各位老師好，想請教今年樟樹高中這兩道題目，謝謝！

第 4 題
在坐標平面上，考慮二階方陣A=5134−43 所定義的線性變換。對於平
面上異於原點O的點P1，設P1經A變換成P2，P2經A變換成P3。假設P1是圖形y=120x2−20上的動點，試求P1P2P3面積的最小可能值？
106 數甲

第 2 題
新北市立樟樹國際實創高中位於新北市汐止區基隆河畔。以灰、橙、綠三色為主軸，建立完善的學校視覺識別系統。校慶舉辦抽抽樂活動，一袋裝有240顆大小相同的球，其中灰球40顆、橙球80顆、綠球120顆。設每球被取到的機會均等。
(1)從袋中一次取3球，則橙球球數期望值為何？
(2)從袋中一次取36球，若取出灰球a顆、橙球b顆、綠球c顆，則可得獎金100+3a+4b−2c元，則獎金期望值為何？
https://math.pro/db/thread-3022-1-1.html

三、
1.
考慮三次多項式f(x)=−x3+3x2−3，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪y=f(x)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令f(x)=0的實根為a1、a2、a3，其中a1a2a3。試求a1、a2、a3分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)試求f(f(x))=0有幾個相異實根？

考慮三次多項式f(x)=−x3−3x2+3，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪y=f(x)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令f(x)=0的實根為a1、a2、a_3，其中a_1<a_2<a_3。試求a_1、a_2、a_3分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明f(x)=a_1、f(x)=a_2、f(x)=a_3各有幾個相異實根？
(4)試求f(f(x))=0有幾個相異實根(註：f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3)。
(107指考數甲，https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html)

110.3.4補充
若三次多項式f(x)=2x^3-6x-3，則方程式f(f(x))=0有幾個相異實根？
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

2.
袋中有黑球二顆、白球一顆，每次從袋中任取一球，設每球被取到的機會均等，取後的球不放回，但再放進一顆黑球，令a_n為第n次取球取到黑球的機率。
(1)寫出a_n的遞迴關係式。
(2)求a_n的一般式。

袋中有黑、白球各一顆，每次從袋中任取一球，取後的球不放回，但再放進一顆黑球，令a_n為第n次取到黑球的機率。
(1)寫出a_n的遞迴關係式。
(2)求a_n的一般式。
(102新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-1627-1-9.html)

3.
在立體空間中有\Delta ABC，A(1,1,2)、B(2,-1,2)、C(1,3,0)，求\Delta ABC的垂心坐標？

設A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)，則\Delta ABC的垂心座標為。
(100台中二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684)

四、
2.
廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及高麗菜、白菜、豆腐、香菇、紅蘿蔔五種素類食材。若廚師想用完這八種食材作三道菜，每道菜至少使用一種食材，最多使用三種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉類食材，試問食材的分配共有幾種方法？

廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？(1)3  (2)6  (3)9  (4)18  (5)27
(108學測，https://math.pro/db/thread-3059-1-3.html)

4.
已知53=2^2+7^2、34=3^2+5^2，且53\times 34=1802，試將1802表示為兩個平方數的和(請寫出所有可能的答案)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html

請教第三的2題，
學校公布的答案有誤嗎？

第 n 次取到黑球機率那題，官方的答案正確

這是小弟正式準備教甄的第一年考的第一間學校

最低錄取分數51

飲恨一題看錯題目 看來自己的實力還遠遠不足

第四大題的第二題我不小心把題目讀成"食材可不用完"，雖然錯了，但還是想知道如果是"食材不可用完"，我這樣做對不對呢？
請教大家，感謝～～

先放豬雞牛，剩下的食材皆有3+1(可不放)=4種選擇，共4^5種，但同道不可放2種以上素菜，

(5,0,0,0),(4,1,0,0),(3,1,1,0),(3,2,0,0)皆扣除，

共C3取1(三道選一道)+(C3取1)*(C5取4)*(C3取1)+(C3取1)*(C5取3)*(C3取2)*2!+(C3取1)*(C5取3)*(C3取1)=318，

所以有4^5-318=706種方法。

因為每道菜只能有最多3種食材  扣掉每道皆須有一種肉食  因此每道最多只有兩種素食食材

所以5種素菜只能分成(2,2,1) 3堆  肉食最後分配

所以共有  [ (C5取2)*(C3取2)*(C1取1) / 2! ] * 3! = { [ (10 * 3 * 1) /2 ] } * 6 = 15 * 6 =90

"素類食材可不用完" 的話，您的答案正確

請教取球期望值的第二小題