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標題: 101中正高中二招 [打印本頁]

作者: mandy    時間: 2012-6-28 00:36     標題: 101中正高中二招

請問

1. 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+........+17(1+3+6+.....+153)=?

2. 一線段AB,AB長為根號3, 若AM=MN=NB, 且三角形AMB面積為S, 三角形MNB面積為T,求S^2+T^2之最大值=?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-28 06:39 AM 編輯 ]

附件: 101中正高中二招.pdf (2012-6-28 06:39, 190.57 KB) / 該附件被下載次數 8680
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1319&k=81a7dddbb3f128902ccac34d720e094f&t=1642446893
作者: bugmens    時間: 2012-6-28 06:56

7.
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)?
[解答]
\( f(0)=0 \),\( f(1)=1 \),\( f(2)=1+2(1+3)=9 \),\( f(3)=1+2(1+3)+3(1+3+6)=39 \),\( f(4)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)=119 \)
\( f(5)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)=294 \)
\( f(6)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)+6(1+3+6+10+15+21)=630 \)

\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 9 & & 39 & & 119 & & 294 & & 630 \cr
& 1 & & 8 & & 30 & & 80 & & 175 & & 336 & \cr
& & 7 & & 22 & & 50 & & 95 & & 161 & & \cr
& & & 15 & & 28 & & 45  & & 66 & \cr
& & & & 13 & & 17 & & 21 & & \cr
& & & & & 4 & & 4 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+7 \times C_2^n+15 \times C_3^n+13 \times C_4^n+4 \times C_5^n \)

8.
將6個A,6個B及6個C共18個字母排成一列,使得前6個字母沒有A,中間6個字母沒有B,最後6個字母沒有C,試問共有多少種排列方式?
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

9.
若\( a,b,x,y \in R \),\( \displaystyle \cases{a+b=4 \cr ax+by=13 \cr ax^2+by^2=41 \cr ax^3+by^3=127} \),求\( ax^4+by^4 \)
https://math.pro/db/thread-799-1-1.html
[另解]
\( \Bigg\vert\; \matrix{4 & 13 & 41\cr 13 & 41 & 127\cr 41 & 127 & a_4} \Bigg\vert\;=0 \)
\( a_4=389 \)

計算題
3.
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \),若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數,求\( [\; S ]\;= \)?
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

4.
求\( \displaystyle tan \frac{\pi}{7} \cdot tan \frac{2\pi}{7} \cdot tan \frac{3\pi}{7} \cdot tan \frac{4\pi}{7} \cdot tan \frac{5\pi}{7} \cdot tan \frac{6\pi}{7}= \)?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 08:36 PM 編輯 ]
作者: fredslong    時間: 2012-6-28 17:09

1. 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+........+17(1+3+6+.....+153)=?

這題括號內其實是(1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)) = n(n+1)(n+2)/6  這樣的形態
再來就用級數去求就可以~

注意的是會出現求級數K^4  我是用 級數(K+1)^5 - K^5 去導的
而這方法剛好是計算最後一題問的東西!!
作者: bluewing    時間: 2012-6-29 10:14

請問填充第6題橢圓焦點的座標答案是否有誤??

我找出來的是同為正,同為負,並非答案給的一正一負,

另外請問老師們,計算第1、2題應該怎麼處理呢??

能否稍微指點一下,謝謝您。

[註]:已在美夢成真討論區看到鋼琴老師的詳解,謝謝您。

[ 本帖最後由 bluewing 於 2012-6-30 10:09 PM 編輯 ]
作者: cherryhung    時間: 2012-6-30 21:04     標題: 請教中正二招 填充5

我很喜歡這個題目求正交弦長,但求不出來 可否指點一下,謝謝
作者: 老王    時間: 2012-6-30 22:40     標題: 回復 5# cherryhung 的帖子

去年中正就考過了。
作者: cherryhung    時間: 2012-6-30 22:49     標題: 請教填充10

抱歉~這題我也想不出來 應該是有規律 請指點一下 謝謝
作者: 老王    時間: 2012-6-30 23:24     標題: 回復 7# cherryhung 的帖子

下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發,沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進,直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點,所經過的稜邊數的期望值為   
[解答]
設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案


