帖由 larson 於 2012-7-3 12:38 PM 發表
謝謝！填充5的截痕之正焦弦長，解不出官方的答案！
填充第10題老王的方法：設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很 ...
^^^^^^^^^^^^^
A到任一中點的機率是１/４, 有四條選擇
y=(1/4)*1 + (1/4)(1+y) +(1/4)(1+y) + (1/4)(1+x)
^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
B-->C B-->另ㄧ個中點-->C B-->另ㄧ個中點-->C B-->A-->C
作者: 老王 時間: 2012-7-3 21:40 標題: 回復 20# larson 的帖子
感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。
至於今年台大數學推甄題解，其實我已經寫好了，只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~
圖片附件: 101台大數學4-1.jpg (2012-7-3 21:40, 18.52 KB) / 該附件被下載次數 6483
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1334&k=f068f8addde0048447574b3997c342bc&t=1732253820
圖片附件: 101台大數學4-2.jpg (2012-7-3 21:40, 19.01 KB) / 該附件被下載次數 6379
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1335&k=4c714f509c0dd297990cc34aafb4a6fe&t=1732253820
作者: wayloon 時間: 2012-7-3 22:01 標題: 回復 22# larson 的帖子
http://goo.gl/sDR8I
請參考本篇文章主題二，有相關內容和證明
這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念，有錯請指正
作者: larson 時間: 2012-7-3 22:02
謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆！太感激了！
[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 ]
作者: katama5667 時間: 2012-7-3 22:18 標題: 回復 20# larson 、21# wayloon 的帖子
填充 5
我畫了個圖，如下：
因為100年中正一招時，可知綠色的軌跡為抛物線，
現今我將底圓以點 \(B\) 為定點，順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\)，則
所以 \(P,~Q\) 將順著此抛物線向上滑動到 \(P',~Q'\) 形成所求橢圓的短軸
利用 \(y=tx^2\) 定座標 \(E(0,0),Q(2,-2)\)，可算出 \(t=-\frac{1}{2}\)
而 \(Q'(k,-1)\) 代入可求出 \(k=\sqrt{2}\)
所以 \(b=\sqrt{2}\)
又 \(a=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
所以正焦弦為 \(\large \frac{2b^2}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)
[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-7-4 00:07 標題: 回復 3# fredslong 的帖子
填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)
類題
100 文華高中代理 填充16
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中， \( x^{4} \) 項的係數。
100 中壢高中 填充9
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。
作者: 阿光 時間: 2012-7-4 06:24
想請教填充2和4題,謝謝
作者: katama5667 時間: 2012-7-4 07:20 標題: 回復 29# 阿光 的帖子
填充2
就是要找 \(x^2+2(a-c)x+(b-d)=0\) 無實數解的情形，
即 \((a-c)^2<b-d\) 的機率
(1)\(|a-c|=0\)且\(b-d\geq 1\)：\(\frac{6}{36}\times \frac{15}{36}\)
(2)\(|a-c|=1\)且\(b-d\geq 2\)：\(\frac{10}{36}\times \frac{10}{36}\)
(3)\(|a-c|=2\)且\(b-d\geq 5\)：\(\frac{8}{36}\times \frac{1}{36}\)
所以答案為 \(\frac{90+100+8}{36\times 36}=\frac{11}{72}\)
填充4
\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)
再考慮 \((1+x)^{2n-1}\) 展開後 \(x^{n}\) 的係數： \(C^{2n-1}_{n}\)
且
\((1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}\)
\(=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )\)
乘開後 \(x^{n}\) 的係數為 \(\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)
所以，\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}\)
套入原題中，\(\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}\)
故 \((m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)\)
[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-7-4 23:39 標題: 回復 21# wayloon 的帖子
您的想法正確，可算得半長軸 \( a=\sqrt{3} \)
而內切圓半徑則由面積 \( rs=\triangle BDA =2\sqrt{3} \) 可得 \( r = \sqrt{3}-1 \)
注意 \( \angle D \) 是直角，因此切點到 D 的距離恰為半徑
因此 \( c=a-r=1\Rightarrow b=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2b^{2}}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}} \)
作者: mandy 時間: 2012-7-5 00:04
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-7-4 12:07 AM 發表
填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)
類題
100 文華 ...
