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標題: 100麗山高中 [打印本頁]

作者: 八神庵    時間: 2011-6-15 15:06     標題: 100麗山高中

如附件
但是題目卷無法打開....是Office2007的docx檔
有誰可以把它轉成一般的word的doc檔嗎?
轉好請掛在本頁面
SOS....HELP ME!

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作者: weiye    時間: 2011-6-15 15:54

pdf & doc 版題目卷

附件: 100麗山高中(試題卷).pdf (2011-6-15 15:54, 194.84 KB) / 該附件被下載次數 14903
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作者: 紫月    時間: 2011-6-15 23:15

第11題,這樣子會存在最大值嗎??
作者: weiye    時間: 2011-6-16 09:02     標題: 回復 3# 紫月 的帖子

第 11 題:設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\),則 \(a + 2b + c\) 之最大值=?

解答:

令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)

\(3a + 2b - c = 4\)

\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)

\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)

則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)

滿足條件的區域為一個三角形,

且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)


再來研究目標函數~

\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)

    \(=x+3y+4z-8\)

目標函數為 \(x+3y+4z-8\)

將各頂點帶入,可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時,

       \(x+3y+4z-8=4\) 為最大值,

       亦即,當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時,

       \(a + 2b + c=4\) 為最大值。
作者: RainIced    時間: 2011-6-22 23:30

老師你好,想請問第九題、第十題,謝謝。

[ 本帖最後由 RainIced 於 2011-6-22 11:31 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2011-6-23 00:05     標題: 回復 5# RainIced 的帖子

填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:




註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

圖片附件: 100_lssh_Q9.png (2011-6-23 09:17, 62.34 KB) / 該附件被下載次數 10309
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作者: weiye    時間: 2011-6-23 08:27     標題: 回復 5# RainIced 的帖子

填充第 10 題:

因為 \(a>0,b>0\) 且 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

所以,令 \(a+b=2k, a^2+ab+b=11k\),其中 \(k\) 為正整數,



\(a^2+ab+b=11k\)

\(\Rightarrow a(a+b)+b=11k\)

\(\Rightarrow 2ak+b=11k\)

\(\Rightarrow b=k(11-2a)>0\)

\(\Rightarrow 11-2a>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}\)

\(a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5\)

帶入 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

可解得只有 \((a,b)=(5,5)\) 會使得 \(a,b\) 皆為正整數,

但是,題目有說 \(a>b,\)

所以此題無解。

註:亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟:http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349 ^__^
作者: martinofncku    時間: 2011-6-23 14:14     標題: 您好,我想請問 2. 4. 兩題

您好,我想請問 2. 4. 兩題
作者: weiye    時間: 2011-6-23 19:11     標題: 回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 2 題

令 \(f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}\)

則 \(f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}\)

\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}\)

且因為 \(a_0=f(0)=-1\)

所以,\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.\)
作者: weiye    時間: 2011-6-23 19:22     標題: 回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 4 題

因為 \(B(p,q)\) 點位在 \(x-y-1=0\) 直線上,

所以 \(p-q-1=0\Rightarrow p-q=1\)

\(\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1\)

\(\Rightarrow x+y-1=0\)

故,\(A(x,y)\) 點位在 \(x+y-1=0\) 直線上。




至於能否證明 \(A\) 的軌跡就是一整條直線~~~

\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{2p-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}\)

故,只要 \(x\) 不等於 \(\displaystyle \frac{1}{2}\),都可以找到 \(\displaystyle p=\frac{x}{2x-1}\)。

使得 \(B(p,q)\) 對應的 \(A(x,y)\) 落在 \(x+y-1=0\) 直線上。


至於 \(x+y-1=0\) 直線上的點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

似乎找不到對應的 \(B(p,q)\) ?

所以答案應該是~~~~ \(x+y-1=0\) 扣掉一點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).



不知以上討論是否有疏漏的地方?^__^
作者: martinofncku    時間: 2011-6-23 23:04     標題: 請問我那邊做錯了呢?

謝謝您的回答!那我還想問,請問我那邊做錯了呢?

