選擇2.
設\( a,b \)為正實數。若\( 2^a=25 \)，\( 5^b=16 \)，則\( a+b \)的最小可能值為何？
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
題目出錯了吧
選擇4.
設矩陣\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 &1} \Bigg]\; \)。若\( A^{10}=\Bigg[\; \matrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33}} \Bigg]\; \)，則\( a_{13} \)之值為何？
(A)55 (B)100 (C)\( 2^{10} \) (D)\( 10! \)
感謝王保丹告知101南港高工也有這題
https://math.pro/db/thread-1442-1-1.html
藉由這題來回應寸絲的心得
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653
"當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？"
這題直接乘就看出規律了，但改成其他數字的話你會算嗎？
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{2 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 1 \cr 1 & 1 & 2} \Bigg]\; \)，求\( A^{100} \)。
(98全國高中聯招，
https://math.pro/db/thread-804-1-1.html)
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 3 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle A+A^2+A^3+\ldots+A^{20}=\Bigg[\; \matrix{a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i} \Bigg]\; \)，則\( c= \)？
(100中壢高中，
https://math.pro/db/thread-1119-1-3.html)
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 0 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，則\( A^{20} \)？
(100成淵高中，
https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html)
這裡我也有提醒各位可以整理個"矩陣的n次方"筆記，各位有整理了嗎？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7150
104.5.2補充
設矩陣\( A=\left[ \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \right] \)，試求\( A^{100} \)。
(104桃園高中，
https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)
填充2.
由數字1,2,3,4,5,6,7組成七位數，四個奇數中任何三個不全相鄰，問符合條件的七位數共有多少個？
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，
http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html)
[解答]
以所有可能的七位數\( P_7^7 \)中減去下面兩類七位數的個數。
(1)四個奇數都相鄰的七位數，先將四個奇數看成一組與其餘三個偶數排好，有\( P_4^4 \)種方法，再將這四個奇數進行排列，有\( P_4^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_4^4 \times P_4^4 \)個。
(2)只有三個奇數相鄰，先將偶數排好有\( P_3^3 \)種方法，再將四個奇數分成三個，一個的兩組，有\( C_1^4 \)種方法，然後將這兩組奇數插入偶數的四個空檔中，有\( P_2^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3 \)個。
綜上，符合條件的七位數共有\( P_7^7-P_4^4 \cdot P_4^4-P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3=5040-(576+1728)=2736 \)個。
計算2.
已知有n個任意的正方形紙片，證明：可以用剪刀把它們剪開，然後組拼成一個新的正方形。
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，
http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html)
[解答]
(1)當\( n=2 \)時，設兩個正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)和\( A_2B_2C_2D_2 \)的邊長為a和b(\( a \ge b \))，在正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)的各邊上，順序截取\( \displaystyle \overline{A_1M}=\overline{B_1N}=\overline{C_1P}=\overline{D_1Q}=\frac{a+b}{2} \)。
連\( \overline{MP},\overline{NQ} \)交於O，易知\( \overline{MP}\perp \overline{NQ} \)，沿線段\( \overline{MP} \),\( \overline{NQ} \)把正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)剪開，得到四個全等部分，把這四塊與正方形\( A_2 B_2 C_2 D_2 \)拼成一個新的正方形。
因此，\( n=2 \)時命題成立。
(2)假設\( n=k \)時，命題成立，當\( n=k+1 \)時，前k個正方形可拼成一個新正方形。把這個正方形按上法剪開，截取的線段上是這新的正方形的邊長和第\( k+1 \)個正方形邊長和的一半，然後和第\( k+1 \)個正方形如上法拼組成第\( k+1 \)個新的正方形，至此說明當\( n=k+1 \)時命題成立。
綜合(1)(2)，對\( n>1 \)，\( n \in N \)命題成立。
填充4,5出題者應該抄襲中國地區試題，只是我找不到出處
填充5.
如下圖，電腦程序框圖(算法流程圖)的輸出值S為何？
[解答]
\( S=1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots +99^2-100^2=-5050 \)
102.6.14補充
感謝thepiano提供出處，我從網路找到完整檔案下載。
2012高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦.pdf
http://pan.baidu.com/share/link?shareid=368565&uk=3778402542
