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標題: 100麗山高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2011-6-15 15:06 標題: 100麗山高中

如附件
但是題目卷無法打開....是Office2007的docx檔
有誰可以把它轉成一般的word的doc檔嗎?
轉好請掛在本頁面
SOS....HELP ME!

附件: 麗山高中.rar (2011-6-15 15:06, 606.55 KB) / 該附件被下載次數 16614
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作者: weiye 時間: 2011-6-15 15:54

pdf & doc 版題目卷

附件: 100麗山高中（試題卷）.pdf (2011-6-15 15:54, 194.84 KB) / 該附件被下載次數 18083
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附件: 100麗山高中（試題卷）.doc (2011-6-15 15:57, 353 KB) / 該附件被下載次數 15680
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作者: 紫月 時間: 2011-6-15 23:15

第11題，這樣子會存在最大值嗎??

作者: weiye 時間: 2011-6-16 09:02 標題: 回復 3# 紫月的帖子

第 11 題：設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\)，則 \(a + 2b + c\) 之最大值＝？

解答：

令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)

\(3a + 2b - c = 4\)

\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)

\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)

則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)

滿足條件的區域為一個三角形，

且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)

再來研究目標函數～

\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)

　　　　\(=x+3y+4z-8\)

目標函數為 \(x+3y+4z-8\)

將各頂點帶入，可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時，

　　　　　　　\(x+3y+4z-8=4\) 為最大值，

　　　　　　　亦即，當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時，

　　　　　　　\(a + 2b + c=4\) 為最大值。

作者: RainIced 時間: 2011-6-22 23:30

老師你好，想請問第九題、第十題，謝謝。

作者: weiye 時間: 2011-6-23 00:05 標題: 回復 5# RainIced 的帖子

填充第 9 題
已知\(a,b\)為實數，若\(ax^{17}+bx^{16}+1\)能被\(x^2-x-1\)整除，則\(a=\)　　　。
[解答]
令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下：

註：解完才發現，thepiano 老師的解法更棒～詳見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

圖片附件: 100_lssh_Q9.png (2011-6-23 09:17, 62.34 KB) / 該附件被下載次數 12172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=577&k=998832b650eeccfb0b3fa7d613179c93&t=1732237681

作者: weiye 時間: 2011-6-23 08:27 標題: 回復 5# RainIced 的帖子

填充第 10 題：
設\(a,b\)皆為正整數，且\(a>b\)，若\(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}=\frac{2}{11}\)，則序對\((a,b)=\)　　　。
[解答]
因為 \(a>0,b>0\) 且 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

所以，令 \(a+b=2k, a^2+ab+b=11k\)，其中 \(k\) 為正整數，

則

\(a^2+ab+b=11k\)

\(\Rightarrow a(a+b)+b=11k\)

\(\Rightarrow 2ak+b=11k\)

\(\Rightarrow b=k(11-2a)>0\)

\(\Rightarrow 11-2a>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}\)

\(a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5\)

帶入 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

可解得只有 \((a,b)=(5,5)\) 會使得 \(a,b\) 皆為正整數，

但是，題目有說 \(a>b,\)

所以此題無解。

註：亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349 ^__^

作者: martinofncku 時間: 2011-6-23 14:14 標題: 您好，我想請問 2. 4. 兩題

您好，我想請問 2. 4. 兩題

作者: weiye 時間: 2011-6-23 19:11 標題: 回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 2 題
若\((x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{31}x^{31}\)，試求\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\ldots+31a_{31}=\)　　　。
[解答]
令 \(f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}\)

則 \(f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}\)

\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}\)

且因為 \(a_0=f(0)=-1\)

所以，\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-23 19:22 標題: 回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 4 題
已知兩點\(A(x,y)\)，\(B(p,q)\)，且\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}\)，\(\displaystyle y=\frac{q}{p^2-q^2}\)，\((p\ne q)\)，若\(B\)點在直線\(x-y-1=0\)上運動，則\(A\)點的軌跡方程式為=　　　。
[解答]
因為 \(B(p,q)\) 點位在 \(x-y-1=0\) 直線上，

所以 \(p-q-1=0\Rightarrow p-q=1\)

\(\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1\)

\(\Rightarrow x+y-1=0\)

故，\(A(x,y)\) 點位在 \(x+y-1=0\) 直線上。

至於能否證明 \(A\) 的軌跡就是一整條直線～～～

\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}\)

　\(\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}\)

　\(\displaystyle =\frac{p}{2p-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}\)

故，只要 \(x\) 不等於 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)，都可以找到 \(\displaystyle p=\frac{x}{2x-1}\)。

使得 \(B(p,q)\) 對應的 \(A(x,y)\) 落在 \(x+y-1=0\) 直線上。

至於 \(x+y-1=0\) 直線上的點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

似乎找不到對應的 \(B(p,q)\) ？

所以答案應該是～～～～ \(x+y-1=0\) 扣掉一點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).