105.4.24補充
右圖為一個正二十面體,每邊長度均為1。有一螞蟻由\(A\)點出發,只走邊,且在頂點時轉向任意邊的機率相等,求走至\(M\)點距離之期望值?
(105板橋高中,https://math.pro/db/thread-2483-1-1.html)
作者: brace    時間: 2012-7-1 08:25     標題: 計算3

請教各位老師,計算3算出來的結果S在52.~與54之間,請問[S]要取多少?這題跟之前考古題比較感覺是特殊情況題

[ 本帖最後由 brace 於 2012-7-1 08:28 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-7-1 08:55     標題: 回復 9# brace 的帖子

計算 3. 做了一下,沒什麼問題 \( 52+\frac1{27}\leq S \leq 53 \)

也許是估計做的不夠準,而主要的誤差來源在於前幾項,

所以保留部分項,其它再估計吧
作者: mandy    時間: 2012-7-1 15:26

引用:
原帖由 老王 於 2012-6-30 10:40 PM 發表
去年中正就考過了。
請問老師:
填充5 和 100中正考題的截痕好像不一樣? 不知道我認為的對不對? 請問該如何做?
作者: mandy    時間: 2012-7-1 16:35

看了美夢成真板  計算第一題的解題過程 和我得不一樣
想請問我的做法那裏有問題?
f(x)=4x^3+12x^2+kx+4=0有三個相異實根
f'(x)=12x^2+24x+k=0 就有二相異實根
判別式大於0 得 k <12
作者: tsusy    時間: 2012-7-1 16:38     標題: 回復 12# mandy 的帖子

沒看題目,和其它解法,單就你的文字而言

「就有」兩個字,也就是單向的蘊含,而非等價
作者: mandy    時間: 2012-7-1 17:46

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-7-1 04:38 PM 發表
沒看題目,和其它解法,單就你的文字而言

「就有」兩個字,也就是單向的蘊含,而非等價
不懂也~~

原f(x)=0與x軸有三個交點
   f'(x)=0 有二相異實根 , 即f(x)=0 有相對極大與相對極小值
作者: tsusy    時間: 2012-7-1 19:18     標題: 回復 14# mandy 的帖子

來個錯誤示範的例子:求解 \( x=1 \)

\( x=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1 \) 或 \( -1 \)
每個箭頭邏輯都是對的,但不代表 \( x=\pm 1\) 是原方程式的解

以上,犯的錯誤是一樣的。
作者: FreeMan    時間: 2012-7-2 21:29

填充第3題似乎在哪見過=  =
作者: FreeMan    時間: 2012-7-2 21:33     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

B大~可以請問第7題使用方法的出處嘛?
作者: larson    時間: 2012-7-3 01:01

請問計算第4題,算出-7對嗎?我背了幾個公式算出來的,有其它方法嗎?
作者: tsusy    時間: 2012-7-3 08:36     標題: 回復 18# larson 的帖子

換成 \( \sin \), \( \cos \)

之後正餘弦的連乘積都是很常見的考題

令 \( \omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7} \),

則 \( (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)(x-\omega^5)(x-\omega^6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)

\( x =\pm 1 \) 代入,取絕值,可得正弦餘之連乘積
作者: larson    時間: 2012-7-3 12:38

謝謝!填充5的截痕之正焦弦長,解不出官方的答案!

填充第10題老王的方法:設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很神,但看不懂,可不可以解釋一下!!

另外想問以下相關題:(題目來源:台大數學系)

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 01:34 PM 編輯 ]

圖片附件: 台大數學101年甄選.JPG (2012-7-3 13:23, 24.67 KB) / 該附件被下載次數 3515
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1330&k=dd7daa82a303852c28ec4c8c885f1e68&t=1642446893


作者: wayloon    時間: 2012-7-3 14:06     標題: 回復 20# larson 的帖子

去年中正那題截痕是拋物線,

今年填充5的截痕是橢圓,線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。

以上為小弟的想法,有錯誤請指正。

[ 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 ]
作者: larson    時間: 2012-7-3 20:17

引用:
原帖由 wayloon 於 2012-7-3 02:06 PM 發表
去年中正那題截痕是拋物線,

今年填充5的截痕是橢圓,線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點

以上為小弟的想法,有錯誤請指正。 ...
如上面紅字的部分是怎麼來的?
作者: mandy    時間: 2012-7-3 21:18

引用:
原帖由 larson 於 2012-7-3 12:38 PM 發表
謝謝!填充5的截痕之正焦弦長,解不出官方的答案!

