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標題: 100基隆第一學期第一次 [打印本頁]

作者: dxdxs 時間: 2011-7-20 17:28 標題: 100基隆第一學期第一次

基隆要二招，這是一招題目，希望對大家有所幫助

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作者: bugmens 時間: 2011-7-20 23:04

感謝dxdxs分享題目，我先解決第一題，其他再請各位網友幫忙
\( f(x) \)為一2010次多項式，滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，其中\( k=1,2,3,...,2010 \)，求\( f(2012) \)之值？

設\( f(x) \)是一個98次的多項式，使得\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，\( k=1,2,...,99 \)。求\( f(100) \)的值？
(奧數教程　高一　第20講構造函數解題)
101.4.8補充
101中科實中也出了一模一樣的題目
https://math.pro/db/thread-1318-1-1.html

類似題
If \( P(x) \) denotes a polynomial of degree n such that \( \displaystyle P(k)=\frac{k}{k+1} \) for \( k=0,1,2,...,n \), determine \( P(n+1) \).
(USAMO 1975)

\( f(x) \)為三次多項式，且當\( x=1,2,3,4 \)時，\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)} \)，求\( f(5) \)？
(PTT數學版問題)

101.4.29補充
實係數多項式\( f(x) \)，若\( deg f(x)=2010 \)，且\( \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} \)，\( \forall k=1,2,3,...,2011 \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; \)值。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.10補充
多項式\( deg f(x)=2010 \)，\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \)，\( k=1,2,3,...,2011 \)，求\( f(2012)= \)
(101高雄中學，https://math.pro/db/thread-1345-1-1.html)

101.10.2補充
設f為一個2010次的多項式，且滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，k=1,2,3,…,2011。試求f(2012)的值。
(100全國高中數學能力競賽　台中區複賽試題(二)，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

104.12.6補充
設\( p(x) \)為一個八次多項式，若\( \displaystyle p(n)=\frac{1}{n} \)，\( n=1,2,3,\ldots,9 \)，則下列敘述何者正確？
(1)方程式\( xp(x)-1=0 \)恰有9個整數根　(2)\( p(x) \)的\(x^7\)項係數為\(-45\)　(3)\( \displaystyle p(10)=\frac{1}{10} \)　(4)\( p(11)=1 \)
(104玉井工商，https://math.pro/db/thread-2270-1-2.html)

105.4.18補充
已知多項式\( f(x) \)，且\( deg f(x)=104 \)，又當\( k=1,2,\ldots,105\)時，\( \displaystyle f(k)=\frac{2}{k} \)，求\( f(106) \)
(105新竹高中，https://math.pro/db/thread-2476-1-1.html)

105.4.30補充
設\(f\)為一個100次的多項式，且滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,101 \)。試求：(1)多項式\(f(x)\)　(2)\(f(102)\)之值。
(建中通訊解題第106期)

113.4.21補充
設多項式函數\(f(x)\)滿足\(deg(f(x))=2024\)，且對於\(k=1,2,3,\ldots,2025\)，恆有\(\displaystyle f(k)=\frac{2}{k}\)，則\(f(2026)\)之值為　　　。
(113嘉科實中，https://math.pro/db/thread-3842-1-1.html)

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作者: cherryhung 時間: 2011-7-23 13:48

依照奧數課程解法，g(x)=x f(x)-1，g(x)是2010次多項式，f(x)是2009次多項式，但是題目f(x)是2010次多項式，可否請教老師該如何解? 謝謝

作者: bugmens 時間: 2011-7-31 13:26

1.
可以參考建中沈朋裕老師的這篇文章"高中課程的Lagrange插值多項式"
設\( x_0 \)、\( x_1 \)、...、\( x_n \)是\( n+1 \)個相異數，則對任意的實數\( y_i \) ( \( i=0,1,...n \) )必存在唯一的\( P(x) \in R_n [x] \)，使得\( P(x_i)=y_i \) ( \( i=0,1,...,n \) )

所以應該是求2009次的多項式

以下由sweeta314提供解答，特此感謝

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圖片附件: 第八題.jpg (2011-8-3 23:30, 138.61 KB) / 該附件被下載次數 6693
https://math.pro/db/attachment.php?aid=796&k=838550e1141ffd0a1d617a779caead69&t=1714071770

作者: peter0210 時間: 2015-11-22 11:14

請教第六題如此計算有誤嗎？
圖中(1)狀況應為6*6*1*1=36 (抱歉我打錯了)

圖片附件: 100基隆6.jpg (2015-11-22 11:14, 461.31 KB) / 該附件被下載次數 6784
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3128&k=39d14a312278e6b5b63efc2473d176e9&t=1714071770

作者: tsusy 時間: 2015-11-22 12:39 標題: 回復 5# peter0210 的帖子

對，然後會發現 (2)(3) 的分類討論，角、邊、內點，是一樣
所以這題，(1)(2)(3)是可以不用分開，合在一起計算就好了

作者: mathca 時間: 2015-12-25 13:10 標題: 回復 1# dxdxs 的帖子

請教第7題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-25 14:34 標題: 回復 7# mathca 的帖子

第 7 題
設\(A(0,0,6)\)，\(B(0,0,20)\)為空間中的兩個定點，\(P(x,y,0)\)為一個動點，若\(0 \le x \le 15\)，\(0\le y \le 15\)，\(∠APB\ge 30^{\circ}\)，求\(P\)點之軌跡所成之圖形的面積　　　。
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p6944

109.6.7補充
(109板橋高中也考這題，https://math.pro/db/thread-3343-1-1.html)

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