不知以上討論是否有疏漏的地方？^__^

作者: martinofncku 時間: 2011-6-23 23:04 標題: 請問我那邊做錯了呢？

謝謝您的回答！那我還想問，請問我那邊做錯了呢？

∵\(B\)點在\(x-y-1=0\)上
∴\(p-q-1=0\)
⇒\( \displaystyle \frac{p}{p^2-q^2}-\frac{q}{p^2-q^2}-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
⇒\( \displaystyle x-y-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)

作者: weiye 時間: 2011-6-23 23:11 標題: 回復 11# martinofncku 的帖子

不是做錯，是沒做完~~

題目要求 \(A\) 點軌跡方程式，

就是要求 \(x,y\) 要滿足的關係式，

而你列的式子最後還是有在變動的 \(p,q\)

而不是單純只有 \(x,y\) 。

作者: martinofncku 時間: 2011-6-23 23:18 標題: 回復 12# weiye 的帖子

不好意思，我比較笨一點。可是，p,q不是題目給的常數嗎？

作者: weiye 時間: 2011-6-23 23:21 標題: 回復 13# martinofncku 的帖子

不是，

\(p,q\) 是變數，

\(B(p,q)\) 是位在 \(x-y-1=0\) 直線上的動點。

如果 \(p,q\) 是常數的話，

那 \(\displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2})\) 就是定點了，

何必求軌跡方程式呢？：Ｐ

作者: martinofncku 時間: 2011-6-23 23:32 標題: 回復 14# weiye 的帖子

我懂了，真地很謝謝您！

作者: RainIced 時間: 2011-6-24 06:48

老師好，我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5
但是之後我就看不懂了，所以想多問問，謝謝老師。

作者: 八神庵 時間: 2011-6-28 17:35

引用:

原帖由 RainIced 於 2011-6-24 06:48 AM 發表
老師好，我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) ...

參考一下附檔
希望這樣的解說你看得比較清楚

\(\displaystyle cos\theta\ge \frac{\sqrt{15}}{5}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{5}\le cos\theta<1\)
\(\displaystyle 0<\theta\le \phi\left(\phi=arccos\frac{\sqrt{15}}{5}\right)<\frac{\pi}{4}\)(最後的一個小於是為了確定\(2\theta\)的範圍)
\(\displaystyle 0<2\theta\le 2\phi<\frac{\pi}{2}\)
\(0<sin2\theta\le sin2\phi\)
等號成立時\(\theta=\phi\)，此時\(\displaystyle sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(\displaystyle sin2\theta=2sin\theta cos\theta=2\frac{\sqrt{10}}{5}\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

順便向各位請教一下第12題

作者: 老王 時間: 2011-6-29 16:28 標題: 回復 16# RainIced 的帖子

14題
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}\times \overline{AC}=15\)，\(\angle A\)的角平分線長為3，則\(\triangle ABC\)的最大面積為何？
[解答]
老樣子，我都會去想如何做出這樣的三角形

假設角A的平分線與BC交於D，那麼由\( AD^2=AB \times AC-BD \times CD \)
可以得到\( BD \times CD=6 \)
又\( AB:AC=BD:CD \)
可以得到\( AB^2:BD^2=5:2 \)，也就是 \( AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID \)，其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r，去做出三角形ABC，作法是
作線段AD，並取出I
已I為心，r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC

因為\( AB \times AC \)是定值，所以過A的兩切線夾角越大，三角形ABC面積就越大；
顯然r的限制是\( r \le ID \)
所以當\( r=ID \)時夾角最大，此時三角形對稱於AD，為等腰三角形，簡單計算就可以得到答案。

