a,b,c,d為實數

a+b+c+d=6

a^2+b^2+c^2+d^2=12

求a的範圍

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代碼:

b+c+d=6-a (這是在 b-c-d 為三維軸上的平面)

b^2+c^2+d^2=12-a^2 (這是在 b-c-d 為三維軸上的球面)

以上兩曲面有交點，則球心(0,0,0)到平面的距離要小於半徑√(12-a^2)

是故

|0+0+0-(6-a)|
-------------≦√(12-a^2)
    √3

兩邊同時平方

a^2-12a+36≦36-3a^2

4a^2-12a≦0

0≦a≦3


當 a=3 最大值時 (a,b,c,d)=(3,1,1,1)

當 a=0 最小值時 (a,b,c,d)=(0,2,2,2)

另解，

利用柯西不等式：(b*1+c*1+d*1)^2≦(b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2) ，解 a 的範圍。

補充類似問題
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(高中數學競賽教程P195，93彰化女中，TRML2006個人賽都有這題)
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17863　連結已失效
(99屏東女中，https://math.pro/db/thread-976-1-1.html)

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(99師大附中，https://math.pro/db/thread-935-1-3.html)