作者: katama5667 時間: 2012-7-5 09:25 標題: 回復 32# mandy 的帖子
你把巴斯卡三角形係數寫出來就看得到了！藍色上一排即題目中括號內的數字！
(圖片取自：http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/DynamicProgramming.html，並自行上色)
[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-5 09:28 AM 編輯 ]
作者: tsusy 時間: 2012-7-5 13:06 標題: 回復 29# 阿光 的帖子
填充4. 100北港高中 考過了
#30 katama5667 老師已解，小弟來提供另一個做法
\( \displaystyle \frac{\sum\limits _{k=1}^{2012}kC_{k}^{2012}C_{2012-k}^{2012}}{C_{2012}^{2024}} \) 可視為箱中有 2012 個白球和 2012 個黑球，取出 2012 個球，白球數的期望值
而該期望值，可視為 1 個個慢慢取，每次取得白球的機率為 \( \frac{1}{2} \)，由期望值的加性得 \( \frac{2012}{2} \)
故其分子為 \( C_{2012}^{4024} \cdot \frac{2012}{2} = \frac{4023!}{2011!2011!} = 2012 C^{4023}_{2011}\)
作者: cherryhung 時間: 2012-7-7 00:14 標題: 回復 27# katama5667 的帖子
請問為何是順著圓錐面45度，而不是30度?
作者: katama5667 時間: 2012-7-7 20:32 標題: 回復 35# cherryhung 的帖子
不好意思，我寫錯了！等等我更正！
已更正完成！
[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-15 08:15 AM 編輯 ]
作者: wallydx 時間: 2012-7-15 06:17 標題: 請教填充第一題
小弟愚昧..實在想不出來填充第一題如何解題...請各位老師與大大指點迷津....
作者: andyhsiao 時間: 2012-7-15 09:00 標題: 回復 37# wallydx 的帖子
P+3q+4r=x.....(1)
2p+q+3r=y.....(2)
p=1-q-r...........(3)
(3)代入(1)和(2)得
2q+3r=x-1.....(4)
-q+r=y-2........(5)
解聯立得
5r=x+2y-5>=0.....(6)
5q=x-3y+5>=0....(7)
5p=-2x+y+5>=0..(8)
.......畫圖得一三角形圖形..即可得面積
作者: wallydx 時間: 2012-7-15 12:43 標題: 回復 38# andyhsiao 的帖子
感謝andyhsiao老師的指導^^
作者: casanova 時間: 2012-7-22 09:06
引用:
原帖由 katama5667 於 2012-7-3 10:18 PM 發表
填充 5
我畫了個圖，如下：
因為100年中正一招時，可知綠色的軌跡為抛物線，
現今我將底圓以點 \(B\) 為定點，順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\)，則
所以 \(P,~Q\) 將順 ...
