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107文華高中

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回復 28# Christina 的帖子

E₂ 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 2 次即停止" 的投擲次數期望值。則必然是投擲 2 次。



回復 29# yuhui1026 的帖子

樓上 BambooLotus 老師的意思大概是利用:

x / (1-x²) = x + x³ + x⁵ + x⁷ + x⁹+...  ⇒ 所求 = 7!

亦可利用  2*f(x) = 1/(1-x) - 1/(1+x) =  (1-x)⁻¹ - (1+x)⁻¹,微分時就容易看出規律了。

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回復 29# yuhui1026 的帖子

填充15
1°用無窮等比數展開
2°再用泰勤展開式,在x=0處展開
3°對應比較係數
出來了,很快…千萬不要硬暴。

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想問填充化簡

像直線寫點斜式算錯嗎?

3(x+1)要展開嗎?

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回復 31# cefepime 的帖子

謝謝老師,再請教從終止處找遞迴是怎麼想呢?^_^

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回復 34# Christina 的帖子

第 12 題

由終止處找遞迴:

En = 恰第 n 次結束的期望值 + [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ]

= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ]

= n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻²

= En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²


----------------------------


以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單,故考慮找出更簡明的想法,如下:


En₋₁ 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。

En 表示: "投擲一骰子,若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。


兩者差在哪?

在擲 n-1 次時,若該停止了,則基本上在擲 n 次時,也該停止了。只有一個例外:

" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時,前者必須終止,後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。


故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²,即 En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²


[ 本帖最後由 cefepime 於 2018-5-1 09:44 編輯 ]

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回復 35# cefepime 的帖子

太感謝老師詳細的說明!!^^

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想請教計算一如何討論,謝謝

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回復 37# JOE 的帖子

計算一
就是扇形著色問題
https://math.pro/db/thread-499-1-4.html

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-5-3 18:46 編輯 ]

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回復 38# thepiano 的帖子

謝謝老師指點

請問這個題目(僅七格)在計算題的處理方法

是否建議直接反覆使用遞迴關係迭代。

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回復 39# JOE 的帖子

不求一般項,直接用遞迴,七項的計算量應該還好

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