第 14 題
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{\left( 3n+k \right)\left( n-k \right)}}{{{n}^{2}}}} \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{3-\frac{2k}{n}-{{\left( \frac{k}{n} \right)}^{2}}}} \\
& =\int_{0}^{1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)

\(y=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}\)是圓\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的上半部
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{2}}\)的圓心 A(-1，0)，半徑 2
與 x 軸交於 B(1，0)，與 y 軸交於 C(0，√3)

所求 = 扇形 ABC - 直角△AOC = \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

謝謝鋼琴老師，考試時一直想用積分，但是配不出來 > <

計算二： 我的算法也差不多，寫一些要補充的點

策略：此函數在大部分的區域都是連續的，因此只需處理可能不連續的點就好。
1. 將x的範圍分為： x<-1, -1<x<1, 1<x 三段討論，發現在個別區域都是連續函數
2. 因x=1, -1為可能不連續點，利用左右極限和函數值相等可得a=0, b=1

第 12 題
請參考附件

填充題 12


另解 1  利用 En 與 En₋₁ 的遞迴關係

由起始處找遞迴:  En = 1 + (1/6)*1 + (5/6)* En₋₁ = 7/6 + (5/6)* En₋₁ ，且 E₂ = 2

或者

由終止處找遞迴:  En = n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻² =  En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻² ，且 E₂ = 2


另解 2  利用幾何分配的結論

若題目條件為 "連續兩次擲出相同的點數即停止" (條件 A)，則所求 = 1 + 1/(1/6) = 7

現又多出 "投擲滿 n 次即停止" (條件 B)，故作以下調整:

投擲 n 次均未有連續兩次同點的機率 = (5/6)ⁿ⁻¹

若只有 條件 A，則以下仍有 1/(1/6) = 6 次的投擲期望值;  但多了條件 B 後，使它 = 0。

故所求 = 7 - 6*(5/6)ⁿ⁻¹

填14
1°先用黎曼和轉為定積分
2°積分過程中根號內會配方法形成圓的方程式
這樣你就會做了…

感謝，一樣，我分5個範圍去討論函數，
再用連續的條件解a、b
謝謝。

請教老師，\(E_2=2\)該怎麼算呢^_^

請教各位老師，是否除了暴力解外有什麼技巧?謝謝！

把原函數想成無窮等比，利用泰勒展開式然後比較係數就知道答案是7!
複查沒有變動的話最低錄取分數是62，小弟正是那最雖的第9名...差2分啊...
反正教檢也沒過，今年就當作旅遊+寫考卷~