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標題: 101田中高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2012-5-19 17:20 標題: 101田中高中

題目在附件

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作者: bugmens 時間: 2012-5-19 17:20

1.
設a、b為實數，滿足\( (a+bi)^{2003}=a-bi \)的數對\( (a,b) \)有多少組？
(A)2002　(B)2003　(C)2004　(D)2005

實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \))，則數對\( (a,b) \)有組解
(101文華高中，https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html)

Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001　(B)1002　(C)2001　(D)2002　(E)2004
(2002AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2002)

7.
某班有48個學生，某次考試，經計算得算術平均數為70分，標準差為S分，後來發現成績登錄錯誤，A生得80分卻被誤記為50分，B生得70分而被誤記為100分，更正後重算得標準差為\( S_1 \)，則下列敘述何者正確？
(A)\( S_1<S-5 \)　(B)\( S=S_1 \)　(C)\( S-5 \le S_1<S \)　(D)\( S<S_1\le S+5 \)

某班有48名學生，某次數學考試之成績，經計算得算術平均數為70分，標準差為S分。後來發現成績登錄有誤，某甲得80分卻誤記為50分，某乙得70分卻誤記為100分，更正後重算得標準差為\( S_1 \)分，試問\( S_1 \)與S之間，有下列哪種大小關係？
(n個數值\( x_1,x_2,...,x_n \)的標準差公式為\( \displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2} \)，而\( \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \))
(A)\( S_1<S-5 \)　(B)\( S-5 \le S_1<S \)　(C)\( S_1=S \)　(D)\( S<S_1\le S+5 \)　(E)\( S+5<S_1 \)
(89大學聯考自然組試題，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ma/M2000A.swf)

計算7.
半徑a的半球體之容器裝滿水，今慢慢地將之傾斜\( 30^o \)，求流出水量的體積。

將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則留出水量之體積？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？
(99高雄市聯招，https://math.pro/db/thread-975-1-4.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-19 08:06 PM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2012-5-19 19:50 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

今天從中壢趕下去考試，這份考題不難寫，選擇題第一題今年的文華高中就有考，剛自己預估一下分數。依照去年的經驗，要進入複試要很拼吧。大家在來一起討論這份考題吧。

這一題在文華高中考完後，有確實做訂正的動作。所以很快就有寫出來。
選擇題第二題，我在寫得時候，也是每一個選項做因數分解，發現125＝5x5x5,  14!沒有三個5，所以就選125。
倒是第三題就有卡住了，不知道『最小多項式』為何，就把他當成特徵多項式來想。結果就錯了。
第四題令 t=x^2 因為恰有兩個實數解，所以變換變數後，t的方程式就會有
(1) 判別式大於等於0  且 (2) 兩根之積<0  這樣對x就會有兩相異實根，兩虛根。恰好兩個實數解就可以求出a的範圍，找到a的最小值

計算題第七題，去年得竹北高中，填充題最後一題也有考。這個題目在徐氏數學DIY裡面有出現。

選擇題第六題，可以先求出直線與Z軸的交點B。再利用參數式代入球體方程式。可以解出A，C兩點。
球體與直線旋轉後，切割出來的兩個圓形的半徑。兩個直角三角形正好相似。因此大圓與小圓的半徑比＝AB:BC
算出來是  4比3 因此面積比就是  16比9

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-21 08:26 AM 編輯 ]

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作者: shingjay176 時間: 2012-5-19 21:09 標題: 回復 3# shingjay176 的帖子

選擇題第九題，求反矩陣存在的機率。

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作者: Ellipse 時間: 2012-5-19 22:06

計算6
利用瑕積分來做
可是算到最後答案是3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]
用這樣表示就好
解答寫3[2^(1/3)+1]好像會有問題
因為後面的(-1)^(1/3)不代表-1
用mathematica算這題的近似值=2.27976 - 2.59808*i
因為它把(-1)^(1/3)定義為cos60°+i*sin60°

作者: shingjay176 時間: 2012-5-19 22:10 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

這題不是用變換變數，令t=x-1，就可以積分出來勒。
(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎？？

作者: Ellipse 時間: 2012-5-19 22:19

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-19 10:10 PM 發表
這題不是用變換變數，令t=x-1，就可以積分出來勒。
(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎？？