∵\(B\)點在\(x-y-1=0\)上
∴\(p-q-1=0\)
⇒\( \displaystyle \frac{p}{p^2-q^2}-\frac{q}{p^2-q^2}-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
⇒\( \displaystyle x-y-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
作者: weiye    時間: 2011-6-23 23:11     標題: 回復 11# martinofncku 的帖子

不是做錯,是沒做完~~

題目要求 \(A\) 點軌跡方程式,

就是要求 \(x,y\) 要滿足的關係式,

而你列的式子最後還是有在變動的 \(p,q\)

而不是單純只有 \(x,y\) 。
作者: martinofncku    時間: 2011-6-23 23:18     標題: 回復 12# weiye 的帖子

不好意思,我比較笨一點。可是,p,q不是題目給的常數嗎?
作者: weiye    時間: 2011-6-23 23:21     標題: 回復 13# martinofncku 的帖子

不是,

\(p,q\) 是變數,

\(B(p,q)\) 是位在 \(x-y-1=0\) 直線上的動點。

如果 \(p,q\) 是常數的話,

那 \(\displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2})\) 就是定點了,

何必求軌跡方程式呢?:P
作者: martinofncku    時間: 2011-6-23 23:32     標題: 回復 14# weiye 的帖子

我懂了,真地很謝謝您!
作者: RainIced    時間: 2011-6-24 06:48

老師好,我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答,
令 AB = x,∠BAC = 2θ,AD 平分 ∠BAC,交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5
但是之後我就看不懂了,所以想多問問,謝謝老師。
作者: 八神庵    時間: 2011-6-28 17:35

引用:
原帖由 RainIced 於 2011-6-24 06:48 AM 發表
老師好,我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答,
令 AB = x,∠BAC = 2θ,AD 平分 ∠BAC,交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2)  ...
參考一下附檔
希望這樣的解說你看得比較清楚

順便向各位請教一下第12題

[ 本帖最後由 八神庵 於 2011-6-28 08:41 PM 編輯 ]

附件: triangle.rar (2011-6-28 17:35, 11.74 KB) / 該附件被下載次數 6824
https://math.pro/db/attachment.php?aid=603&k=50a3b6e17a9844c2469317cdca6c9525&t=1711670999
作者: 老王    時間: 2011-6-29 16:28     標題: 回復 16# RainIced 的帖子

14題
老樣子,我都會去想如何做出這樣的三角形

假設角A的平分線與BC交於D,那麼由\( AD^2=AB \times AC-BD \times CD \)
可以得到\( BD \times CD=6 \)
又\( AB:AC=BD:CD \)
可以得到\( AB^2:BD^2=5:2 \),也就是 \( AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID \),其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r,去做出三角形ABC,作法是
作線段AD,並取出I
已I為心,r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC

因為\( AB \times AC \)是定值,所以過A的兩切線夾角越大,三角形ABC面積就越大;
顯然r的限制是\( r \le ID \)
所以當\( r=ID \)時夾角最大,此時三角形對稱於AD,為等腰三角形,簡單計算就可以得到答案。
作者: 阿光    時間: 2011-8-7 20:43

想請教第5,6,18,19,24題 一次麻煩老師解這麼多題,真不好意思
作者: weiye    時間: 2011-8-7 22:23     標題: 回復 19# 阿光 的帖子

第 6 題:

因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,

\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)

因為 \(\angle FCE=90^\circ\)

所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑,

故, \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)


第 18 題:

此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)

\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)

  \(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)

  \(\Rightarrow \overline{AH}=3\)

  \(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)

令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)

由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)

  且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)

可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)

兩式相減,再以帶入消去法,

可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)

故,\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)









第 24 題

第 1 小題



如圖,先塗紅色區域,再塗藍色區域,

然後每兩個為一組塗色區域,

可得所求=\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)
作者: weiye    時間: 2011-8-7 22:55     標題: 回復 19# 阿光 的帖子

第 5 題:



如圖,延長題目的各線段,使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點,則

\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)

\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)

\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)

設 \(\overline{OF}=r\)

由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)

可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)

   \(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)
作者: Joy091    時間: 2011-8-7 23:23     標題: 回復 21# weiye 的帖子

第5題另解

直角\(\Delta OAB\)中,\(\overline{OB}^2=\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=r^2+6^2\)

\(\Delta OBD\)中,\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=2(\overline{OC}^2+\overline{CB}^2)=2(r^2+3^2)\)   (中線定理)

而得到 \(\overline{OB}^2=2(r^2+3^2)-\overline{OD}^2=2r^2+18-2^2=2r^2+14\)