[ 本帖最後由 casanova 於 2012-7-22 09:08 AM 編輯 ]
作者: Sandy 時間: 2012-12-14 14:15
可以請問填充3的f(x)要怎麼找嗎？！
我對這樣的題目還沒抓到訣竅><
作者: weiye 時間: 2012-12-14 14:47 標題: 回復 41# Sandy 的帖子
填充第3題，與101中壢高中的填充第4題相同，
寸絲老師解過，請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1377&page=6#pid5983
作者: Sandy 時間: 2012-12-20 11:33
感謝瑋岳老師
作者: Sandy 時間: 2012-12-21 11:33
請問填充9
用克拉馬算△，△a
解x和y，算出來會有兩個答案
(x,y)=(2,3) 或 (x,y)=(-3,2)
再帶回去題目，會算出兩個答案 一個是389 另一個是119
想請問一下要如何判斷答案是389而非119呢？！
謝謝^^
作者: weiye 時間: 2012-12-21 12:36 標題: 回復 44# Sandy 的帖子
題目的已知是由四個未知數所組成的四個方程式，
所以可以想看看有沒有哪個方程組中的方程式~
在你的方法解題時還沒有出現過呢？
填充第 9 題：
因為 \((ax^n+by^n)(x+y)=ax^{n+1}+by^{n+1}-xy(ax^{n-1}+by^{n-1})\) 其中 \(n\) 為正整數，
所以 \((ax+by)(x+y)=ax^2+by^2-xy(a+b)\) 且 \((ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^3-xy(ax+by)\)
\(\Rightarrow 13(x+y)=41-4xy\) 且 \(41(x+y)=127-13xy\)
解聯立方程式可得 \(x+y=5\) 且 \(xy=6\) （其實可以順便解出來 \((x,y)=(2,3)\) 或 \((3,2)\) ～哈）
因此 \(5(ax^n+by^n)=ax^{n+1}+by^{n+1}+6(ax^{n-1}+by^{n-1})\) 其中 \(n\) 為正整數，
\(\Rightarrow ax^{n+1}+by^{n+1}=5(ax^n+by^n)-6(ax^{n-1}+by^{n-1})\)
\(\Rightarrow ax^4+by^4=5(ax^3+by^3)-6(ax^2+by^2)=5\times127-6\times41=389\)
作者: Sandy 時間: 2012-12-21 14:43
引用:
原帖由 weiye 於 2012-12-21 12:36 PM 發表
題目的已知是由四個未知數所組成的四個方程式，
所以可以想看看有沒有哪個方程組中的方程式~
在你的方法解題時還沒有出現過呢？
填充第 9 題：
因為 \((ax^n+by^n)(x+y)=ax^{n+1}+by^{n+1}-xy(ax^{n-1}+by^{n-1})\) ...
謝謝瑋岳老師提供的方法，而且這個方法比較簡單不會算錯(淚)
[ 本帖最後由 Sandy 於 2012-12-22 01:24 AM 編輯 ]
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1483&k=0a00dff036a35f3001f385afa2dc7111&t=1732253820
作者: idontnow90 時間: 2012-12-31 17:08
我照寸絲大大的方法做..
sin部分算出來是7/2^6...
COS部分算出來是1/2^6...
但這樣tan的值就是7..
而非larson大大所算的 -7 了
我附上我的計算過程..
可以請善心人士幫我看一下我哪裡出錯了嗎?
感謝~
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1488&k=51090890c44f3de8bea8e598fbe742dc&t=1732253820
作者: tsusy 時間: 2012-12-31 19:23 標題: 回復 47# idontnow90 的帖子
因為 cos 的乘積中有三項是負的
所以差一個負號
作者: idontnow90 時間: 2012-12-31 21:38
我可以理解寸絲您說的 cos 的乘積中有三項是負的
我只是不知道我的計算過程中是哪一行出了錯誤??
還請指正..感謝
作者: weiye 時間: 2012-12-31 22:13 標題: 回復 49# idontnow90 的帖子
\(\displaystyle 1+\omega^k=2\cos\frac{k\pi}{7}\left(\cos\frac{k\pi}{7}+i\sin\frac{k\pi}{7}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=2\left|\cos\frac{k\pi}{7}\right|\) （右上方第二行要記得兩邊是同時加上絕對值）
若 \(k=1,2,3\)，則 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=2\cos\frac{k\pi}{7}\)
若 \(k=4,5,6\)，則 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=-2\cos\frac{k\pi}{7}\)
作者: idontnow90 時間: 2013-1-1 12:07
恍然大悟~~謝謝!!
作者: idontnow90 時間: 2013-1-2 00:01
想請教計算5.
若寫成矩陣會變成...
[2 -1]
[0 2]
特徵值重根..沒辦法對角化...
是不是就無法用矩陣來解了呢??