是要用這樣做沒錯
如令t=x-1
就要分[-1,0]與[0,2]來討論,不然會被扣分,甚至於0分~
因為在t=0時,y值不存在,
最後面要這樣寫
lim{t->0-} 3[t^(1/3)-(-1)^(1/3)] + lim{t->0+} 3[2^(1/3)-(t)^(1/3)]
=3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]

高中的課本定義a^(1/3)這種"有理數指數" ,有說a>0
若是(-1)^(1/3)這東西要很小心定義,不能亂寫

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:47 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2012-5-19 22:29 標題: 回復 7# Ellipse 的帖子

謝啦。瞭解了，考試時候真的沒有想到那麼仔細，t=0時， x=1，造成分母為0，會產生無意義的情形，希望保佑只有扣少許的分數囉。真的嚴重的話，應該會得0分，觀念有嚴重瑕疵。用極限來寫，就是要避開0，用左極限與右極限寫喔。

作者: 喬峰 時間: 2012-5-20 05:55

積分那題不用阿,令X=1+(tanθ)^3 , dx=3(tanθ)^2*(secθ)^2 dθ
上下限就是3π/4 和arctan2^(1/3) ,這樣就可以做出來了

作者: peter579 時間: 2012-5-20 07:14

選擇第八題，有點不大懂
看到試題答案上寫這個有發散。不知為何。

這個數列不是收斂於 1嗎…

另外(B)、(C)是用 n+1項與 n項比較就可以了嗎…還是用其它方法呢。

作者: Ellipse 時間: 2012-5-20 09:22

引用:

原帖由 peter579 於 2012-5-20 07:14 AM 發表
選擇第八題，有點不大懂
看到試題答案上寫這個有發散。不知為何。

這個數列不是收斂於 1嗎…

另外(B)、(C)是用 n+1項與 n項比較就可以了嗎…還是用其它方法呢。 ...

(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:27 AM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-5-20 12:11

想請教選擇第3, 4題和計算第4題第(3)小題,謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-5-20 15:36

引用:

原帖由阿光於 2012-5-20 12:11 PM 發表
想請教選擇第3, 4題和計算第4題第(3)小題,謝謝

計算第4題第(3)
線性代數告訴我們
如果一個矩陣可以對角化
那麼它的代數重度(AM :Algebraic Multiplicity)
就要等於幾何重度(GM:Geometric Multiplicity)

這題假設A是那個第一小題答案
計算det(A-t*I)=0 ,求出t=2,2,-4
當t=2時,AM=2
而3-Rank(A-2*I)=3-2=1
GM=1
因為AM不等於GM
所以A不能對角化~

PS:剛剛還把塵封已久的大學線性代數原文書拿出來,再確認一次觀念~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 03:52 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-5-20 18:44 標題: 回復 12# 阿光的帖子

選擇 3. 就是對角化或 Jordan form 的問題

計算小弟懶得作了，交給 Wolframe Alpha 好了 Eigensystem[{{5, -6, -6}, {-1, 4, 2}, {3, -6, -4}}]

算出 \( \lambda_1 =2,\, v_1=(2,0,1)^t \), \( \lambda_2 = 2,\, v_2=(2,1,0)^t \), \( \lambda_3 =1,\, v_3=(3,-1,3)^t \)

所以可對角化，故選 (C)。

以上，如果還有問題的話，那代表要向橢圓兄學習，回去翻翻線性代數吧
選擇 4.

令 \(y=x^{2} \), 則 \(y^{2}-2(3a+1)y+7a^{2}+3a=0 \) 有恰一負根。

而此二次式之圖形頂點在 \(x=3a+1 \) 處，開口向上。

若 \(7a^{2}+3a<0 \)，則一負一正根。若 \(7a^{2}+3a>0 \)，則二正或正負或無實根。

若 \(7a^{2}+3a=0 \)，則僅當頂點左邊時，即 \(3a+1<0 \)，有一負根。

\(\Rightarrow-\frac{3}{7}<a<0\vee a=-\frac{3}{7}\Rightarrow-\frac{3}{7}\leq a<0 \)

以上討論，如有遺漏錯誤，麻請指正

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 06:58 PM 編輯 ]

作者: Pacers31 時間: 2012-5-21 15:55 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