故 \(r^2+6^2=2r^2+14\)

\(r=\sqrt{22}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-7 11:28 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2011-8-7 23:56     標題: 回復 19# 阿光 的帖子

第 24 題的第 2 小題:

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\),

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 \(f(k)=f(k-1)+f(k-2),\forall k\geq 3\)

因此 \(f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13\)

故,

      

所求 \(L\) 形圖騰的填磁磚方法數 \(=f(6)\times f(2)+f(4)\times f(4)-f(2)\times f(2)\times f(4)\)

  \(=13\times 2+5\times 5-2\times2\times5\)

  \(=31\) 種
作者: cauchys    時間: 2011-8-9 00:50     標題: 請教19題

可否請教weiye老師

您19題的孟氏定理的式子?

分點不是會共線嗎?
作者: weiye    時間: 2011-8-9 19:32     標題: 回復 24# cauchys 的帖子

感謝您,我沒看好圖形,解法有誤,先拿掉了。:)

晚點繼續想~:P
作者: weiye    時間: 2011-8-9 19:46     標題: 回復 19# 阿光 的帖子

第 19 題:

令 \(\overline{AF}=x\)

則 \(\overline{AE}=2x\)

因為 \(D\) 為 \(B,C\) 的中點,

所以 \(\displaystyle \vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\)

因為 \(\displaystyle \vec{AC}=\frac{16}{2x} \vec{AE}=\frac{8}{x} \vec{AE}\)

 且 \(\displaystyle \vec{AB}=\frac{12}{x} \vec{AF}\)

令 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}\)

則 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}=\frac{t}{2}\vec{AB}+\frac{t}{2}\vec{AC}=\frac{6t}{x}\vec{AF}+\frac{4t}{x}\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{EG}:\overline{FG}=\frac{6t}{x}:\frac{4t}{x}=3:2.\)
作者: money    時間: 2011-8-12 15:39

想請教第17題
感謝
作者: weiye    時間: 2011-8-12 22:42     標題: 回復 27# money 的帖子

第 17 題:

任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)


因此 \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots,\frac{1}{2011}\)

最後會剩下的數為 \(\displaystyle (1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\cdots(1+\frac{1}{2011})-1\)

         \(\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{2012}{2011}-1\)

         \(\displaystyle =2012-1=2011\)
作者: money    時間: 2011-8-13 22:05

原來如此
雖說運算一次沒規定按順序
但若依次運算就更容易理解了
感謝 weiye大
作者: money    時間: 2011-8-15 09:07

想請教第23題
感謝
作者: money    時間: 2011-8-15 13:36     標題: 回復 30# money 的帖子

自問自答
正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完).........(看完解答後才知道這樣算方便多了)
可是如果這樣算  P(紅最先取完)P(白比黑先取完)
答案卻不一樣
不知哪裡出了錯
作者: jin    時間: 2011-8-25 11:55     標題: 請教第20題期望值

謝謝
作者: Joy091    時間: 2011-9-12 08:32     標題: 回復 31# money 的帖子

袋中有9紅,10白,11黑球,一次取一個不放回,則 P(按照紅白黑順序取完)=?

正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完)
是因為
P(按照紅白黑順序取完)=P(黑球最後取完)P(紅比白先取完 | 黑球最後取完)

=P(最後一球是黑球)P(紅比白先取完 | 最後一球是黑球)

=(11/30)*P(9紅,10白,10黑球任意取,紅比白先取完)     注意 : 留了1黑球在最後

=(11/30)*P(9紅,10白任意取,紅比白先取完)    注意 : 抽到黑球就丟掉,不會影響紅白先後順序

=(11/30)*P(9紅,10白任意取,最後一球是白球) = (11/30)*(10/19)

若改用"紅球先取完"為條件來討論,則
P(按照紅白黑順序取完)=P(紅球最先取完)P(白比黑先取完 | 紅球最先取完)

不等於 (21/30)* P(白比黑先取完)

因為 紅球最先取完 與 第一球取到紅球 是不同的事件
白比黑先取完 與 紅球最先取完 兩事件也不獨立

個人認為這個想法難以繼續下去…

第20題期望值:
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 2552&start=30#p7112

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-12 08:40 AM 編輯 ]
作者: 阿光    時間: 2011-10-6 19:51

不知道哪位大師能指導第17和23題的作法,感激!
作者: weiye    時間: 2011-10-6 23:17     標題: 回復 34# 阿光 的帖子

第 17 題我前面有回覆了 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=3#pid4237

如果看不太懂的話,我再補幾句話好了~

任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)

再將 \((a+1)(b+1)-1\) 與另一數 \(c\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(\left(\left[(a+1)(b+1)-1\right]+1\right)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1\)

這樣應該就可以看出規律了吧!