填充第10題老王的方法:設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很 ...
x=(1/4)(1+y)  *4   =1+y
 ^^^^^^^^^^^^^
   A到任一中點的機率是1/4, 有四條選擇

y=(1/4)*1    +   (1/4)(1+y)             +(1/4)(1+y)                    + (1/4)(1+x)
    ^^^^^^^^         ^^^^^^^^^^^                ^^^^^^^^^^^^^                       ^^^^^^^^^^^^
    B-->C    B-->另ㄧ個中點-->C    B-->另ㄧ個中點-->C     B-->A-->C
作者: 老王    時間: 2012-7-3 21:40     標題: 回復 20# larson 的帖子

感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。
至於今年台大數學推甄題解,其實我已經寫好了,只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~

圖片附件: 101台大數學4-1.jpg (2012-7-3 21:40, 18.52 KB) / 該附件被下載次數 3921
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1334&k=9d9fc3238cb00edbdd1008450d4d33fa&t=1642446893



圖片附件: 101台大數學4-2.jpg (2012-7-3 21:40, 19.01 KB) / 該附件被下載次數 3827
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1335&k=c5e0ccaa68810eea53189403e4815153&t=1642446893


作者: wayloon    時間: 2012-7-3 22:01     標題: 回復 22# larson 的帖子

http://goo.gl/sDR8I

請參考本篇文章主題二,有相關內容和證明

這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念,有錯請指正
作者: larson    時間: 2012-7-3 22:02

謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆!太感激了!

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 ]
作者: katama5667    時間: 2012-7-3 22:18     標題: 回復 20# larson 、21# wayloon 的帖子

填充 5


我畫了個圖,如下:




因為100年中正一招時,可知綠色的軌跡為抛物線,


現今我將底圓以點 \(B\) 為定點,順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\),則


所以 \(P,~Q\) 將順著此抛物線向上滑動到 \(P',~Q'\) 形成所求橢圓的短軸



利用 \(y=tx^2\) 定座標 \(E(0,0),Q(2,-2)\),可算出 \(t=-\frac{1}{2}\)  

而 \(Q'(k,-1)\) 代入可求出 \(k=\sqrt{2}\)


所以 \(b=\sqrt{2}\)


又 \(a=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)



所以正焦弦為 \(\large \frac{2b^2}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)



[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-7-4 00:07     標題: 回復 3# fredslong 的帖子

填充 7. 其實應該改寫成組合數,才會有 Fu

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)

類題

100 文華高中代理 填充16
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中, \( x^{4} \) 項的係數。

100 中壢高中 填充9
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。
作者: 阿光    時間: 2012-7-4 06:24

想請教填充2和4題,謝謝
作者: katama5667    時間: 2012-7-4 07:20     標題: 回復 29# 阿光 的帖子

填充2

就是要找 \(x^2+2(a-c)x+(b-d)=0\) 無實數解的情形,
即 \((a-c)^2<b-d\) 的機率

(1)\(|a-c|=0\)且\(b-d\geq 1\):\(\frac{6}{36}\times \frac{15}{36}\)
(2)\(|a-c|=1\)且\(b-d\geq 2\):\(\frac{10}{36}\times \frac{10}{36}\)
(3)\(|a-c|=2\)且\(b-d\geq 5\):\(\frac{8}{36}\times \frac{1}{36}\)

所以答案為 \(\frac{90+100+8}{36\times 36}=\frac{11}{72}\)

填充4

\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

再考慮 \((1+x)^{2n-1}\) 展開後 \(x^{n}\) 的係數: \(C^{2n-1}_{n}\)



\((1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}\)

\(=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )\)

乘開後 \(x^{n}\) 的係數為 \(\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

所以,\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}\)

套入原題中,\(\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}\)

故 \((m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-7-4 23:39     標題: 回復 21# wayloon 的帖子

您的想法正確,可算得半長軸 \( a=\sqrt{3} \)

而內切圓半徑則由面積 \( rs=\triangle BDA =2\sqrt{3} \) 可得 \( r = \sqrt{3}-1 \)

注意 \( \angle D \) 是直角,因此切點到 D 的距離恰為半徑

因此 \( c=a-r=1\Rightarrow b=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2b^{2}}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}} \)
作者: mandy    時間: 2012-7-5 00:04

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-7-4 12:07 AM 發表
填充 7. 其實應該改寫成組合數,才會有 Fu

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)

類題

100 文華 ...
請問寸絲老師: 如何觀察出 C(n+2,3) 及 係數一般都只會寫n ?
作者: katama5667    時間: 2012-7-5 09:25     標題: 回復 32# mandy 的帖子

你把巴斯卡三角形係數寫出來就看得到了!藍色上一排即題目中括號內的數字!