作者: 阿光 時間: 2011-8-7 20:43

想請教第5,6,18,19,24題一次麻煩老師解這麼多題,真不好意思

作者: weiye 時間: 2011-8-7 22:23 標題: 回復 19# 阿光的帖子

第 6 題：
如圖(二)，\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(\overline{AC}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，圓\(O\)為過\(C\)且與\(\overline{AB}\)相切的最小圓，圓\(O\)交\(\overline{BC}\)於\(E\)，交\(\overline{AC}\)於\(F\)，則\(\overline{EF}\)的長為=　　　。
[解答]
因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓，

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑，

\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)

因為 \(\angle FCE=90^\circ\)

所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑，

故， \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)

第 18 題：
如圖(三)，一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)　　　。
[解答]
此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)

\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)

　　\(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)

　　\(\Rightarrow \overline{AH}=3\)

　　\(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)

令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)

由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)

　　且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)

可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)

兩式相減，再以帶入消去法，

可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)

故，\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)

113.5.8補充
如右圖，圓與正三角形\(\Delta ABC\)的三邊交出6個點，如果\(\overline{AG}=2\)、\(\overline{GF}=13\)、\(\overline{FC}=1\)、\(\overline{HI}=7\)，試求\(\overline{DE}=\)　　　。
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)

第 24 題
如下圖，麗山高中的\(L\)形圖騰由一些方格所構成
(1)用5種顏色來塗這些方格，規定相鄰的格子必須著不同色，顏色可重複使用，則著色方法有　　　種。
(2)若用\(2\times1\)恰兩個方格大小的長方形磁磚來鋪這個\(L\)形的圖騰，規定不能敲碎磁磚，且須剛好鋪滿整個\(L\)形的圖騰，則鋪法有　　　種。
□□
□□
□□
□□
□□□□
□□□□
[解答]
第 1 小題

如圖，先塗紅色區域，再塗藍色區域，

然後每兩個為一組塗色區域，

可得所求＝\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)

作者: weiye 時間: 2011-8-7 22:55 標題: 回復 19# 阿光的帖子

第 5 題：
如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=　　　。
[解答]

如圖，延長題目的各線段，使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點，則

\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)

\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)

\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)

設 \(\overline{OF}=r\)

由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)

可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)

　　 \(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)

作者: Joy091 時間: 2011-8-7 23:23 標題: 回復 21# weiye 的帖子

第5題另解
如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=　　　。
[解答]
直角\(\Delta OAB\)中，\(\overline{OB}^2=\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=r^2+6^2\)

\(\Delta OBD\)中，\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=2(\overline{OC}^2+\overline{CB}^2)=2(r^2+3^2)\) (中線定理)

而得到 \(\overline{OB}^2=2(r^2+3^2)-\overline{OD}^2=2r^2+18-2^2=2r^2+14\)

故 \(r^2+6^2=2r^2+14\)

\(r=\sqrt{22}\)

作者: weiye 時間: 2011-8-7 23:56 標題: 回復 19# 阿光的帖子

第 24 題的第 2 小題：

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\)，

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 \(f(k)=f(k-1)+f(k-2),\forall k\geq 3\)

因此 \(f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13\)

故，

　　　　　　

所求 \(L\) 形圖騰的填磁磚方法數 \(=f(6)\times f(2)+f(4)\times f(4)-f(2)\times f(2)\times f(4)\)

　　\(=13\times 2+5\times 5-2\times2\times5\)

　　\(=31\) 種

作者: cauchys 時間: 2011-8-9 00:50 標題: 請教19題

可否請教weiye老師

您19題的孟氏定理的式子?

分點不是會共線嗎?

作者: weiye 時間: 2011-8-9 19:32 標題: 回復 24# cauchys 的帖子

感謝您，我沒看好圖形，解法有誤，先拿掉了。：）

晚點繼續想～：Ｐ

作者: weiye 時間: 2011-8-9 19:46 標題: 回復 19# 阿光的帖子

第 19 題：
如圖(四)，\(\triangle ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)之中點，\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=16\)，\(E\)在\(\overline{AC}\)上，\(F\)在\(\overline{AB}\)上，且\(\overline{AE}=2\overline{AF}\)，則\(\overline{EG}:\overline{FG}=\)　　　。
[解答]
令 \(\overline{AF}=x\)

則 \(\overline{AE}=2x\)

因為 \(D\) 為 \(B,C\) 的中點，

所以 \(\displaystyle \vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\)

因為 \(\displaystyle \vec{AC}=\frac{16}{2x} \vec{AE}=\frac{8}{x} \vec{AE}\)

　且 \(\displaystyle \vec{AB}=\frac{12}{x} \vec{AF}\)