第 23 題

先做第二小題

(2)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的機率

 =P(最後一球為黑球)×P(非黑球中的最後一球為白球|最後一球為黑球)

 =\(\displaystyle \frac{11}{9+10+11}\times\frac{10}{9+10}\)

 =\(\displaystyle \frac{11}{30}\times\frac{10}{19}\)

再做第一小題

(1)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形數

 =\(\displaystyle\frac{\mbox{第二小題答案}\times(9+10+11)!}{9!10!11!}\)

或是直接做第一小題:

最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形數

 =最後一球為黑球,前面為 (11-1) 個黑球與 (9+10) 個非黑球的排列

  搭配,在〝非黑球的排列中〞,最後一球為白球,前面為 (10-1) 個白球與 9 個紅球的排列

 =\(\displaystyle \frac{(9+10+11-1)!}{(9+10)!(11-1)!}\times\frac{(9+10-1)!}{9!(10-1)!}\)
作者: tsusy    時間: 2011-11-12 23:01     標題: 回復 35# weiye 的帖子

17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽
數字跟著年改了而已

看出規律,或依某種順序的運算當然都可以找出答案。

之前也寫過這題,個人比較雞婆一點,喜歡把它說清楚:

定義運算 \( a\otimes b=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) 。

易驗該運算滿足交換律及結合律。

而我們的 2010 次操作,實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。

上面說的那句話,用數學歸納一寫,馬上就得證了。

再把所有括號那掉,那順序排,乘出來就是答案了。
作者: waitpub    時間: 2011-11-24 14:09

引用:
原帖由 weiye 於 2011-8-7 10:23 PM 發表
第 6 題:

因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,
請問紅字部分如何得知?
作者: waitpub    時間: 2011-11-24 14:14     標題: 請問第12題

請問原題意沒有限制r,如果r=1,n=無限大,是否也符合題意?

[ 本帖最後由 waitpub 於 2011-11-24 02:16 PM 編輯 ]
作者: waitpub    時間: 2011-11-24 14:31

引用:
原帖由 weiye 於 2011-8-7 11:56 PM 發表
第 24 題的第 2 小題:

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\),

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

(f(k)=f(k-1)+f(k-2), forall k≧3

因此  ...
請問如何看出紅字部分規律?
作者: weiye    時間: 2011-11-24 20:07     標題: 回復 37# waitpub 的帖子

通過 C 點且與 AB 直線相切的圓有非常多個,

如附件的圖,

何時那個圓~才會有最小半徑呢?

看附件囉!

感覺得出來嗎?:)

圖片附件: qq.png (2011-11-24 20:07, 30.87 KB) / 該附件被下載次數 4917
https://math.pro/db/attachment.php?aid=860&k=355bab5dc504a3373c460ef280133a4c&t=1711670999


作者: weiye    時間: 2011-11-24 20:12     標題: 回復 38# waitpub 的帖子

n 不可能是無限大,

r 也不可能是 1,

因為 \(100\leq a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n\leq 1000 \)

100 到 1000 中至多只有 901 個相異的數!
作者: weiye    時間: 2011-11-24 20:26     標題: 回復 39# waitpub 的帖子

如附件的表格,由最左上角那一格填起,那一格只有兩種可能~:)

圖片附件: qq.PNG (2011-11-24 20:26, 11.55 KB) / 該附件被下載次數 5767
https://math.pro/db/attachment.php?aid=861&k=77fa241cd93bd919bd70afa41ebfbd84&t=1711670999


作者: bugmens    時間: 2012-2-5 08:02

9.
已知a,b為實數,若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除,則a=?
(1988AIME,94嘉義女中,2006TRML團體賽)
(100楊梅高中,https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)


12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值,且其公比為r,則此(n,r)=?

Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
http://www.math-olympiad.com/4th ... lympiad-1972.htm#10


已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽 獨立研究試題二,http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_02.pdf)


17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數,若規定『運算一次』如下:『消去其中兩數a,b,再加上另一數\( a+b+ab \)』,則經過2010次的『運算一次』後,只剩下一數,則此數為何?