(圖片取自:http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/DynamicProgramming.html,並自行上色)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-5 09:28 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-7-5 13:06     標題: 回復 29# 阿光 的帖子

填充4. 100北港高中 考過了

#30 katama5667 老師已解,小弟來提供另一個做法

\( \displaystyle \frac{\sum\limits _{k=1}^{2012}kC_{k}^{2012}C_{2012-k}^{2012}}{C_{2012}^{2024}} \) 可視為箱中有 2012 個白球和 2012 個黑球,取出 2012 個球,白球數的期望值

而該期望值,可視為 1 個個慢慢取,每次取得白球的機率為 \( \frac{1}{2} \),由期望值的加性得 \( \frac{2012}{2} \)

故其分子為 \( C_{2012}^{4024} \cdot \frac{2012}{2} = \frac{4023!}{2011!2011!} = 2012 C^{4023}_{2011}\)
作者: cherryhung    時間: 2012-7-7 00:14     標題: 回復 27# katama5667 的帖子

請問為何是順著圓錐面45度,而不是30度?
作者: katama5667    時間: 2012-7-7 20:32     標題: 回復 35# cherryhung 的帖子

不好意思,我寫錯了!等等我更正!
已更正完成!

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-15 08:15 AM 編輯 ]
作者: wallydx    時間: 2012-7-15 06:17     標題: 請教填充第一題

小弟愚昧..實在想不出來填充第一題如何解題...請各位老師與大大指點迷津....
作者: andyhsiao    時間: 2012-7-15 09:00     標題: 回復 37# wallydx 的帖子

P+3q+4r=x.....(1)
2p+q+3r=y.....(2)
p=1-q-r...........(3)
(3)代入(1)和(2)得
2q+3r=x-1.....(4)
-q+r=y-2........(5)
解聯立得
5r=x+2y-5>=0.....(6)
5q=x-3y+5>=0....(7)
5p=-2x+y+5>=0..(8)
.......畫圖得一三角形圖形..即可得面積
作者: wallydx    時間: 2012-7-15 12:43     標題: 回復 38# andyhsiao 的帖子

感謝andyhsiao老師的指導^^
作者: casanova    時間: 2012-7-22 09:06

引用:
原帖由 katama5667 於 2012-7-3 10:18 PM 發表
填充 5
我畫了個圖,如下:


因為100年中正一招時,可知綠色的軌跡為抛物線,
現今我將底圓以點 \(B\) 為定點,順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\),則
所以 \(P,~Q\) 將順 ...
\(Q'(k,-1)\) 為何知道它的\(y\)坐標是\(-1\)呢?

[ 本帖最後由 casanova 於 2012-7-22 09:08 AM 編輯 ]
作者: Sandy    時間: 2012-12-14 14:15

可以請問填充3的f(x)要怎麼找嗎?!
我對這樣的題目還沒抓到訣竅><
作者: weiye    時間: 2012-12-14 14:47     標題: 回復 41# Sandy 的帖子

填充第3題,與101中壢高中的填充第4題相同,

寸絲老師解過,請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1377&page=6#pid5983
作者: Sandy    時間: 2012-12-20 11:33

引用:
原帖由 weiye 於 2012-12-14 02:47 PM 發表
填充第3題,與101中壢高中的填充第4題相同,

寸絲老師解過,請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1377&page=6#pid5983
感謝瑋岳老師
作者: Sandy    時間: 2012-12-21 11:33

請問填充9
用克拉馬算△,△a
解x和y,算出來會有兩個答案
(x,y)=(2,3) 或 (x,y)=(-3,2)
再帶回去題目,會算出兩個答案 一個是389 另一個是119
想請問一下要如何判斷答案是389而非119呢?!
謝謝^^
作者: weiye    時間: 2012-12-21 12:36     標題: 回復 44# Sandy 的帖子

題目的已知是由四個未知數所組成的四個方程式,

所以可以想看看有沒有哪個方程組中的方程式~

在你的方法解題時還沒有出現過呢?