想請問選擇4，有點疑問

如果我以a = -3/7代入原方程式，得

\(x^4+(4/7)x^2=0\)，意思是說二重實根x=0算是兩實根囉？
（感謝tsusy大！一看題目就很直覺判斷成兩實根相異了＠＠"）

作者: tsusy 時間: 2012-5-21 16:05 標題: 回復 15# Pacers31 的帖子

答案已經在問題中了

不是已經寫 "二"重實根了嗎？

作者: rudin 時間: 2012-5-22 14:10 標題: 計算第五題

想請問答案是否有問題？

作者: Ellipse 時間: 2012-5-22 14:33

引用:

原帖由 rudin 於 2012-5-22 02:10 PM 發表
想請問答案是否有問題？

沒有問題~
注意它的答案表法
不是寫成x的多項式

作者: rudin 時間: 2012-5-22 15:24

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-22 02:33 PM 發表

沒有問題~
注意它的答案表法
不是寫成x的多項式

謝謝

作者: kyqqman 時間: 2012-5-22 19:15

請教計算第五題
謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-5-22 19:36 標題: 回復 20# kyqqman 的帖子

計算 5

作法 1. 令 \( f(x) =(x-1)^3q(x) + (ax^2+bx+c) \), 則有

\( f(1) = a+b+c \), \( f'(1)= 2a+b \), \( f''(1) = 2a \)

解以上聯立方程式

作法 2. 利用二項式定理 \( x^{n+1}=[(x-1)+1]^{n+1} \), \( x^{n}=[(x-1)+1]^{n} \)

展開，3 次以上被整除，留下 2 次以下的處理就可以了

作者: hua0127 時間: 2012-5-24 21:55

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表

(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散

(D) 也可考慮用極限比較測試法，跟調和級數的一般項 1/n 作極限比較，會發現極限為1
故原級數與調和級數同時收斂或同時發散，答案發散

作者: shingjay176 時間: 2012-5-25 07:50 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

用特徵多項式做出來，λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化，如何判斷可對角線化

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 07:51 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2012-5-25 08:06

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 03:36 PM 發表

計算第4題第(3)
線性代數告訴我們
如果一個矩陣可以對角化
那麼它的代數重度(AM :Algebraic Multiplicity)
就要等於幾何重度(GM:Geometric Multiplicity)

這題假設A是那個第一小題答案
計算det(A-t*I)=0 ,求出t= ...

代數重度，幾何重度，。不了解。

作者: weiye 時間: 2012-5-25 09:49

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-25 08:06 AM 發表
代數重度，幾何重度，。不了解。

algebraic multiplicity, geometric multiplicity

線性代數的課本裡面，應該在討論對角化（特徵根與特徵向量）那個章節，會講到。：Ｐ

作者: hua0127 時間: 2012-5-25 10:01

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-25 07:50 AM 發表
用特徵多項式做出來，λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化，如何判斷可對角線化

特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念，但他們有一些關係：
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理，c(A)=0 (矩陣，以下都為0矩陣)
(2) A的最小多項式的定義為存在一個次數最小（但要為正）的首項係數為1的多項式m(x)使得 m(A)=0
(3) 這樣定出來的最小多項式若存在，一定唯一（因為首項係數為1, 稱之為 monic polynomial)
(4) 根據定理，m(x) 會整除 c(x)
(5) 根據定理，若 A的特徵根 a, 則 m(a)=0 （純量）, 換句話說，若 A有特徵根 a , 則 (x-a) 整除 m(x)
(6) 根據定理，若有相異特徵根 a1,a2,...,ak 且 c(x)=((x-a1)^n1)((x-a2)^n2)...((x-ak)^nk), 則
   m(x)=((x-a1)^m1)((x-a2)^m2)...((x-ak)^mk) , 其中 1小於等於 mi 小於等於 ni , 對於所有 i
(7) 根據定理，若 A 可對角化且A有相異特徵根 a1,a2,...,ak 若且唯若 A的 m(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-ak)

故本題根據觀念，從答案中大概可推敲A的特徵值為 1,2, 驗證可對角化，可得到 A 的m(x)=(x-1)(x-2)
或直觀的去計算 A 的 c(x)=(x-1)(x-2)^2 故  m(x) =((x-1)^p) ((x-2)^q)
可知 p=1, q=1 or 2  , 從最小的次數開始檢驗即可

