可以請問填充4.5與計算第4嗎?

引用:

原帖由 thepiano 於 2019-4-14 17:02 發表
填充第6題
應是\(0\le x\le 2\pi \)吧？
\(5\sin \left( \frac{\pi }{3}x \right)\)的週期是6，\(3\sin \left( \frac{\pi }{5}x \right)\)的週期是10
分別畫出其圖形，可知\(x=2\pi \)時有最大值
最小值就難囉 ...

這題不是抄錯~不然就是題目出錯了~照這樣出,產生最小值的x肯定用手算不出來的
x的範圍應該改成類似0<=x<=30這樣,
當x=15/2 ,所求有最大值=5+3=8
當x=45/2 ,所求有最小值=-5-3= -8
(考的是最小公倍數,及如何設計sin(Pi*x/3),sin(Pi*x/5)產生1或-1找到所求最大值,最小值)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-14 22:58 編輯 ]

第二部分 (計算題)
不透明箱內有編號分別為1至20的二十個球，每次隨機取出一個球，每球取到的機率都相同，記錄其編號後放回箱內；將前\(n\)次取球編號之總和為3的倍數的機率以\(P_n\)表示。
(1)試求\(P_n\)(以\(n\)表示)。
(2)試求滿足\(\displaystyle |\; P_n-\lim_{n \to \infty}P_n|\;<10^{-8}\)的最小自然數\(n\)。


5. (1)  另解: 利用生成函數

球的編號形如 3k+1, 3k+2, 3k 者分別有 7, 7, 6 個。

令 f(x) = ( 7/20 x² + 7/20 x + 6/20 )ⁿ，題意即求 f(x) 中，次數為 3 的倍數之項的係數和。

所求 Pn

= [ f(1) + f(ω) + f(ω²) ] /3  (ω 為 1 的立方虛根)

= [ 1 + (-1/20 )ⁿ + (-1/20 )ⁿ ] /3

= 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ

------------------------------------

基於上文 f(x) 的 (...) 內，只有一項係數相異，故將 f(x) 改寫為

f(x) = [ 7/20 x² + 7/20 x + 7/20 + (-1/20) ]ⁿ

可察知展開式的 4ⁿ 個項中，次數為 3m, 3m+1, 3m+2 的項，其係數可以每 3 個彼此相等而歸一組，則只有 (-1/20)ⁿ 此項是孤獨的，而這項屬於次數為 3m 的係數。

即: 若次數為 3m 的項係數和為 Pn，則次數為 3m+1 與 3m+2 的項係數和皆為 Pn - (-1/20)ⁿ

故 Pn + 2*[ Pn - (-1/20)ⁿ ] = 1

⇒ Pn = 1/3 + (2/3)*(-1/20)ⁿ

我記得他只考最大值 應該就沒這個疑慮了

是在\(x=\alpha\)時有最大值\(\beta\)嗎？

如果這樣子的話，就要再改一下檔案了XD

感謝thepiano老師修正

反過來了，
我記得範圍是x>0
求 f(x)最大值 alpha
而此時最小實數x=beta

填充第 4 題
已知\(0<x<2\pi\)，\(A=\left[\matrix{cos x& cos x \cr cos x&sin x} \right]\)，\(A^n=\left[\matrix{a_n&b_n \cr c_n&d_n} \right]\)，則滿足\(a_5d_5=b_5c_5\)之所有相異實數解的和為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{5}}{{d}_{5}}-{{b}_{5}}{{c}_{5}} \\
& =\det \left( {{A}^{5}} \right) \\
& ={{\left( \det A \right)}^{5}} \\
& ={{\cos }^{5}}x{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{5}} \\
& =0 \\
& ...... \\
\end{align}\)

填充2.
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人欲搭乘3艘不同的小船渡河，若每艘小船最多可載乘客5人，每船都至少載客1人且甲、乙兩人必須同船，則此 7人有　　　種安全乘船的渡河方式？

請問填充2答案是1260嗎？謝謝
\((5,1,1)\rightarrow 3!*C\binom{5}{3}*C\binom{2}{1}*C\binom{1}{1}=120\)
\((4,2,1)\rightarrow 2*3!*C\binom{5}{2}*C\binom{3}{2}=360\)
\((3,3,1)\rightarrow 2*3!*C\binom{5}{1}*C\binom{4}{3}=240\)
\((3,2,2)\rightarrow 3*3!*C\binom{5}{1}*C\binom{4}{2}*C\binom{2}{2}=540\)

總和1260？請問對嗎？謝謝

感謝q1214951老師與鋼琴老師。
31樓與33樓有正解！

填充第 5 題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=4\)、\(\overline{BC}=5\)，\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，\(P\)為\(
\Delta IBC\)(包含邊界)內的一點，若\(\vec{AP}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}(\alpha,\beta\in R)\)，則\(\alpha+\beta\)的最小值為　　　。