令 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}\)

則 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}=\frac{t}{2}\vec{AB}+\frac{t}{2}\vec{AC}=\frac{6t}{x}\vec{AF}+\frac{4t}{x}\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{EG}:\overline{FG}=\frac{6t}{x}:\frac{4t}{x}=3:2.\)

作者: money 時間: 2011-8-12 15:39

想請教第17題
感謝

作者: weiye 時間: 2011-8-12 22:42 標題: 回復 27# money 的帖子

第 17 題：
已知有\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{2011}\)共2011個數，若規定「運算一次」如下：「消去其中兩數\(a,b\)，再加上另一數\(a+b+ab\)」，則經過2010次的「運算一次」後，只剩下一數，則此數為何？　　　
[解答]
任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)

因此 \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots,\frac{1}{2011}\)

最後會剩下的數為 \(\displaystyle (1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\cdots(1+\frac{1}{2011})-1\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{2012}{2011}-1\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle =2012-1=2011\)

作者: money 時間: 2011-8-13 22:05

原來如此
雖說運算一次沒規定按順序
但若依次運算就更容易理解了
感謝 weiye大

作者: money 時間: 2011-8-15 09:07

想請教第23題
感謝

作者: money 時間: 2011-8-15 13:36 標題: 回復 30# money 的帖子

自問自答
正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完).........(看完解答後才知道這樣算方便多了)
可是如果這樣算 P(紅最先取完)P(白比黑先取完)
答案卻不一樣
不知哪裡出了錯

作者: jin 時間: 2011-8-25 11:55 標題: 請教第20題期望值

謝謝

作者: Joy091 時間: 2011-9-12 08:32 標題: 回復 31# money 的帖子

袋中有9紅,10白,11黑球，一次取一個不放回，則 P(按照紅白黑順序取完)=?

正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完)
是因為
P(按照紅白黑順序取完)=P(黑球最後取完)P(紅比白先取完 | 黑球最後取完)

=P(最後一球是黑球)P(紅比白先取完 | 最後一球是黑球)

=(11/30)*P(9紅,10白,10黑球任意取，紅比白先取完) 注意 : 留了1黑球在最後

=(11/30)*P(9紅,10白任意取，紅比白先取完) 注意 : 抽到黑球就丟掉，不會影響紅白先後順序

=(11/30)*P(9紅,10白任意取，最後一球是白球) = (11/30)*(10/19)

若改用"紅球先取完"為條件來討論，則
P(按照紅白黑順序取完)=P(紅球最先取完)P(白比黑先取完 | 紅球最先取完)

不等於 (21/30)* P(白比黑先取完)

因為紅球最先取完與第一球取到紅球是不同的事件
白比黑先取完與紅球最先取完兩事件也不獨立

個人認為這個想法難以繼續下去…

第20題期望值:
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 2552&start=30#p7112

作者: 阿光 時間: 2011-10-6 19:51

不知道哪位大師能指導第17和23題的作法，感激！

作者: weiye 時間: 2011-10-6 23:17 標題: 回復 34# 阿光的帖子

第 17 題我前面有回覆了 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=3#pid4237

如果看不太懂的話，我再補幾句話好了～

任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)

再將 \((a+1)(b+1)-1\) 與另一數 \(c\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(\left(\left[(a+1)(b+1)-1\right]+1\right)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1\)

這樣應該就可以看出規律了吧！

第 23 題
一袋中有9個紅球，10個白球和11個黑球，今由袋中逐次取出一球並依序排成一列，則
(1)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形有　　　種。(可用!階乘表示)
(2)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的機率為　　　。
[解答]
先做第二小題

(2)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的機率

　＝Ｐ（最後一球為黑球）×Ｐ（非黑球中的最後一球為白球｜最後一球為黑球）

　＝\(\displaystyle \frac{11}{9+10+11}\times\frac{10}{9+10}\)

　＝\(\displaystyle \frac{11}{30}\times\frac{10}{19}\)

再做第一小題

(1)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形數

　＝\(\displaystyle\frac{\mbox{第二小題答案}\times(9+10+11)!}{9!10!11!}\)

或是直接做第一小題：

最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形數

　＝最後一球為黑球，前面為 (11-1) 個黑球與 (9+10) 個非黑球的排列

　　搭配，在〝非黑球的排列中〞，最後一球為白球，前面為 (10-1) 個白球與 9 個紅球的排列

　＝\(\displaystyle \frac{(9+10+11-1)!}{(9+10)!(11-1)!}\times\frac{(9+10-1)!}{9!(10-1)!}\)