已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數,規定「運算一次」如下:消去其中二數a,b,再加入另一數\( a+b+ab \),經過2007這樣的運算後只剩一數,試問此數為何?
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題,https://math.pro/db/thread-919-1-9.html)

已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數,規定“操作”一次如下:拿掉其中任兩數a,b後,其餘不動,再加入一數\( a+b+ab \),經過2000次這樣的操作之後只剩一數,求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯,2001TRML個人賽之解法,科學教育月刊,第244期
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/SECMonthly.htm

18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點,若\(\overline{CF}=1\),\(\overline{FG}=13\),\(\overline{AG}=2\),\(\overline{HI}=7\),則\(\overline{DE}=\)   

正三角形\(ABC\)交一圓於六個點,若\(\overline{AG}=2\),\(\overline{GF}=13\),\(\overline{FC}=1\),\(\overline{HJ}=7\),則\(\overline{DE}\)之長為   
(101高中數學能力競賽 台北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,由ABCDEF任取相異三點圍三角形,求此種三角形面積的期望值=?
(高中數學101 P286)

在半徑為1的圓上取6個六等分點,從中任取三點A,B,C,則ΔABC面積的期望值為?
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點,則此三角形周長的期望值為何?
(99清水高中,https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html)

圖片附件: 1972加拿大數學奧林匹亞.gif (2012-2-5 08:02, 69.43 KB) / 該附件被下載次數 5612
https://math.pro/db/attachment.php?aid=930&k=ad53a763dc4577a1ce62ef05f29c5d55&t=1711670999


作者: shingjay176    時間: 2012-4-15 10:42     標題: 100麗山高中 填充題第七題

恰有連續63個連續的自然數,其平方根的整數部分是相同的,則此整數值為=?

請問瑋岳老師,這要從何下筆破題勒

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-4-15 10:43 AM 編輯 ]
作者: shingjay176    時間: 2012-4-15 12:50

我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。

附件: 全頁傳真列印.pdf (2012-4-15 12:50, 38.1 KB) / 該附件被下載次數 7833
https://math.pro/db/attachment.php?aid=997&k=19c2463f76238d44ab036b0abf6abb0d&t=1711670999
作者: arend    時間: 2012-4-15 13:34

引用:
原帖由 weiye 於 2011-6-23 12:05 AM 發表
填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:

577


註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 http:/ ...
請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下
作者: Ellipse    時間: 2012-4-15 13:52

引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-4-15 12:50 PM 發表
我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-15 02:03 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-4-15 14:49

引用:
原帖由 arend 於 2012-4-15 01:34 PM 發表


請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下
已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-15 03:11 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2012-4-15 15:00     標題: 回復 44# shingjay176 的帖子

\( (n+1)^2-n^2=63 \)
解出 \( n \)之後從\( n^2 \)到\( (n+1)^2-1 \)
另外,為求閱讀順暢,請附圖檔,不要附pdf檔,感謝。

[ 本帖最後由 老王 於 2012-4-15 03:02 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2012-4-15 19:48     標題: 回復 46# arend 的帖子

仔細看我之前回覆中的表格的話,

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

:)

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano 老師的解法,來解一下 \(b\)...(詳見如下或附件)



附件: 填充9.doc (2012-4-15 23:45, 59.5 KB) / 該附件被下載次數 7132
https://math.pro/db/attachment.php?aid=998&k=7e45326118691f32facae5a8d77edbab&t=1711670999

圖片附件: 未命名.png (2012-4-15 23:45, 30.38 KB) / 該附件被下載次數 6807
https://math.pro/db/attachment.php?aid=999&k=8849e950f599c0f1113084aa68e2e346&t=1711670999


作者: tsusy    時間: 2012-4-16 00:12     標題: 回復 50# weiye 的帖子

其實,要模仿因式分解,也是可以。

如 weiye 老師所寫 \( p^n -q^n \) 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴,要把 17 次方 看作 18 次方減 16 次方,即

\( p^{17}-q^{17} = (p^{18} - q^{18}) - (p^{16}-q^{16}) \)

然後 18 次方處理 \( p^{18}-q^{18}=(p^6-q^6)(p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

而 \( p^6-q^6=(p^2-q^2)(p^4+p^2q^2+q^2) \)

可以先算 \( p^2 -q^2 \) (可分解),再平方補交叉項(常數) 可得 \( (p^4+p^2q^2+q^2) \)

之後就有 \(p^6-q^6 \),同樣手洲可得 \( (p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

以上,只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點,減少遞迴次數。

不過這依賴於因式分解的樣子,所以也許不是很實用?或者能否一般化呢?