填充第 9 題:

因為 \((ax^n+by^n)(x+y)=ax^{n+1}+by^{n+1}-xy(ax^{n-1}+by^{n-1})\) 其中 \(n\) 為正整數,

所以 \((ax+by)(x+y)=ax^2+by^2-xy(a+b)\) 且 \((ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^3-xy(ax+by)\)

\(\Rightarrow 13(x+y)=41-4xy\) 且 \(41(x+y)=127-13xy\)

解聯立方程式可得 \(x+y=5\) 且 \(xy=6\) (其實可以順便解出來 \((x,y)=(2,3)\) 或 \((3,2)\) ~哈)

因此 \(5(ax^n+by^n)=ax^{n+1}+by^{n+1}+6(ax^{n-1}+by^{n-1})\) 其中 \(n\) 為正整數,

\(\Rightarrow ax^{n+1}+by^{n+1}=5(ax^n+by^n)-6(ax^{n-1}+by^{n-1})\)

\(\Rightarrow ax^4+by^4=5(ax^3+by^3)-6(ax^2+by^2)=5\times127-6\times41=389\)
作者: Sandy    時間: 2012-12-21 14:43

引用:
原帖由 weiye 於 2012-12-21 12:36 PM 發表
題目的已知是由四個未知數所組成的四個方程式,

所以可以想看看有沒有哪個方程組中的方程式~

在你的方法解題時還沒有出現過呢?




填充第 9 題:

因為 \((ax^n+by^n)(x+y)=ax^{n+1}+by^{n+1}-xy(ax^{n-1}+by^{n-1})\) ...
是我算錯了,另一組答案是(2,3)並非(-2,3)
謝謝瑋岳老師提供的方法,而且這個方法比較簡單不會算錯(淚)

[ 本帖最後由 Sandy 於 2012-12-22 01:24 AM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1483&k=fcc0744a53b1c5653fa21086b8944482&t=1642446893


作者: idontnow90    時間: 2012-12-31 17:08

我照寸絲大大的方法做..
sin部分算出來是7/2^6...
COS部分算出來是1/2^6...
但這樣tan的值就是7..
而非larson大大所算的 -7 了
我附上我的計算過程..
可以請善心人士幫我看一下我哪裡出錯了嗎?
感謝~

圖片附件: 734971_3683424743188_1276162326_n.JPG (2012-12-31 17:08, 365.16 KB) / 該附件被下載次數 3638
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1488&k=0f38c6ee402ba1aee4c03947fa85085c&t=1642446893


作者: tsusy    時間: 2012-12-31 19:23     標題: 回復 47# idontnow90 的帖子

因為 cos 的乘積中有三項是負的
所以差一個負號
作者: idontnow90    時間: 2012-12-31 21:38

我可以理解寸絲您說的 cos 的乘積中有三項是負的
我只是不知道我的計算過程中是哪一行出了錯誤??
還請指正..感謝
作者: weiye    時間: 2012-12-31 22:13     標題: 回復 49# idontnow90 的帖子

\(\displaystyle 1+\omega^k=2\cos\frac{k\pi}{7}\left(\cos\frac{k\pi}{7}+i\sin\frac{k\pi}{7}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=2\left|\cos\frac{k\pi}{7}\right|\) (右上方第二行要記得兩邊是同時加上絕對值)

若 \(k=1,2,3\),則 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=2\cos\frac{k\pi}{7}\)

若 \(k=4,5,6\),則 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=-2\cos\frac{k\pi}{7}\)
作者: idontnow90    時間: 2013-1-1 12:07

恍然大悟~~謝謝!!
作者: idontnow90    時間: 2013-1-2 00:01

想請教計算5.
若寫成矩陣會變成...
[2 -1]
[0  2]
特徵值重根..沒辦法對角化...
是不是就無法用矩陣來解了呢??
感謝
作者: tsusy    時間: 2013-1-2 08:27     標題: 回復 52# idontnow90 的帖子

還是可以,以對角矩陣和 nilpotent matrix 分解之

\( A=2I+B
, A=\begin{bmatrix}2 & -1\\
0 & 2
\end{bmatrix}
, B=\begin{bmatrix}0 & -1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
, I=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \)