作者: tsusy 時間: 2011-11-12 23:01 標題: 回復 35# weiye 的帖子

17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽
數字跟著年改了而已

看出規律，或依某種順序的運算當然都可以找出答案。

之前也寫過這題，個人比較雞婆一點，喜歡把它說清楚：

定義運算 \( a\otimes b=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) 。

易驗該運算滿足交換律及結合律。

而我們的 2010 次操作，實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。

上面說的那句話，用數學歸納一寫，馬上就得證了。

再把所有括號那掉，那順序排，乘出來就是答案了。

作者: waitpub 時間: 2011-11-24 14:09

引用:

原帖由 weiye 於 2011-8-7 10:23 PM 發表
第 6 題：

因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓，

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑，

請問紅字部分如何得知?

作者: waitpub 時間: 2011-11-24 14:14 標題: 請問第12題

請問原題意沒有限制r，如果r=1，n=無限大，是否也符合題意?

作者: waitpub 時間: 2011-11-24 14:31

引用:

原帖由 weiye 於 2011-8-7 11:56 PM 發表
第 24 題的第 2 小題：

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\)，

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 (f(k)=f(k-1)+f(k-2), forall k≧3

因此 ...

請問如何看出紅字部分規律?

作者: weiye 時間: 2011-11-24 20:07 標題: 回復 37# waitpub 的帖子

通過 C 點且與 AB 直線相切的圓有非常多個，

如附件的圖，

何時那個圓～才會有最小半徑呢？

看附件囉！

感覺得出來嗎？：）

圖片附件: qq.png (2011-11-24 20:07, 30.87 KB) / 該附件被下載次數 5485
https://math.pro/db/attachment.php?aid=860&k=37a9f68f3dd486b28f5abff6cb89126c&t=1732237681

作者: weiye 時間: 2011-11-24 20:12 標題: 回復 38# waitpub 的帖子

n 不可能是無限大，

r 也不可能是 1，

因為 \(100\leq a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n\leq 1000 \)

100 到 1000 中至多只有 901 個相異的數！

作者: weiye 時間: 2011-11-24 20:26 標題: 回復 39# waitpub 的帖子

如附件的表格，由最左上角那一格填起，那一格只有兩種可能～：）

圖片附件: qq.PNG (2011-11-24 20:26, 11.55 KB) / 該附件被下載次數 6322
https://math.pro/db/attachment.php?aid=861&k=694e481b8ffa7f944a6b86d7f78b2910&t=1732237681

作者: bugmens 時間: 2012-2-5 08:02

9.
已知a,b為實數，若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除，則a=？
(1988AIME，94嘉義女中，2006TRML團體賽)
(100楊梅高中，https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)

12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值，且其公比為r，則此(n,r)=？

Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
(4th Canadian Mathematical Olympiad Problems 1972，https://schoolexercisebooks.blog ... tical-olympiad.html)

已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽　獨立研究試題二，http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_02.pdf)

113.5.11補充
15.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立，試求\(f(2011)=\)　　　。
連結有解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212

設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(f(x+3)\ge f(x)+3\)，\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立，試求\(f(2024)=\)　　　。
(113武陵高中，https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)

17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數，若規定『運算一次』如下：『消去其中兩數a,b，再加上另一數\( a+b+ab \)』，則經過2010次的『運算一次』後，只剩下一數，則此數為何？

已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數\( a+b+ab \)，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題，https://math.pro/db/thread-919-1-9.html)

已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數\( a+b+ab \)，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯，2001TRML個人賽之解法，科學教育月刊，第244期
https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 09345be7f/16-21.pdf

18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)　　　。

正三角形\(ABC\)交一圓於六個點，若\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{GF}=13\)，\(\overline{FC}=1\)，\(\overline{HJ}=7\)，則\(\overline{DE}\)之長為　　　。
(101高中數學能力競賽　台北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，由ABCDEF任取相異三點圍三角形，求此種三角形面積的期望值=？
(高中數學101　P286)

在半徑為1的圓上取6個六等分點，從中任取三點A，B，C，則ΔABC面積的期望值為？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點，則此三角形周長的期望值為何？
(99清水高中，https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html)

