想請教第二題計算
算到面積是
(1+cosa)3(1−cosa)  想請教如何求得<= 433 

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-5 09:51 PM 發表


剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427）

將之抄錄如下：



1.求 xyz=360 有幾組整數解？（5分）




2.橢圓 x225+ ...

令 p=1+cosaq=1−cosa，則上述提問相當於～～～

已知 pq 為非負整數，且 p+q=2，試求證 p3q433 

證明提示：由算幾不等式，可得 43p+3p+3p+q43p3p3pq 

嗯嗯...感恩...算出來了.....卡在要先左右同時4次方,,,再開平方....

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-13 04:31 PM 發表
令 p=1+cosaq=1−cosa，則上述提問相當於～～～

已知 pq 為非負整數，且 p+q=2，試求證 p3q433 

證明提示：由算幾不等式，可得 ...

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-24 03:29 PM 發表


不考慮 xyz 的順序性的話，我也是算 32 種。

xyz=360=23325=23225 

case i: xyz 三同，無。

case ii: xyz 兩同一異，有 ...

請問(xyz)兩同一異為何是 C131+11+1=12 呢？

另，再請問填充第9題要怎麼做呢？

引用:

原帖由 Joy091 於 2011-4-25 12:21 PM 發表
先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 sin2n+1sin22n+1sinn2n+1=2n2n+1  即可!


公式可利用恆等式  \( \displaystyle 1+x+x^2+...+ ...

不好意思~我還是不知道該怎麼代入公式@@"  n該代多少?

若n=4時 可得到 sin20sin40sin60sin80 (度省略)

那還有剩下的sin10sin30sin50sin70 該怎麼辦??

#18 中， sin 連乘積公式中的  2n+1 其實是不必要的

改成任意正整數 n，都可用一樣的方法都可以推出

sinnsinn2sinn(n−1)=n2n−1

另外 2n+1 是出現在 cos 連乘積的公式，不然有了 cos2=0 就直接等於 0 無聊了

計算題
2. 橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 內接梯形 ABCD，已知 A(5,0)、B(−5,0) 且 AB // CD，求梯形 ABCD 之最大面積為何？

這題如果用填充形式出題，或可如此推導:

橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 是由圓 x²/25 + y²/25 = 1 依 y 軸方向壓縮 4/5 而成，這個比例也適用其內接圖形面積。

現考慮 x²/25 + y²/25 = 1 內接梯形 ABC'D' 之最大面積 -- 容易猜到即 BC'=C'D'=D'A 時，

則所求 = (√3/4)*25*3*(4/5) = 15√3


上述即最大面積的理由如下:

把 ABC'D' 以 AB 為軸作對稱圖形(得一六邊形)，則當 BC'=C'D'=D'A 時有最大周長 (由 y=sinx 的凹性與 Jensen 不等式) 與(定周長時)最大的圍面積方式(形成正六邊形)。

依上述構想，若本題更一般地求四邊形 (不要求梯形) ABCD 之最大面積 (A，B 是長軸兩端點)，則答案依然是 15√3。