1.
等腰直角ABC中，A=90 ，D為BC的中點，四邊形DEFG為正方形，且點F為AC邊上。若BE=3CG ，BC=4，試求正方形DEFG的面積之值？
(105第二次學測北模，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2663&page=1#pid16416)

2.
設z是1的7次方根，z=1，試求z+z2+z4=？
(連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742)

請教第5題和10題

[ 本帖最後由 idsharon 於 2025-4-15 12:45 編輯 ]

第 10 題
在圓 O 內，畫一內接直角△ABC，其中 AB 是直徑，∠C 是直角

在圓內取一點 D (和 C 分別在 AB 的不同側)，使 ∠ADB 為鈍角
作 AH 垂直直線 DB 於 H

向量 DA = 向量 a，DA = 4
向量 DB = 向量 b，DB = 6
向量 DC = 向量 c

向量 AC = 向量 c - 向量 a
向量 BC = 向量 c - 向量 b

向量 a 在向量 b 上的正射影長 = DH = 1
BH = 7，AH = √15，AB = 8

所求為 DC 的最大值，此時 C 為直線 OD 與圓 O 之交點
DC = OC + OD = 4 + √10
其中 OD 可用餘弦定裡求出

第 5 題
定座標 B(0，0，0)、C(2，0，0)、D(1，√3，0)、A(1，(1/3)√3，(2/3)√6)
△ACD 重心 G(4/3，(4/9)√3，(2/9)√6)

A'(1，(1/3)√3，(-2/3)√6)、B'(8/3，(8/9)√3，(4/9)√6)

平面 A'CD 的方程式：-2√2x - (2/3)√6y + (2/3)√3z + 4√2 = 0

△A'CD 面積 = △ACD 面積 = √3
B' 到平面 A'CD 的距離 = (10/27)√6
四面體 A'CB'D 的體積 = (1/3) * √3 * (10/27)√6 = (10/27)√2

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