再以二項式定理展開 \( A^n \) 即可
作者: tuhunger    時間: 2013-4-26 16:58     標題: 計算第一題

[quote]原帖由 mandy 於 2012-7-1 05:46 PM 發表
BY 林美國 老師提供

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作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 19:24     標題: 回復 54# tuhunger 的帖子

可以稍微修正一下
\(\displaystyle f '(x)=12x^2+24x+k=12(x-\alpha)(x-\beta) \)

接著用長除法可以得到 \( f(x) \) 除以 \( f '(x) \) 的餘式為 \(\displaystyle (\frac{2k}{3}-8)(x-\frac{1}{2}) \)

\(\displaystyle f(\alpha) f(\beta)=(\frac{2k}{3}-8)^2(\alpha-\frac{1}{2})(\beta-\frac{1}{2}) \)

\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{f '(\frac{1}{2})}{12} \)

\(\displaystyle =(\frac{2k}{3}-8)^2 \times \frac{k+15}{12} < 0 \)

所以得到 \( k < -15 \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-27 07:26 PM 編輯 ]
作者: lyingheart    時間: 2013-4-27 19:51

最近才做到這份,關於計算第四題,題目問的既然是 \( \tan \) ,
那麼可以記一下 \( \tan \) 的 \( n \) 倍角公式:
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html
裡面的第(20),(24)~(28)式。

回到本題,令 \( \tan x=t \)
\(\displaystyle \tan 7x=\frac{7t-35t^3+21t^5-t^7}{1-21t^2+35t^4-7t^6} \)

因為 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7}=0 \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)

所以分子部份 \( 7t-35t^3+21t^5-t^7=0 \) 的七個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6,7 \)

但 \( \tan \pi=0 \) ,故 \( 7-35t^2+21t^4-t^6=0 \) 的六個根就是 \(\displaystyle \tan \frac{k\pi}{7} \) for \( k=1,2,3,4,5,6 \)

由根與係數關係 \(\displaystyle \prod_{k=1}^{6}\tan \frac{k\pi}{7}=-7 \)
作者: frombemask    時間: 2014-4-24 23:21

請教計算第二題該如何做呢?
作者: thepiano    時間: 2014-4-25 11:15

計算第 2 題
4 - 2√3cosA = 2 - 2cosN
cosN = √3cosA - 1
(sinN)^2 = -3(cosA)^2 + 2√3cosA

S^2 + T^2 = [(√3/2)sinA]^2 + [(1/2)sinN]^2 = -(3/2)(cosA)^2 + (√3/2)cosA + 3/4
易知 cosA = √3/6 時,S^2 + T^2 有最大值 7/8
作者: frombemask    時間: 2014-4-25 18:49

了解了    謝謝
作者: panda.xiong    時間: 2014-5-28 11:34     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

請問第9題利用行列式的那個方法是怎麼來的?
作者: hua0127    時間: 2014-5-28 16:03     標題: 回復 60# panda.xiong 的帖子

印象中是這樣,有錯還麻煩先進們指證XD
令\({{A}_{n}}=a{{x}^{n}}+b{{y}^{n}}\) , 由遞迴知\({{A}_{n+2}}=\left( x+y \right){{A}_{n+1}}-\left( xy \right){{A}_{n}}\)
移項得到 \({{A}_{n}}\left( xy \right)+{{A}_{n+1}}\left( -(x+y) \right)+{{A}_{n+2}}=0,\forall n\ge 0\)
考慮方程組\(\left\{ \begin{align}
  & {{A}_{0}}p+{{A}_{1}}q+{{A}_{2}}=0 \\
& {{A}_{1}}p+{{A}_{2}}q+{{A}_{3}}=0 \\
& {{A}_{2}}p+{{A}_{3}}q+{{A}_{4}}=0 \\
\end{align} \right.\)  的幾何意義為三直線共點\(\left( p,q \right)=\left( xy,-(x+y) \right)\), 所以 \(\det \left( \begin{matrix}
   {{A}_{0}} & {{A}_{1}} & {{A}_{2}}  \\
   {{A}_{1}} & {{A}_{2}} & {{A}_{3}}  \\
   {{A}_{2}} & {{A}_{3}} & {{A}_{4}}  \\
\end{matrix} \right)=0\) , \({{A}_{4}}\)即為所求。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-28 04:05 PM 編輯 ]




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