圖片附件: 1972加拿大數學奧林匹亞.gif (2012-2-5 08:02, 69.43 KB) / 該附件被下載次數 6100
https://math.pro/db/attachment.php?aid=930&k=6ccbbc5a85652a613b4a863d33530e2c&t=1732237681

作者: shingjay176 時間: 2012-4-15 10:42 標題: 100麗山高中填充題第七題

請問瑋岳老師，這要從何下筆破題勒

作者: shingjay176 時間: 2012-4-15 12:50

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
我剛剛解出來了，把我的作法分享出來。
\([\sqrt{1}]=1,[\sqrt{2}]=1,[\sqrt{3}]=1\)
\([\sqrt{4}]=2,[\sqrt{5}]=2,[\sqrt{6}]=2,[\sqrt{7}]=2,[\sqrt{8}]=2\)
\([\sqrt{9}]=3,\ldots\)
所以由此觀察可知道
\(1^2=1,2^2=4,4-1=3\)個
\(2^2=4,3^2=9,9-4=5\)個
\(3^2=9,4^2=16,16-9=7\)個
\(\ldots\)
\(30^2=900,31^2=961,961-900=61\)個
\(31^2=961,32^2=1024,1024-961=63\)個
所以整數值為31

作者: arend 時間: 2012-4-15 13:34

引用:

原帖由 weiye 於 2011-6-23 12:05 AM 發表
填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下：

577

註：解完才發現，thepiano 老師的解法更棒～詳見 http:/ ...

請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下

作者: Ellipse 時間: 2012-4-15 13:52

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-4-15 12:50 PM 發表
我剛剛解出來了，把我的作法分享出來。

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31

作者: Ellipse 時間: 2012-4-15 14:49

引用:

原帖由 arend 於 2012-4-15 01:34 PM 發表

請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下

已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

作者: 老王 時間: 2012-4-15 15:00 標題: 回復 44# shingjay176 的帖子

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
\( (n+1)^2-n^2=63 \)
解出 \( n \)之後從\( n^2 \)到\( (n+1)^2-1 \)
另外，為求閱讀順暢，請附圖檔，不要附pdf檔，感謝。

作者: weiye 時間: 2012-4-15 19:48 標題: 回復 46# arend 的帖子

仔細看我之前回覆中的表格的話，

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

：）

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano 老師的解法，來解一下 \(b\)...（詳見如下或附件）

附件: 填充9.doc (2012-4-15 23:45, 59.5 KB) / 該附件被下載次數 7846
https://math.pro/db/attachment.php?aid=998&k=d26c467ba4cacab86d4dedd8259ffc8f&t=1732237681

圖片附件: 未命名.png (2012-4-15 23:45, 30.38 KB) / 該附件被下載次數 7605
https://math.pro/db/attachment.php?aid=999&k=de61304214a4805169b50d63d1cb7da8&t=1732237681

作者: tsusy 時間: 2012-4-16 00:12 標題: 回復 50# weiye 的帖子

其實，要模仿因式分解，也是可以。

如 weiye 老師所寫 \( p^n -q^n \) 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴，要把 17 次方看作 18 次方減 16 次方，即

\( p^{17}-q^{17} = (p^{18} - q^{18}) - (p^{16}-q^{16}) \)

然後 18 次方處理 \( p^{18}-q^{18}=(p^6-q^6)(p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

而 \( p^6-q^6=(p^2-q^2)(p^4+p^2q^2+q^2) \)

可以先算 \( p^2 -q^2 \) (可分解)，再平方補交叉項(常數) 可得 \( (p^4+p^2q^2+q^2) \)

之後就有 \(p^6-q^6 \)，同樣手洲可得 \( (p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

以上，只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點，減少遞迴次數。

不過這依賴於因式分解的樣子，所以也許不是很實用？或者能否一般化呢？

而16 次方的處理， thepiano 老師，已經做得很漂亮了。

作者: arend 時間: 2012-4-16 02:35

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-4-15 02:49 PM 發表

已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

謝謝Ellipse老師

作者: arend 時間: 2012-4-16 02:40

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-15 07:48 PM 發表
仔細看我之前回覆中的表格的話，

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

：）

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano ...

謝謝瑋岳老師

其實我之前也用你提出的方法,算出=-a_15+a_14=-1597
只是我沒把握是否正確
所以上來請教

謝謝你跟Ellipse老師
又學到另一種觀念與技巧

感激

作者: shingjay176 時間: 2012-4-16 11:09 標題: 回復 43# bugmens 的帖子

填充題第十二題貼出來的解答，為何取p=q+1勒，其它部分都看的懂

作者: mcgrady0628 時間: 2012-4-19 03:50 標題: 回復 4# weiye 的帖子

只有這個方法嗎??為什麼x.y.z要那樣假設呢???