最後說明A什麼時候可對角化，就像前輩說的，當代數重根數等於幾何重根數的時候
若A(假設nxn)有特徵根a , 定義a在 c(x)中的重根數為代數重數 ; 定義a所張的特徵空間的維度 dim(V(a))為幾何重數
觀念上可能要去複習一下線代比較好，但可直接用 dim(V(a))= dim(ker(A-aI))=n-rank(A-aI) 記（這裡 I為單位矩陣）
有一個重要的性質， a的代數重根數恆大於等於幾何重根數。
故A可對角化的充要條件為所有A的相異特徵根均滿足相對應的代數重數等於幾何重數的時候。
若有錯誤也煩請指正。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-25 10:02 AM 編輯 ]

作者: shingjay176 時間: 2012-5-25 11:57

引用:

原帖由 weiye 於 2012-5-25 09:49 AM 發表

algebraic multiplicity, geometric multiplicity

線性代數的課本裡面，應該在討論對角化（特徵根與特徵向量）那個章節，會講到。：Ｐ

謝啦。我在去翻線代課本。

作者: shingjay176 時間: 2012-5-25 12:06

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-25 10:01 AM 發表

特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念，但他們有一些關係：
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理，c(A)=0 (矩陣，以下都為0 ...

謝謝你詳細的解說。

作者: shingjay176 時間: 2012-5-25 23:17

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表

(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散

D選項是調和級數,(1/2)+(1/3)+(1/4)+........
調和級數有背過，是發散級數

計算題第四題第二小題,行列式值算出來是-16,我在考場寫代表經過轉換後,變成反向,長度伸長16倍.
我這樣解釋有誤嗎??還望指正......

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 11:52 PM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2012-10-4 15:46 標題: 回復 25# weiye 的帖子

請教一下計算第七題
==我連碗都拿出來試了

作者: weiye 時間: 2012-10-4 16:12 標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

計算第7題

後註：剛剛突然想到，我若直接積分 \(\displaystyle \int_0^{\displaystyle \frac{a}{2}} \pi\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2dx\) ，那區塊的體積就是答案了~XDD。

圖片附件: IMAG0390.jpg (2012-10-4 16:17, 141.97 KB) / 該附件被下載次數 7885
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作者: nanpolend 時間: 2012-10-30 19:33

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表

(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散

(C)積分審斂法有做出來=1/ln2
請教一下(D)黎曼和積不太出來

作者: nanpolend 時間: 2012-11-1 19:17

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-22 07:36 PM 發表
計算 5

作法 1. 令 \( f(x) =(x-1)^3q(x) + (ax^2+bx+c) \), 則有

\( f(1) = a+b+c \), \( f'(1)= 2a+b \), \( f''(1) = 2a \)

解以上聯立方程式

作法 2. 利用二項式定理 \( x^{n+1}=[(x-1)+1]^{n+1} \), ...

這作法我同學想出來的較快
三種方法我都算過
直接綜合除法連除(x-1)
剩下的餘數
1.常數
2.(x-1)的係數
3.(x-2)^2的係數

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-11-5 02:52 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-11-1 19:36 標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

我也不會用黎曼和做它

(D) 還是比較判別法和 \( \frac{1}{n} \) 比值收斂到 1, 同斂散

至於計算 5, 本題中，綜合除法做起來，的確比較快的，因為除出來的的商很單純

如果稍稍改動一下數字，商可能就沒有這樣漂亮

個人還是比較喜歡二項式定理展開的招數

作者: casanova 時間: 2013-3-6 22:03

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表

(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散

請問選擇題第８題，如何用黎曼和做呢？
有人可以寫一下嗎？

作者: Ellipse 時間: 2013-3-7 22:13

引用:

原帖由 casanova 於 2013-3-6 10:03 PM 發表

請問選擇題第８題，如何用黎曼和做呢？
有人可以寫一下嗎？

當初想太快了~
應該是不行吧~

作者: cefepime 時間: 2016-9-20 23:52

選擇題 9. 以 1, 2, 4, 8 為元的所有 2x2 矩陣，假設每一個矩陣被選取的機會均等，則從中任選一個矩陣，其為可逆之機率為何?

解: 1 - [(1²+2²+3²+4²+3²+2²+1²) / 4⁴] = 53/64

計算證明題 5. 以 (x-1)³ 除 xⁿ⁺¹ - xⁿ- nx + (n-1) 之餘式為何?

解: 由泰勒展開式得 n(x-1)² + (1-n)(x-1) -1

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