而16 次方的處理, thepiano 老師,已經做得很漂亮了。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 02:16 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-4-16 02:35

引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-4-15 02:49 PM 發表


已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597
謝謝Ellipse老師
作者: arend    時間: 2012-4-16 02:40

引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-15 07:48 PM 發表
仔細看我之前回覆中的表格的話,

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

:)

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano  ...
謝謝瑋岳老師

其實我之前也用你提出的方法,算出=-a_15+a_14=-1597
只是我沒把握是否正確
所以上來請教

謝謝你跟Ellipse老師
又學到另一種觀念與技巧

感激
作者: shingjay176    時間: 2012-4-16 11:09     標題: 回復 43# bugmens 的帖子

填充題第十二題貼出來的解答,為何取p=q+1勒,其它部分都看的懂
作者: mcgrady0628    時間: 2012-4-19 03:50     標題: 回復 4# weiye 的帖子

只有這個方法嗎??為什麼x.y.z要那樣假設呢???
作者: weiye    時間: 2012-4-19 09:44     標題: 回復 55# mcgrady0628 的帖子

你也可以不令 \(x,y,z\) 呀,令 \(x,y,z\) 純粹是個人喜好問題,

不令 \(x,y,z\) 的話,直接利用 \(3a+2b-c=4\Rightarrow c=3a+2b-4\) 帶入不等式、目標函數,

一樣可以利用線性規劃找最大值。

限制條件:\(\displaystyle\left\{\begin{array}{c}a\geq b\\b\geq 3a+2b-4\\3a+2b-4\geq-2\end{array}\right.\)

畫出 \(a\) 軸、\(b\) 軸與可行解區域~

目標函數:\(a+2b+(3a+2b-4)\)
作者: tsusy    時間: 2012-4-19 17:48     標題: 回復 54# shingjay176 的帖子

關於填充12

當首項一樣的時候,公比愈大,可以放的項數就愈少,

所以一樣分母是 \( q \) 的之中(可以有一樣的首項),就要取  \( p = q+1 \)

這樣項數才可以盡可能的多
作者: shingjay176    時間: 2012-4-19 22:26     標題: 回復 57# tsusy 的帖子

感謝tsusy老師的答覆,我瞭解意思了。因為要在100~1000的範圍中放入越多項,所以如果公比越大,各數字的變大速度就越快,因此可以放入的項數就變少了。
作者: mcgrady0628    時間: 2012-4-22 00:39

瑋岳老師!!想問第22題(1).(2)~謝謝

[ 本帖最後由 mcgrady0628 於 2012-4-22 02:46 PM 編輯 ]
作者: WAYNE10000    時間: 2012-4-22 14:13     標題: 請教一下第1題

請教一下第1題
謝謝指教!
作者: clovev    時間: 2013-9-24 21:50

想請教第13題和第21題!!
13題我是一個個討論,算出答案1128組
21題我的x是一個範圍不是一個數,對答案不確定
懇請賜教,謝謝!
作者: tsusy    時間: 2013-9-24 22:36     標題: 回復 61# clovev 的帖子

21 題,你的範圍??

如果 x 在 a 附近,[3x+1] 的值可能只有一個或二個(當 3a+1 為整數)

而 a 的附近 \( 2x-\frac12 \) 單調遞增,因此也頂多 2 個使得等號成立

所以你的範圍,應該是漏驗了等式了

13. 先當作這個類似問題 \( x+y+z =50 \) 的非負整數解,兩個問題的解其實很接近,所以扣掉不一樣的解就可以了

如果覺得不夠簡潔,那就另找個更接近的目題,而且會解,一樣扣除不一樣的。
作者: clovev    時間: 2013-9-25 16:39

21題:
我利用x-1<[x]<=x的方式 去解x的範圍
得到答案-2/3<=x<-1/2 請問哪裡錯誤?