作者: weiye 時間: 2012-4-19 09:44 標題: 回復 55# mcgrady0628 的帖子

你也可以不令 \(x,y,z\) 呀，令 \(x,y,z\) 純粹是個人喜好問題，

不令 \(x,y,z\) 的話，直接利用 \(3a+2b-c=4\Rightarrow c=3a+2b-4\) 帶入不等式、目標函數，

一樣可以利用線性規劃找最大值。

限制條件：\(\displaystyle\left\{\begin{array}{c}a\geq b\\b\geq 3a+2b-4\\3a+2b-4\geq-2\end{array}\right.\)

畫出 \(a\) 軸、\(b\) 軸與可行解區域～

目標函數：\(a+2b+(3a+2b-4)\)

作者: tsusy 時間: 2012-4-19 17:48 標題: 回復 54# shingjay176 的帖子

關於填充12

當首項一樣的時候，公比愈大，可以放的項數就愈少，

所以一樣分母是 \( q \) 的之中(可以有一樣的首項)，就要取 \( p = q+1 \)

這樣項數才可以盡可能的多

作者: shingjay176 時間: 2012-4-19 22:26 標題: 回復 57# tsusy 的帖子

感謝tsusy老師的答覆，我瞭解意思了。因為要在100～1000的範圍中放入越多項，所以如果公比越大，各數字的變大速度就越快，因此可以放入的項數就變少了。

作者: mcgrady0628 時間: 2012-4-22 00:39

瑋岳老師!!想問第22題(1).(2)~謝謝

作者: WAYNE10000 時間: 2012-4-22 14:13 標題: 請教一下第1題

請教一下第1題
謝謝指教!

作者: clovev 時間: 2013-9-24 21:50

想請教第13題和第21題！！
13題我是一個個討論，算出答案1128組
21題我的x是一個範圍不是一個數，對答案不確定
懇請賜教，謝謝！

作者: tsusy 時間: 2013-9-24 22:36 標題: 回復 61# clovev 的帖子

21 題，你的範圍？？

如果 x 在 a 附近，[3x+1] 的值可能只有一個或二個(當 3a+1 為整數)

而 a 的附近 \( 2x-\frac12 \) 單調遞增，因此也頂多 2 個使得等號成立

所以你的範圍，應該是漏驗了等式了

13. 先當作這個類似問題 \( x+y+z =50 \) 的非負整數解，兩個問題的解其實很接近，所以扣掉不一樣的解就可以了

如果覺得不夠簡潔，那就另找個更接近的目題，而且會解，一樣扣除不一樣的。

作者: clovev 時間: 2013-9-25 16:39

21題：
我利用x-1<[x]<=x的方式去解x的範圍
得到答案-2/3<=x<-1/2 請問哪裡錯誤?

謝謝老師的回答

作者: weiye 時間: 2013-9-25 18:32 標題: 回復 63# clovev 的帖子

填充第 21 題：

樓上沒有考慮到的點是~

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以不是樓上範圍內的 x 都會滿足 2x-1/2 是整數。

解方程式\(\displaystyle [3x+1]=2x-\frac{1}{2}\)，\(x=\)　　　。(\([x]\)：表示不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
因為 a-1<[a]<=a

3x < 2x-1/2 <= 3x+1

-3/2 <= x <-1/2

-7/2<=2x-1/2<=-3/2

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以介在 -7/2 與 -3/2 之間的整數只有 -3, -2

2x-1/2 = -3, or -2

x=-5/4, or -3/4

作者: weiye 時間: 2013-9-25 18:52 標題: 回復 59# mcgrady0628 的帖子

沒想到居然以前有漏回復的，真是抱歉。

填充第 22 題：
正三角形\(ABC\)的邊長為1，在\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)上各取\(P\)、\(Q\)、\(R\)滿足\(\overline{AP}^2=\overline{BQ}^2=\overline{CR}\)。
(1)令\(\overline{AP}=x\)，求\(\triangle PQR\)的面積=　　　。(以\(x\)表示)
(2)若\(P\)在\(\overline{AB}\)上移動，\(\triangle PQR\)的最小面積為\(M\)，使得\(\triangle PQR\)的面積為最小時的\(x\)值為\(a\)；則\((M,a)=\)　　　。
[解答]
第1小題