感謝
作者: tsusy 時間: 2013-1-2 08:27 標題: 回復 52# idontnow90 的帖子
還是可以，以對角矩陣和 nilpotent matrix 分解之
\( A=2I+B
, A=\begin{bmatrix}2 & -1\\
0 & 2
\end{bmatrix}
, B=\begin{bmatrix}0 & -1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
, I=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \)
再以二項式定理展開 \( A^n \) 即可
作者: tuhunger 時間: 2013-4-26 16:58 標題: 計算第一題
[quote]原帖由 mandy 於 2012-7-1 05:46 PM 發表
BY 林美國 老師提供
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1628&k=ce32c44c89985597c46a42d8b0b07bd4&t=1732253820
作者: lyingheart 時間: 2013-4-27 19:24 標題: 回復 54# tuhunger 的帖子
可以稍微修正一下
\(\displaystyle f '(x)=12x^2+24x+k=12(x-\alpha)(x-\beta) \)
接著用長除法可以得到 \( f(x) \) 除以 \( f '(x) \) 的餘式為 \(\displaystyle (\frac{2k}{3}-8)(x-\frac{1}{2}) \)
\(\displaystyle f(\alpha) f(\beta)=(\frac{2k}{3}-8)^2(\alpha-\frac{1}{2})(\beta-\frac{1}{2}) \)
\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{f '(\frac{1}{2})}{12} \)
\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{k+15}{12} < 0 \)
所以得到 \( k < -15 \)
[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-27 07:26 PM 編輯 ]
作者: lyingheart 時間: 2013-4-27 19:51
最近才做到這份，關於計算第四題，題目問的既然是 \( \tan \) ，
那麼可以記一下 \( \tan \) 的 \( n \) 倍角公式:
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html
裡面的第(20),(24)~(28)式。
回到本題，令 \( \tan x=t \)
\(\displaystyle \tan 7x=\frac{7t-35t^3+21t^5-t^7}{1-21t^2+35t^4-7t^6} \)
因為 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7}=0 \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)
所以分子部份 \( 7t-35t^3+21t^5-t^7=0 \) 的七個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)
但 \( \tan \pi=0 \) ，故 \( 7-35t^2+21t^4-t^6=0 \) 的六個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6 \)
由根與係數關係 \(\displaystyle \prod_{k=1}^{6}\tan \frac{k\pi}{7}=-7 \)
作者: frombemask 時間: 2014-4-24 23:21
請教計算第二題該如何做呢?
作者: thepiano 時間: 2014-4-25 11:15
計算第 2 題
4 - 2√3cosA = 2 - 2cosN
cosN = √3cosA - 1
(sinN)^2 = -3(cosA)^2 + 2√3cosA
S^2 + T^2 = [(√3/2)sinA]^2 + [(1/2)sinN]^2 = -(3/2)(cosA)^2 + (√3/2)cosA + 3/4
易知 cosA = √3/6 時，S^2 + T^2 有最大值 7/8
作者: frombemask 時間: 2014-4-25 18:49
了解了 謝謝
作者: panda.xiong 時間: 2014-5-28 11:34 標題: 回復 2# bugmens 的帖子
請問第9題利用行列式的那個方法是怎麼來的？
作者: hua0127 時間: 2014-5-28 16:03 標題: 回復 60# panda.xiong 的帖子
印象中是這樣，有錯還麻煩先進們指證XD
令\({{A}_{n}}=a{{x}^{n}}+b{{y}^{n}}\) , 由遞迴知\({{A}_{n+2}}=\left( x+y \right){{A}_{n+1}}-\left( xy \right){{A}_{n}}\)
移項得到 \({{A}_{n}}\left( xy \right)+{{A}_{n+1}}\left( -(x+y) \right)+{{A}_{n+2}}=0,\forall n\ge 0\)
考慮方程組\(\left\{ \begin{align}
& {{A}_{0}}p+{{A}_{1}}q+{{A}_{2}}=0 \\
& {{A}_{1}}p+{{A}_{2}}q+{{A}_{3}}=0 \\
& {{A}_{2}}p+{{A}_{3}}q+{{A}_{4}}=0 \\
\end{align} \right.\) 的幾何意義為三直線共點\(\left( p,q \right)=\left( xy,-(x+y) \right)\), 所以 \(\det \left( \begin{matrix}
{{A}_{0}} & {{A}_{1}} & {{A}_{2}} \\
{{A}_{1}} & {{A}_{2}} & {{A}_{3}} \\
{{A}_{2}} & {{A}_{3}} & {{A}_{4}} \\
\end{matrix} \right)=0\) , \({{A}_{4}}\)即為所求。
[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-28 04:05 PM 編輯 ]
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