謝謝老師的回答
作者: weiye    時間: 2013-9-25 18:32     標題: 回復 63# clovev 的帖子

填充第 21 題:

樓上沒有考慮到的點是~

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以不是樓上範圍內的 x 都會滿足 2x-1/2 是整數。


解:

因為 a-1<[a]<=a

3x < 2x-1/2 <= 3x+1

-3/2 <= x <-1/2

-7/2<=2x-1/2<=-3/2

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以介在 -7/2 與 -3/2 之間的整數只有 -3, -2

2x-1/2 = -3, or -2

x=-5/4, or -3/4
作者: weiye    時間: 2013-9-25 18:52     標題: 回復 59# mcgrady0628 的帖子

沒想到居然以前有漏回復的,真是抱歉。

填充第 22 題:

第1小題

ΔPRQ 面積 = ΔABC 面積 - ΔAPR 面積 - ΔBPQ 面積 - ΔCQR 面積

     = \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x^2\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ\)

     = \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\)

第2小題

令 \(f(x)=2x^3-2x+1\),則 \(\displaystyle f\,'(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

因為 \(f(x)\) 為首項係數為正的三次多項式函數,

可知當 \(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) 時, \(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{3}})\)

即 ΔPRQ 面積有最小值為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{3}\)

另解,

由算幾不等式 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \left(1-x\right)+\frac{1+x}{2}+\frac{x}{2}}{3}\geq\sqrt[3]{\left(1-x\right)\cdot\frac{1+x}{2}\cdot\frac{x}{2}}\)

可得 \(\left(1-x\right)\left(1+x\right)x\) 之最大值,

進而得知 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\) 的最小值。
作者: weiye    時間: 2013-9-25 19:04     標題: 回復 61# clovev 的帖子

填充第 13 題:

令 \(y\,'=y-1, z\,'=z-2\) 則

\(x+y\,'+z\,'=47\) 且 \(0\leq x\leq45, 0\leq y\,'\leq 46, 0\leq z\,'\leq 47\)

所求=(47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子)- (\(x\) 爆掉) - (\(y\,'\) 爆掉)

[註:\(z\,'\) 肚量很大~可以獨自吃到 \(47\) 顆球沒問題,所以絕對不會爆掉。]

  =(47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子)- (\(x\) 因為吃了 \(46\) 顆以上的球,所以爆掉) - (\(y\,'\) 因為吃了 \(47\) 顆球所以爆掉)

  = \(H_{47}^3 - H_1^3-1\)

  =\(1176-3-1=1172\)
作者: clovev    時間: 2013-9-25 21:16

謝謝寸絲老師和瑋岳老師的回覆~~~謝謝!!
作者: nianzu    時間: 2014-1-2 14:59     標題: 回復 60# WAYNE10000 的帖子

先將分母有理化
接著一個帶一個
你就會發現規律
就可以找出來了!!

[ 本帖最後由 nianzu 於 2014-1-2 03:06 PM 編輯 ]

附件: sol.pdf (2014-1-2 15:06, 82.19 KB) / 該附件被下載次數 6551
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2013&k=1aa14e5e9c441082befa882bc9bdead2&t=1711670999
作者: weiye    時間: 2014-1-2 19:51     標題: 回復 60# WAYNE10000 的帖子

填充題第 1 題:

當 \(n\in\mathbb{N}\) 時,

\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n +\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

   \(\displaystyle =\frac{a_{n-1}}{3^{n-2}}+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

   \(\displaystyle =\cdots\)

   \(\displaystyle =\frac{a_1}{3^0}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\cdots+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

   \(\displaystyle =1+\sqrt{n+1}-\sqrt{1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_{n+1}=3^n\cdot\sqrt{n+1}\),其中 \(n\in\mathbb{N}\)

且因 \(a_1=1=3^0\cdot{1}\) 亦成立,可得

\(\Rightarrow a_n=3^{n-1}\cdot\sqrt{n}\),其中 \(n\in\mathbb{N}\)
作者: anyway13    時間: 2016-11-24 03:23     標題: 請教第24題的第一小題

請教版上老師   此題答案公告是20*13^7

想請問七次方式怎麼得到的呢?  謝謝!
作者: thepiano    時間: 2016-11-24 06:16     標題: 回復 70# anyway13 的帖子

參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6367
作者: anyway13    時間: 2016-11-24 23:45     標題: 回復 71# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,了解了




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