ΔPRQ 面積 = ΔABC 面積 - ΔAPR 面積 - ΔBPQ 面積 - ΔCQR 面積

　　　　　＝ \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x^2\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ\)

　　　　　＝ \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\)

第2小題

令 \(f(x)=2x^3-2x+1\)，則 \(\displaystyle f\,'(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

因為 \(f(x)\) 為首項係數為正的三次多項式函數，

可知當 \(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) 時， \(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{3}})\)

即 ΔPRQ 面積有最小值為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{3}\)

另解，

由算幾不等式 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \left(1-x\right)+\frac{1+x}{2}+\frac{x}{2}}{3}\geq\sqrt[3]{\left(1-x\right)\cdot\frac{1+x}{2}\cdot\frac{x}{2}}\)

可得 \(\left(1-x\right)\left(1+x\right)x\) 之最大值，

進而得知 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\) 的最小值。

作者: weiye 時間: 2013-9-25 19:04 標題: 回復 61# clovev 的帖子

填充第 13 題：
若\(x,y,z\)為整數，\(0\le x\le 45\)，\(1\le y\le 47\)，\(2\le z\le 49\)，則滿足\(x+y+z=50\)的解\((x,y,z)\)共有　　　組。
[解答]
令 \(y\,'=y-1, z\,'=z-2\) 則

\(x+y\,'+z\,'=47\) 且 \(0\leq x\leq45, 0\leq y\,'\leq 46, 0\leq z\,'\leq 47\)

所求＝（47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子）- （\(x\) 爆掉） - （\(y\,'\) 爆掉）

［註：\(z\,'\) 肚量很大～可以獨自吃到 \(47\) 顆球沒問題，所以絕對不會爆掉。］

　　＝（47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子）- （\(x\) 因為吃了 \(46\) 顆以上的球，所以爆掉） - （\(y\,'\) 因為吃了 \(47\) 顆球所以爆掉）

　　＝ \(H_{47}^3 - H_1^3-1\)

　　＝\(1176-3-1=1172\)

作者: clovev 時間: 2013-9-25 21:16

謝謝寸絲老師和瑋岳老師的回覆~~~謝謝!!

作者: nianzu 時間: 2014-1-2 14:59 標題: 回復 60# WAYNE10000 的帖子

1.
已知\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)，(\(n\in N\))；則\(a_n=\)　　　。
[解答]
先將分母有理化
接著一個帶一個
你就會發現規律
就可以找出來了!!
\(a_{n+1}=3a_n+3^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(a_2=3a_1+3^1(\sqrt{2}-\sqrt{1})\)
\(a_3=3a_2+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)
\(a_4=3a_3+3^3(\sqrt{4}-\sqrt{3})\)
可找出關係
\(a_3=3^2a_1+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{1})\)
其他類推
一項推一項
推到\(n\)
\(a_n=3^{n-1}a_1+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})\)
將\(a_1=1\)帶入即可
\(a_n=3^{n-1}+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})=3^{n-1}\sqrt{n}\)

作者: weiye 時間: 2014-1-2 19:51 標題: 回復 60# WAYNE10000 的帖子

填充題第 1 題：
已知\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)，(\(n\in N\))；則\(a_n=\)　　　。
[解答]
當 \(n\in\mathbb{N}\) 時，

\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n +\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =\frac{a_{n-1}}{3^{n-2}}+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =\cdots\)

　　　\(\displaystyle =\frac{a_1}{3^0}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\cdots+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =1+\sqrt{n+1}-\sqrt{1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_{n+1}=3^n\cdot\sqrt{n+1}\)，其中 \(n\in\mathbb{N}\)

且因 \(a_1=1=3^0\cdot{1}\) 亦成立，可得

\(\Rightarrow a_n=3^{n-1}\cdot\sqrt{n}\)，其中 \(n\in\mathbb{N}\)

作者: anyway13 時間: 2016-11-24 03:23 標題: 請教第24題的第一小題

請教版上老師此題答案公告是20*13^7

想請問七次方式怎麼得到的呢? 謝謝!

作者: thepiano 時間: 2016-11-24 06:16 標題: 回復 70# anyway13 的帖子

參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6367

作者: anyway13 時間: 2016-11-24 23:45 標題: 回復 71# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,了解了

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