三、
1.
考慮三次多項式\(f(x)=-x^3+3x^2-3\)，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪\(y=f(x)\)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令\(f(x)=0\)的實根為\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)，其中\(a_1<a_2<a_3\)。試求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)試求\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根？
考慮三次多項式\(f(x)=-x^3-3x^2+3\)，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪\(y=f(x)\)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令\(f(x)=0\)的實根為\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)，其中\(a_1<a_2<a_3\)。試求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明\(f(x)=a_1\)、\(f(x)=a_2\)、\(f(x)=a_3\)各有幾個相異實根？
(4)試求\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根(註：\(f(f(x))=-(f(x))^3-3(f(x))^2+3\))。
(107指考數甲，
https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html)
110.3.4補充
若三次多項式\(f(x)=2x^3-6x-3\)，則方程式\(f(f(x))=0\)有幾個相異實根？
(109嘉義高中代理，
https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)
2.
袋中有黑球二顆、白球一顆，每次從袋中任取一球，設每球被取到的機會均等，取後的球不放回，但再放進一顆黑球，令\(a_n\)為第\(n\)次取球取到黑球的機率。
(1)寫出\(a_n\)的遞迴關係式。
(2)求\(a_n\)的一般式。
袋中有黑、白球各一顆，每次從袋中任取一球，取後的球不放回，但再放進一顆黑球，令\(a_n\)為第\(n\)次取到黑球的機率。
(1)寫出\(a_n\)的遞迴關係式。
(2)求\(a_n\)的一般式。
(102新北市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-1627-1-9.html)
3.
在立體空間中有\(\Delta ABC\)，\(A(1,1,2)\)、\(B(2,-1,2)\)、\(C(1,3,0)\)，求\(\Delta ABC\)的垂心坐標？
設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
(100台中二中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid5684)
四、
2.
廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及高麗菜、白菜、豆腐、香菇、紅蘿蔔五種素類食材。若廚師想用完這八種食材作三道菜，每道菜至少使用一種食材，最多使用三種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉類食材，試問食材的分配共有幾種方法？
廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？(1)3 (2)6 (3)9 (4)18 (5)27
(108學測，
https://math.pro/db/thread-3059-1-3.html)
4.
已知\(53=2^2+7^2\)、\(34=3^2+5^2\)，且\(53\times 34=1802\)，試將\(1802\)表示為兩個平方數的和(請寫出所有可能的答案)
https://math.pro/db/thread-629-1-1.html
